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% The Project Gutenberg EBook of Vorlesungen ueber die Theorie der        %
% Hyperelliptischen Integrale, by Leo Koenigsberger                       %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Title: Vorlesungen ueber die Theorie der Hyperelliptischen Integrale    %
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% Author: Leo Koenigsberger                                               %
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% Release Date: August 7, 2010 [EBook #33369]                             %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPERELLIPTISCHEN INTEGRALE ***
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
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%% inputenc: Standard DP input encoding. Required.                  %%
%% fontenc:  T1 Font encoding. Required.                            %%
%% babel:    German language Hyphenation. Required.                 %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% fixmath:  Italic uppercase Greek. Required.                      %%
%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %%
%% soul:     Gesperrt text. Optional.                               %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Graphics inclusion. Required.                          %%
%% caption:  Caption restyling. Required.                           %%
%% wrapfig:  Wrap figures with text. Required.                      %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for a print-  %%
%%   optimized file (two-sided, 8.5x11" layout, black hyperlinks).  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's comments:                                             %%
%%   Six illustrations produced by R. S. are provided as PDF files. %%
%%   EPS and SVG files are in images/sources for use with LaTeX.    %%
%%                                                                  %%
%%   Chapter seven contains a number of tall displayed equation     %%
%%   systems. Manual breakpoints are inserted, but changes to the   %%
%%   text block size may badly affect pagination.                   %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 209 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 6.5 x 9in (non-standard)                          %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 6 pdf diagrams                                           %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Three overfull hboxes (~1.6pt too wide or less).               %%
%% * One harmless underfull hbox adjoining Figure 3.                %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% 2007-May-01 rwst. Compiled with pdflatex:                        %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)]     %%
%%                                                                  %%
%% 2010-July-28 adhere. Compiled with pdflatex:                     %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)]         %%
%%                                                                  %%
%%    pdflatex x3                                                   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2010: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33369-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
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\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]
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\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
\usepackage[german]{babel}[2005/11/23]

\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
\usepackage{amssymb}[2002/01/22]

\usepackage{fixmath}            %for italic style uppercase Greek (e.g. Pi)
\usepackage[perpage,symbol,stable]{footmisc}   %enable section title footnotes

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals
\usepackage{calc}
\usepackage{alltt}[1997/06/16]

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
  \usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}

\IfFileExists{soul.sty}{%
  \usepackage{soul}[2003/11/17]
}{}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage{graphicx}[1999/02/16] %\
\usepackage{caption}[2007/01/07]  % | for figures
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31]  %/

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true                     false (default)
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
\newboolean{ForPrinting}

%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  Änderungen der Formatierung wurden stillschweigend vorgenommen.
  \bigskip
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon

  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon

    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{% else, if ForPrinting=false
  \setlength{\paperwidth}{6.5in}%
  \setlength{\paperheight}{9in}%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
  \raggedbottom
  \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdfauthor={Leo Koenigsberger},
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Vorlesungen ueber die Theorie der Hyperelliptischen Integrale},
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, K. F. Greiner, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
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  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{11}{13}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

%% No hrule in page header
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
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\renewcommand{\textfraction}{0.05}

\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6}

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\newcommand{\tb}[1][2cm]{{\centering\rule[0.75\baselineskip]{#1}{0.5pt}\par}}
\newcommand{\eoc}{\vfill\tb\vfill\vfill}% End of chapter

\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}

%[** TN: (Re)define \so]
\IfFileExists{soul.sty}{%
  \sodef{\myso}{}{0.15em}{0.5em plus 0.5em}{0.5em plus 0.5em}%
  \renewcommand{\so}[1]{\texorpdfstring{\myso{##1}}{##1}}
}{
  %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere
  \newcommand{\so}[1]{\textit{##1}}%
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% Table of contents structuring
\newcommand{\ToCChap}[1]{%
  \subsection*{\centering\normalfont\normalsize\so{#1}}
}

\newcommand{\ToCSect}[1]{%
  \subsubsection*{\centering\small#1}
}

\newcommand{\ToCAnchor}

\newcommand{\ToCPar}[2]{%
  \settowidth{\TmpLen}{9999}%
  \ifthenelse{\not\equal{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#2}}}{%
    \renewcommand{\ToCAnchor}{\pageref{toc:#2}}%
    \vspace*{-\baselineskip}\hfill{\scriptsize Seite}}{}%
  \smallskip\par\noindent%
  \parbox[b]{\linewidth-\TmpLen}{\hangindent2em#1\dotfill}%
  \hfill\pageref{subsect:#2}\par%
  \phantomsection\label{toc:#2}%
}

\newcounter{SubsecNo}
\newcommand{\addtotoc}[1]{%
  \refstepcounter{SubsecNo}%
  \phantomsection\label{subsect:\theSubsecNo}%
  \addtocontents{toc}{\protect\ToCPar{#1}{\theSubsecNo}}%
}

% Sectioning and page layout
\newcommand{\RunningHead}[1]{\centering\footnotesize#1}
\newcounter{ChapNo}
\newcounter{SectNo}

\newcommand{\Chapter}[3][]{%
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  \vspace*{2cm}
  \section*{\centering\large #2}
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    \fancyhead[R]{\thepage}%
  }%

  \addtocontents{toc}{\protect\ToCChap{#2}}%
  \phantomsection
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{%
    \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{#3}}%
    \pdfbookmark[0]{#2 #3}{Chapter \theChapNo}
    \fancyhead[CO]{#3}%
  }{%
    \addtocontents{toc}{\protect\ToCSect{#1}}%
    \pdfbookmark[0]{#2 #1}{Chapter \theChapNo}
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}

\newcommand{\Section}[1]{%
  \vspace*{3cm}
  \section*{\centering\normalsize#1}
  \refstepcounter{SectNo}%
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}

\newcommand{\Lizenz}{%
  \cleardoublepage

  \phantomsection\pdfbookmark[0]{Lizenz.}{Lizenz}
  \fancyhead[C]{\RunningHead{Lizenz.}}
}

\renewenvironment{quote}{%
  \setlength{\TmpLen}{2\parindent}%
  \begin{flushright}\vspace{-\topsep}\begin{minipage}[t]{\linewidth-\TmpLen}%
}{%
  \end{minipage}\end{flushright}%
}

% A.D.H.'s miscellaneous convenience macros
\renewcommand{\dh}{d.\;h.}
\newcommand{\ua}{u.\;a.}
\newcommand{\usw}{u.\;s.\;w.}
\newcommand{\zB}{z.\;B.}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newcommand{\Pint}{%
  \makebox[0pt][l]{$\mathop{\vphantom{\bigg|}}'$}\kern-5pt\int
}

\DeclareInputText{183}{\ifmmode\cdot\else\textperiodcentered\fi}
% Adjust footnote markers
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1}
\makeatother

\AtBeginDocument{%
  \renewcommand{\contentsname}{%
    \thispagestyle{empty}%
    {\protect\centering\protect\large%
      Inhaltsverzeichniss.\protect\par\protect\vspace{-24pt}}%
  }
}

%% caption package configuration
\captionsetup{%
  font=scriptsize,
  labelfont=bf,
  justification=centering,
  aboveskip=0pt,
  belowskip=10pt,
  labelsep=period
}
% override babel package
\AtBeginDocument{\renewcommand{\figurename}{Fig.}}

%% R.S.'s abbreviations for math operators
\newcommand{\dint}{\ds\int}
\newcommand{\dsum}{\ds\sum}
\DeclareMathOperator{\opz}{\mathit{z}}
\newcommand\tern[4]{%
  #1_{#4}^{\begin{subarray}{l}%
      {\raisebox{-0.4em}{$\hskip-0.7em\scriptstyle{#2}$}}\\{#3}%
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}

\setlength{\arraycolsep}{1.4pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIN DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\pagenumbering{Alph}
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%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
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\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Vorlesungen ueber die Theorie der
Hyperelliptischen Integrale, by Leo Koenigsberger

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
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with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Vorlesungen ueber die Theorie der Hyperelliptischen Integrale

Author: Leo Koenigsberger

Release Date: August 7, 2010 [EBook #33369]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPERELLIPTISCHEN INTEGRALE ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
%%%% Credits %%%%
\clearpage
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, K. F. Greiner,
Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading
Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from
images generously made available by Cornell University
Digital Collections)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription.}{Note1}

\Section{\TransNote}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%-----File: 001.png------------------------------
%[** Title page]
\frontmatter
\pagenumbering{Roman}

\begin{center}
\setlength{\TmpLen}{8pt}%
\bfseries%
\vspace*{3\TmpLen}
\Large VORLESUNGEN\\[3\TmpLen]
UEBER DIE THEORIE\\[2\TmpLen]
\footnotesize DER\\[3\TmpLen]
\scalebox{0.7}[1]{\Huge HYPERELLIPTISCHEN INTEGRALE}\\[6\TmpLen]
\scriptsize VON\\[6\TmpLen]
\large\textsc{Dr. LEO KÖNIGSBERGER},\\[\TmpLen]
\tiny PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZU WIEN.
\vfill
\normalsize LEIPZIG \\[\TmpLen]
\footnotesize DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. \\[\TmpLen]
 1878.
\end{center}
%-----File: 002.png------------------------------
\cleardoublepage

\Section{Vorwort.}
\tb[1cm]

Nachdem ich in den letzten Jahren eine Reihe von Arbeiten über
die Theorie der hyperelliptischen Integrale veröffentlicht habe, welche
die behandelten Gegenstände theils nur kurz und mit Voraussetzung
von Verallgemeinerungen früher gegebener Sätze darstellten, theils
auch nur die Resultate einzelner Untersuchungen angaben, hielt ich
es für zweckmässig, meine Vorlesungen über die Theorie der
hyperelliptischen
Integrale in zusammenhängender Darstellung zu veröffentlichen,
um einerseits auch der Theorie der \so{Integrale} an sich und
den mit ihnen zusammenhängenden Problemen der Integralrechnung
einige Aufmerksamkeit zuzuwenden, andererseits aber auch dieselbe
als Basis für eine grössere und eingehendere Bearbeitung der Theorie
der hyperelliptischen \so{Functionen} benutzen zu können.

Die Literatur der Theorie der hyperelliptischen \so{Integrale} ist
eine verhältnissmässig kleine, und es genügt hier, von den
Fundamentalarbeiten
von \so{Abel} und \so{Jacobi} abgesehen, auf die für
diese Theorie wesentlichen Arbeiten von \so{Riemann}, \so{Weierstrass},
\so{Hermite}, \so{Richelot}, \so{Clebsch} und \so{Gordan}, \so{Prym},
\so{Neumann}
und \so{Fuchs} hinzuweisen.

\medskip

\so{Wien}, im Mai 1878.

\null\hfill\textbf{Leo Koenigsberger.}\qquad\null
%-----File: 003.png------------------------------

\tableofcontents
\eoc
%% {\large Erste Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Einleitung in die Theorie der hyperelliptischen Integrale.}
%% \end{center}
%%
%% Verzweigung der zu der Quadratwurzel aus einem Polynome
%% $2p + 1^{\text{ten}}$ oder $2p + 2^{\text{ten}}$ Grades
%% gehörigen \so{Riemann}'schen Fläche \dotfill 1
%%
%% Die zur Existenz einer in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen Function
%% nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Anzahl und Lage der
%% Unstetigkeitspunkte \dotfill 2
%%
%% Reduction der Polynome paaren Grades auf solche unpaaren Grades \dotfill 8
%%
%% \begin{center}
%% {\large Zweite Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Die hyperelliptischen Integrale erster, zweiter und dritter
%% Gattung.}
%% \end{center}
%%
%% Definition der hyperelliptischen Integrale erster, zweiter und dritter
%% Gattung \dotfill 11
%%
%% Aufstellung der Integrale der drei Gattungen \dotfill 12
%%
%% Das Hauptintegral dritter Gattung \dotfill 16
%%
%% Herleitung des Integrales zweiter Gattung aus dem dritter Gattung
%% \dotfill 18
%%
%% \begin{center}
%% {\large Dritte Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Herleitung der allgemeinen hyperelliptischen Integrale aus
%% Unstetigkeitsbedingungen und Darstellung des \so{Dirichlet}'schen
%% Princips für dieselben.}
%% \end{center}
%%
%% Aufstellung des durch bestimmte Bedingungen für die Unstetigkeitspunkte
%% und die Periodicitätsmoduln definirten allgemeinen hyperelliptischen
%% Integrales \dotfill 19
%%
%% Das \so{Dirichlet}'sche Princip für die doppelblättrige Fläche einer Quadratwurzel
%% aus einem Polynome $2p+1^{\text{ten}}$ Grades \dotfill 22
%%
%% Hyperelliptische Integrale zweiter und dritter Gattung, wenn die Unstetigkeitspunkte
%% in den Verzweigungspunkten liegen \dotfill 26
%%
%% Beziehung zwischen den reellen und imaginären Theilen der
%% Periodicitätsmoduln eines hyperelliptischen Integrales erster Gattung
%% \dotfill 28
%%
%% Darstellung der Perioden eines hyperelliptischen Integrales durch
%% die zwischen den Verzweigungspunkten von $\sqrt{R(z)}$ ausgedehnten
%% Integrale \dotfill 34
%%
%% \begin{center}
%% {\large Vierte Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Reduction des allgemeinen hyperelliptischen Integrales auf
%% drei Arten von Normalintegralen.}
%% \end{center}
%%
%% Allgemeine Reductionsformel der hyperelliptischen Integrale auf drei
%% feste Integralformen \dotfill 39
%%
%% Discussion der Coefficienten dieser Integrale \dotfill 45
%%
%% Beziehungen zwischen diesen Coefficienten in der Reductionsformel
%% gewisser Integrale und den Coefficienten der um den Unendlichkeitspunkt
%% herum gültigen Reihenentwicklung der Normalintegrale erster und zweiter
%% Gattung \dotfill 49
% -----File: 004.png---------------------------------------------------------
%% \begin{center}
%% \large {Fünfte Vorlesung.}
%%
%% \textbf{
%% Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln der zu derselben
%% Irrationalität gehörigen hyperelliptischen Integrale.}
%% \end{center}
%%
%% Periodenbeziehung zweier hyperelliptischer Integrale \dotfill 53
%%
%% Satz von der Vertauschung der Gränzen und Unstetigkeitspunkte eines
%% hyperelliptischen Hauptintegrales dritter Gattung \dotfill 65
%%
%% Specialisirung der Periodenrelation für Integrale erster und zweiter
%% Gattung \dotfill 68
%%
%% Determinante aus den Periodicitätsmoduln der Integrale erster und
%% zweiter Gattung \dotfill 70
%%
%% \medskip
%% \begin{center}
%% \large{Sechste Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Das Abel'sche Theorem.}
%% \end{center}
%%
%% Das \so{Abel}'sche Theorem für die Integrale erster Gattung \dotfill 80
%%
%% Das \so{Abel}'sche Theorem für die Integrale dritter Gattung und die
%% Herleitung des allgemeinen Satzes \dotfill 84
%%
%% Andere Interpretation des \so{Abel}'schen Theorems \dotfill 89
%%
%% \medskip
%% \begin{center}
%% \large{Siebente Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Das allgemeine Transformationsproblem der hyperelliptischen
%% Integrale.}
%% \end{center}
%%
%% Reduction der allgemeinsten algebraischen Beziehung zwischen
%% hyperelliptischen Integralen auf eine lineare \dotfill 94
%%
%% Zurückführung des algebraischen Transformationsproblems auf das rationale \dotfill 96
%%
%% Reduction des allgemeinen Problems auf das rationale
%% Transformationsproblem der Integrale erster Gattung \dotfill 104
%%
%% Die allgemeinste Relation zwischen hyperelliptischen Integralen und
%% algebraisch-logarithmischen Functionen \dotfill 119
%%
%% Ueber das Vorkommen der eindeutigen Umkehrungsfunctionen in den
%% algebraischen Relationen zwischen hyperelliptischen Integralen
%% \dotfill 123
%%
%% \medskip
%% \begin{center}
%% \large{Achte Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Reduction hyperelliptischer Integrale auf niedere
%% Transcendenten.}
%% \end{center}
%%
%% Hyperelliptische Integrale, welche auf algebraische Functionen
%% zurückführbar sind \dotfill 130
%%
%% Hyperelliptische Integrale, welche auf algebraisch-logarithmische
%% Functionen zurückführbar sind \dotfill 132
%%
%% \medskip
%% \begin{center}
%% \large{Neunte Vorlesung.}
%%
%% \textbf{Multiplication und Division der hyperelliptischen Integrale.}
%% \end{center}
%%
%% Zwei verschiedene Formen des Multiplicationsproblems \dotfill 154
%%
%% Division der hyperelliptischen Integrale \dotfill 156
%%
%% Theilung der Perioden der hyperelliptischen Integrale \dotfill 165
%%
%-----File: 005.png------------------------------
\mainmatter
\pagestyle{fancy}


\Chapter{Erste Vorlesung.}
{Einleitung in die Theorie der hyperelliptischen Integrale.}

\addtotoc{Verzweigung der zur Quadratwurzel aus einem Polynome
$2p+1^{\text{ten}}$ oder $2p+2^{\text{ten}}$ Grades gehörigen
\so{Riemann}'schen Fläche}

Bezeichnet $s$ eine durch die quadratische Gleichung
\[
  a_0 s^2 + 2a_1 s + a_2 = 0
\]
definirte algebraische Function, in welcher die ganzen Functionen
$a_0$, $a_1$, $a_2$ der Variabeln $z$ so beschaffen sind, dass
\[
  s = -a_1 ± \sqrt{a_1^2 - a_0 a_2}
\]
eine rationale Function von $z$ und einer Quadratwurzel aus einem
nur einfache Factoren enthaltenden Polynome ${2p+1}^{\text{ten}}$ oder
${2p+2}^{\text{ten}}$
Grades darstellt, so wird der Theorie \emph{der hyperelliptischen
Integrale
${p-1}^{\mathit{ter}}$ Ordnung} ein Ausdruck von der Form
\[
  F(z, s),
\]
worin $F$ eine rationale Function bedeutet oder
\[
  f\big( z, \sqrt{R(z)} \,\big)
\]
zu Grunde gelegt, in welchem $f$ wiederum eine rationale Function
und $R(z)$ ein von Doppelfactoren freies Polynom ${2p+1}^{\text{ten}}$
oder
${2p+2}^{\text{ten}}$ Grades bezeichnet.

Der geometrische Ort der Variabeln $z$, von dem die Function
\[
  f\big( z, \sqrt{R(z)} \,\big)
\]
eindeutig abhängt, ist, wie aus den allgemeinen Principien der
Functionentheorie bekannt, \emph{eine doppelblättrige \so{Riemann}'sche
Fläche
mit $2p+2$ Verzweigungspunkten, die, wenn $R(z)$ vom
${2p+1}^{\mathit{ten}}$
Grade, die $2p+1$ Wurzeln dieses Polynoms und der unendlich entfernte
Punkt, wenn $R(z)$ ein Polynom des ${2p+2}^{\mathit{ten}}$ Grades, die
$2p+2$ Wurzeln dieses Polynoms sind.}

Es ist aber auch unmittelbar zu sehen,
\begin{quote}
\emph{dass jede in der angegebenen Weise verzweigte Function,
welche in einer endlichen Anzahl von Punkten von einer
endlichen Ordnung unendlich wird, rational aus $z$ und
$\sqrt{R(z)}$ zusammengesetzt ist;}
\end{quote}
denn da jede mehrdeutige Function $S$, deren \so{Riemann}'sche Fläche
aus zwei Blättern besteht, und die nur in einer endlichen Anzahl
von Punkten derselben von einer endlichen Ordnung unendlich wird,
%-----File: 006.png------------------------------
bekanntlich als Lösung einer quadratischen Gleichung dargestellt
werden kann, deren Coefficienten ganze Functionen von $z$ sind, und
die Gleichung
\[
  b_0 S^2 + 2b_1 S + b_2 = 0
\]
wieder
\[
  S = -b_1 ± \sqrt{{b_1}^2 - b_0 b_2}
\]
ergiebt, so wird, wenn die Verzweigung von $S$ dieselbe wie die von
$s$ sein soll, das Polynom
\[
  {b_1}^2 - b_0 b_2,
\]
wenn es von unpaarem Grade ist, jene $2p + 1$ Wurzeln, und wenn
von paarem Grade, jene $2p + 2$ Wurzeln und nur diese eine ungrade
Anzahl mal enthalten müssen, so dass sich also $S$ wieder rational
durch $z$ und $\sqrt{R(z)}$ ausdrücken wird.

\addtotoc{Die zur Existenz einer in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen
Function
nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Anzahl und Lage der
Unstetigkeitspunkte}
Es soll nun untersucht werden, ob sich stets eine aus $z$ und
$\sqrt{R(z)}$ rational zusammengesetzte, also auf der zweiblättrigen
Fläche
eindeutige Function bilden lässt, deren Unstetigkeitspunkte
\emph{willkürlich}
auf dieser Fläche festgelegt sind, wie es für rationale Functionen
von $z$ bekanntlich der Fall ist, und die Methode entwickelt werden,
vermittels welcher eine solche Function wirklich hergestellt wird.

Seien
\[
  a_1, a_2, \cdots a_\varrho
\]
beliebige $\varrho$ Unstetigkeitspunkte, in denen die Function von der
\[
  m_1, m_2, \cdots {m_\varrho}^\mathit{ten}
\]
Ordnung unendlich sein soll, und die so beschaffen seien, dass sie
Unstetigkeitspunkte nur für \emph{ein} Blatt der Fläche sind, also nur in
der bestimmten Werthecombination
\[
  a_r, \varepsilon_r \sqrt{R(a_r)},
\]
worin $\varepsilon_r$ entweder nur die positive oder nur die negative
Einheit
bedeutet; seien ferner
\[
  b_1, b_2, \cdots b_\sigma
\]
Unstetigkeitspunkte für beide Blätter zugleich, in denen die Function
und zwar in den Punkten
\[
  b_1,\sqrt{R(b_1)}\,;\quad b_2, \sqrt{R(b_2)}\,; \quad\cdots\quad
  b_\sigma, \sqrt{R(b_\sigma)}
\]
resp.\ von der
\[
  n_1,  n_2, \cdots {n_\sigma}^\mathit{ten}
\]
Ordnung, in den Punkten
\[
  b_1, -\sqrt{R(b_1)}\,;\quad b_2, -\sqrt{R(b_2)}\,; \quad\cdots\quad
  b_\sigma, -\sqrt{R(b_\sigma)}
\]
resp.\ von der
\[
  \nu_1,  \nu_2, \cdots {\nu_\sigma}^\mathit{ten}
\]
Ordnung unendlich sein soll, wobei angenommen wird, dass die $b$-Punkte
%-----File: 007.png------------------------------
nicht Verzweigungspunkte der Fläche sind, und ohne Beschränkung
der Allgemeinheit
\[
  n_1 \geqq \nu_1,\quad n_2 \geqq \nu_2, \quad\cdots\quad
  n_\sigma \geqq \nu_\sigma
\]
vorausgesetzt werden darf; soll ferner die herzustellende in $z$ und
$\sqrt{R(z)}$ rationale Function in den $2p + 2$ Verzweigungspunkten
\[
  \alpha_1,\quad \alpha_2,\ \cdots\ \alpha_{2p+1},\ \alpha_{2p+2}
\]
von der
\[
  \frac{k_1}{2},\quad \frac{k_2}{2},\ \cdots\
  \frac{k_{2p+1}}{2},\quad \frac{ {k_{2p+2}}^\mathit{ten} }{2}
\]
Ordnung unendlich sein, worin, wenn das Polynom $R(z)$ vom
${2p+2}^\text{ten}$
Grade ist, nur $k_{2p+2} = 0$ zu setzen ist, und unterwirft man endlich
noch die Function der Bedingung, dass sie im unendlich entfernten
Punkte, wenn $R(z)$ vom ${2p+2}^\text{ten}$ Grade ist, auf dem Blatte
\[
  \infty, + \sqrt{R(\infty)}
\]
von der ${\tau_1}^\text{ten}$, auf dem Blatte
\[
  \infty, - \sqrt{R(\infty)}
\]
von der ${\tau_2}^\text{ten}$ Ordnung unendlich sein soll, worin
$\tau_1 \geqq \tau_2$ festgesetzt
wird, während, wenn $R(z)$ vom ${2p+1}^\text{ten}$ Grade, also der
unendlich
entfernte Punkt ein Verzweigungspunkt ist, die Function von der
\[
  \frac{k}{2}^\mathit{ten}
\]
Ordnung unendlich werden soll, worin $k$ grade oder ungrade sein
darf, so werden sich die Bedingungen für die Existenz einer solchen
Function und die Methode zu ihrer Herstellung in analytischer Form
in den jene Function bestimmenden Grössen leicht entwickeln lassen.

Da sich nämlich jede rationale Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$ in
die Form setzen lässt:
\[
  f\big(z, \sqrt{R(z)}\big)
= \frac{ \varphi_0(z) + \varphi_1(z)\sqrt{R(z)} }{ \psi_0(z) +
\psi_1(z)\sqrt{R(z)} },
\]
worin
\[
  \varphi_0(z),\ \varphi_1(z),\ \psi_0(z),\ \psi_1(z)
\]
ganze Functionen von $z$ bedeuten, oder auch, wenn Zähler und Nenner
mit dem conjugirten Werthe des Nenners multiplicirt wird, in die
Form:
\[
  f\bigl(z, \sqrt{R(z)}\bigr)
= \frac{ F_0(z) + F_1(z)\sqrt{R(z)} }{F_2(z)},
\]
worin wiederum:
\[
  F_0(z),\ F_1(z),\ F_2(z)
\]
ganze Functionen von $z$ vorstellen, von denen wir annehmen dürfen
dass sie keinen gemeinsamen Theiler haben, so wird, wie sich unmittelbar
einsehen lässt,
%-----File: 008.png------------------------------
\[
\begin{split}
  F_2(z)
= (z-a_1)^{m_1} (z-a_2)^{m_2} \dotsm (z-a_{\varrho})^{m_{\varrho}}
  (z-b_1)^{n_1} (z-b_2)^{n_2} \dotsm (z-b_{\sigma})^{n_{\sigma}}
\\
×(z-\alpha_1)^{\left( \frac{k_1 +1}{2} \right)}
      (z-\alpha_2)^{\left( \frac{k_2 +1}{2} \right)} \dotsm
      (z-\alpha_{2p+2})^{\left( \tfrac{k_{2p+2} +1}{2} \right)}
\end{split}
\]
zu setzen sein, wenn
\[
  \left( \frac{k_{1   } +1}{2} \right),
  \left( \frac{k_{2   } +1}{2} \right), \dotsm
  \left( \frac{k_{2p+2} +1}{2} \right)
\]
die grössten in diesen Brüchen enthaltenen ganzen Zahlen bedeuten.

Es wird sich nun darum handeln, die Bedingungen zu befriedigen,
denen die $a$- und $b$-Punkte, die Verzweigungspunkte und der unendlich
entfernte Punkt genügen sollten.

Da die Function
\[
  f\bigl( z, \sqrt{R(z)} \bigr)
\]
im Punkte $a_r$ und zwar nur auf dem Blatte
\[
  a_r, \varepsilon_r \sqrt{R(a_r)}
\]
von der $m_r^{\text{ten}}$ Ordnung unendlich werden soll, so werden in
der
\so{Taylor}'schen Entwicklung der Function
\[
  F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}
\]
um den Punkt
\[
  a_r, -\varepsilon_r \sqrt{R(a_r)}
\]
herum, die Coefficienten der Potenzen
\[
  (z-a_r)^0, (z-a_r)^1, \dotsm (z-a_r)^{m_r -1}
\]
verschwinden müssen, oder es werden die in den Functionen $F_0(z)$
und $F_1(z)$ enthaltenen unbestimmten Coefficienten den Bedingungen
unterworfen sein:
\renewcommand\arraystretch{2.0}
\[
\begin{array}{r}
  \Bigl[ F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}
  \Bigr]_{z=a_r, \sqrt{R(z)} = -\varepsilon_r \sqrt{R(a_r)}}  = 0, \\
  \Bigl[ \dfrac{d}{dz}
         \bigl( F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}  \,\bigl)
         \Bigr]_{z=a_r, \sqrt{R(z)} = -\varepsilon_r \sqrt{R(a_r)}}  =
         0, \\
\hdotsfor[3]{1}\\
  \Big[ \dfrac{d^{m_r -1}}{dz^{m_r -1}}
         \big( F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}  \,\big)
         \Big]_{z=a_r, \sqrt{R(z)} = -\varepsilon_r \sqrt{R(a_r)}}  =
         0, \\
\end{array}
\]
\renewcommand\arraystretch{1.5}%
und man erhält somit
\[
  m_1 + m_2 + \dotsb + m_{\varrho}
\]
Bedingungsgleichungen für die Constanten des Zählers.

Die $b$-Punkte müssen in Folge der Annahme
\[
  n_1 \geqq \nu_1, \quad n_2 \geqq \nu_2, \quad\dotsm\quad
  n_{\sigma} \geqq \nu_{\sigma}
\]
der Bedingung unterworfen werden, dass die Function in den Punkten
%-----File: 009.png------------------------------
\[
  b_1, -\sqrt{R(b_1)};\quad b_2, -\sqrt{R(b_2)}; \quad\dotsc\quad
  b_\sigma, -\sqrt{R(b_\sigma)}
\]
nur von der
\[
  \nu_1,\quad \nu_2,\quad \dotsc \quad {\nu_\sigma}^{\mathit{ten}}
\]
Ordnung unendlich ist, oder dass
\renewcommand\arraystretch{2.0}
\[
\begin{array}{r}
  \Bigl[ F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}
  \Bigr]_{z=b_r, \sqrt{R(z)} = -\sqrt{R(b_r)}}  = 0, \\
  \Bigl[ \dfrac{d}{dz}
         \bigl( F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}  \,\bigl)
         \Bigr]_{z=b_r, \sqrt{R(z)} = -\sqrt{R(b_r)}}  = 0, \\
\hdotsfor[3]{1}\\
  \Big[ \dfrac{d^{n_r-\nu_r-1}}{dz^{n_r-\nu_r-1}}
         \big( F_0(z) + F_1(z) \sqrt{R(z)}  \,\big)
         \Big]_{z=b_r, \sqrt{R(z)} = -\sqrt{R(b_r)}}  = 0, \\
\end{array}
\]
\renewcommand\arraystretch{1.5}
wird, woraus sich wiederum
\[
  n_1 - \nu_1 + n_2 - \nu_2 + \dotsb + n_\sigma - \nu_\sigma
\]
Bedingungen ergeben.

Was ferner die im Endlichen liegenden Verzweigungspunkte der
Function betrifft, so wird, wenn $k_r$ eine grade Zahl ist, die
entsprechende Festsetzung für die Unstetigkeit keine Bedingung für die
Constanten des Zählers liefern, während, wenn $k_r$ ungrade, nothwendig
die Bedingung
\[
  F_0(\alpha_r) = 0
\]
wird statthaben müssen, damit die gesuchte Function von der
$\frac{k_r}{2}^{\mathit{ten}}$
Ordnung unendlich ist, und wenn somit das Zeichen
\[
  \left[ k_r \right] = 0\text{ oder }= 1
\]
ist, je nachdem $k_r$ grade oder ungrade, so wird die Anzahl der aus
den im Endlichen liegenden Verzweigungspunkten hervorgehenden
Bedingungsgleichungen
\[
  \left[ k_1 \right] + \left[ k_2 \right] + \dotsb
+ \left[ k_{2p+2} \right]
\]
sein.

Fassen wir nunmehr diejenigen Bedingungen zusammen, welche
sich aus den im Endlichen liegenden Unstetigkeitspunkten für die
Constanten des Zählers der in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen Function
ergeben,
so ist die Anzahl derselben
\[
  \sum_{r=1}^\varrho \ m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma \left(n_r - \nu_r\right)
+ \sum_{r=1}^{2p+2} \left[ k_r \right],
\]
worin, wenn $R(z)$ vom ${2p+1}^{\text{ten}}$ Grade, $k_{2p+2} = 0$
zu setzen ist;
und es mag noch bemerkt werden, dass auf diese Weise nicht nur
die Anzahl der Bedingungsgleichungen gefunden, sondern auch die
Methode zur Bestimmung der Constanten also zur wirklichen
Herstellung der Function gegeben sein wird.
%-----File: 010.png------------------------------

Was endlich die für den unendlich entfernten Punkt gemachten
Festsetzungen angeht, so wird, wenn $R(z)$ vom ${2p+2}^{\text{ten}}$
Grade ist,
die Entwicklung des Zählers nach fallenden Potenzen von $z$ in der
Umgebung des Punktes $\infty$, $+\sqrt{R(\infty)}$ mit einer Potenz von
$z$ beginnen
müssen, deren Exponent den Grad des Nenners um $\tau_1$ Einheiten
übersteigt, während die ähnliche Entwicklung um den entsprechenden
Punkt $\infty$, $-\sqrt{R(\infty)}$ herum, da $\tau_1 \geqq \tau_2$
angenommen worden,
nothwendig so beschaffen sein muss, dass die ersten $\tau_1 - \tau_2$
Coefficienten
des Zählers in der vorherigen Entwicklung nach fallenden Potenzen
von $z$, wenn nur $-\sqrt{R(z)}$ statt $+\sqrt{R(z)}$ gesetzt wird,
verschwinden,
und es werden sich somit
\[
  \tau_1 - \tau_2
\]
Bedingungen für die Coefficienten des Zählers ergeben; ist dagegen
$R(z)$ vom ${2p+1}^{\text{ten}}$ Grade, so wird der Grad des Zählers
den des
Nenners um $\frac{k}{2}$ Einheiten übersteigen müssen, ohne dass für die
Constanten des Zählers Bedingungen eintreten.

Sei also jetzt
\[
%**** Similar structures look like "quote"s
  \text{I.}\quad R(z)\text{ vom }{2p+2}^{\text{ten}} \text{ Grade,}
\]
so wird man den Grad von
\begin{align*}
 &F_0(z) \text{ gleich }
  \sum_{r=1}^{\varrho} m_r + \sum_{r=1}^{\sigma} n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+2} \left( \frac{k_r+1}{2} \right) + \tau_1,   \\
\intertext{den von}
 &F_1(z) \text{ gleich }
  \sum_{r=1}^{\varrho} m_r + \sum_{r=1}^{\sigma} n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+2} \left( \frac{k_r+1}{2} \right) + \tau_1 - p - 1
\end{align*}
annehmen dürfen, und die Zahl der im Zähler auftretenden
willkürlichen Constanten wird, wenn wir von einer multiplicatorischen
Constanten absehen,
\[
  2\sum_{r=1}^{\varrho} m_r + 2\sum_{r=1}^{\sigma} n_r
+ 2\sum_{r=1}^{2p+2} \left( \frac{k_r+1}{2} \right) + 2\tau_1 - p
\]
sein; da aber, wie oben gezeigt worden,
\[
  \sum_{r=1}^{\varrho} m_r + \sum_{r=1}^{\sigma} (n_r - \nu_r)
+ \sum_{r=1}^{2p+2} \left[ k_r \right] + \tau_1 - \tau_2
\]
Bedingungen für dieselben stattfinden, so wird, wenn die Function
existiren soll, die Zahl der Bedingungen die der willkürlichen
Constanten nicht übersteigen dürfen, oder es wird die Ungleichheit
bestehen müssen
\[
\tag{1}
  \sum_{r=1}^{\varrho} m_r + \sum_{r=1}^{\sigma} (n_r + \nu_r)
+2\sum_{r=1}^{2p+2} \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
- \sum_{r=1}^{2p+2} \left[ k_r \right] + \tau_1 + \tau_2 - p \geqq 0.
\]
%-----File: 011.png------------------------------

Ist
\[
  \text{II.}\quad R(z) \text{ vom } {2p+1}^\text{ten} \text{ Grade,}
\]
so wird man, wenn $\left( \dfrac{k}{2} \right)$ die grösste in
$\dfrac{k}{2}$ enthaltene ganze Zahl
bedeutet, den Grad von
\begin{align*}
  F_0(z) \text{ gleich }
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma  n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+1}  \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
&                   + \left( \frac{k}{2} \right), \\
\intertext{den von}
  F_1(z) \text{ gleich }
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma  n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+1}  \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
&+ \left.
  \begin{array}{l}
    \left( \dfrac{k}{2} \right) - p - 1  \\[6pt]
    \left( \dfrac{k}{2} \right) - p
  \end{array}
  \right\}
  \begin{array}{l}
    \text{wenn } k \text{ grade}  \\
    \text{wenn } k \text{ ungrade}
  \end{array}
\end{align*}
annehmen dürfen, und die Zahl der willkürlichen Constanten wird
somit
\[
  2\sum_{r=1}^\varrho m_r
+ 2\sum_{r=1}^\sigma  n_r
+ 2\sum_{r=1}^{2p+1}  \left( \frac{k_r+1}{2} \right) + k - p
\]
sein; da nun die Zahl der Bedingungen in diesem Falle
\[
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma (n_r - \nu_r)
+ \sum_{r=1}^{2p+1} \left[ k_r \right]
\]
ist, so wird für die Existenz der in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen
Function
die Ungleichheit erfüllt sein müssen
\[
\tag{2}
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma (n_r + \nu_r)
+2\sum_{r=1}^{2p+1} \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
-\sum_{r=1}^{2p+1} \left[ k_r \right] + k - p \geqq 0,
\]
wodurch zugleich eine Grenze für die Anzahl etwaiger anderer
Bedingungen gegeben ist.

Beachtet man endlich, dass, weil $F_1(z)$ eine ganze Function, also
der Grad, wenn die gegebene Function nicht nur rational von $z$
abhängen soll, grösser oder gleich Null sein muss, in dem einen oder
andern Falle die Ungleichheit bestehen wird:
\begin{align*}
\tag{3}
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma  n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+2} \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
&+ \tau_1 - p -1 \geqq 0,
\\
\tag{4}
  \sum_{r=1}^\varrho m_r
+ \sum_{r=1}^\sigma  n_r
+ \sum_{r=1}^{2p+1} \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
&+ \left.
  \begin{array}{l}
    \left( \dfrac{k}{2} \right) - p - 1  \\[6pt]
    \left( \dfrac{k}{2} \right) - p
  \end{array}
  \right\}
  \begin{array}{l}
    \text{wenn } k \text{ grade}  \\
    \text{wenn } k \text{ ungrade}
  \end{array}
\end{align*}
und dass wegen der aus der Definition der Grössen unmittelbar
ersichtlichen Beziehung
\[
  \sum_r \left( \frac{k_r+1}{2} \right)
- \sum_r \left[ k_r \right] \geqq 0
\]
%-----File: 012.png------------------------------
die Ungleichheiten (3) und (4) die Ungleichheiten (1) und (2) zur
Folge haben, so werden wir
\begin{quote}
\emph{die Ungleichheiten \emph{(3)} und \emph{(4)} als die für die
Existenz einer
in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen und in der verlangten Weise
unstetigen Function notwendigen und hinreichenden Bedingungen
anzusehen haben. Zugleich ist durch die obige
Behandlung die Methode zur wirklichen Herstellung der
Function gegeben.}
\end{quote}

So wird sich \zB, wenn die zu bestimmende Function nur in
den Punkten
\[
  a_1, a_2, \cdots a_\varrho
\]
und zwar in jedem nur von der ersten Ordnung unendlich, sonst
überall endlich sein soll, für beide Fälle die Ungleichheit
\[
  \varrho \geqq p + 1
\]
ergeben, so dass eine in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationale Function mit
weniger
als $p + 1$ beliebig gewählten Unstetigkeiten erster Ordnung nicht
existirt.

\addtotoc{Reduction der Polynome paaren Grades of solche unpaaren Grades}
Nachdem die Frage nach der Existenz und wirklichen Herstellung
einer in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen Function für den Fall, dass
$R(z)$ von paarem oder unpaarem Grade ist, behandelt worden, wollen
wir zeigen, dass wir uns im Folgenden nur mit Irrationalitäten zu
beschäftigen haben, welche durch eine Quadratwurzel aus einem
Polynome unpaaren Grades dargestellt werden, indem sich nachweisen lässt,
\begin{quote}
\emph{dass sich jede aus $\zeta$ und $\sqrt{\varphi(\zeta)}$
rational zusammengesetzte
Function, worin
\[
  \varphi(\zeta) = (\zeta - a_1)(\zeta - a_2)\dotsm (\zeta - a_{2p+2})
\]
ist, durch eine in $\zeta$ und $z$ rationale lineare Substitution in
eine andere Function verwandeln lässt, welche rational aus
$z$ und $\sqrt{R(z)}$ zusammengesetzt ist, wenn
\[
  R(z) = (z - \alpha_1)(z - \alpha_2)\dotsm (z - \alpha_{2p+1})
\]
gesetzt wird.}
\end{quote}

Substituirt man nämlich bei willkürlicher Wahl von $\alpha_1$
\[
  \frac{\zeta - a_1}{\zeta - a_{2p+2}} = z - \alpha_1,
\]
woraus
\[
  \zeta = \frac{a_{2p+2}z - (a_1 + \alpha_1 a_{2p+2})}
               {z - (1+\alpha_1)}
\]
folgt, so wird, wenn statt der entstehenden Constantenverbindungen
die Grössen
\[
  \alpha_2,\ \alpha_3,\ \dotsm\ \alpha_{2p+1}
\]
gesetzt werden,
%-----File: 013.png------------------------------
\[
\begin{array}{rcl}
  \zeta - a_2
&=&\left( a_{2p+2} - a_2\right)
  \dfrac{z - \alpha_2}{z - (1+\alpha_1)},
\\
  \zeta - a_3
&=&\left( a_{2p+2} - a_3\right)
  \dfrac{z - \alpha_3}{z - (1+\alpha_1)},
\\ \hdotsfor[3]{3} \\
  \zeta - a_{2p+1}
&=& \left( a_{2p+2} - a_{2p+1}\right)
  \dfrac{z - \alpha_{2p+1}}{z - (1+\alpha_1)},
\\
  \zeta - a_{2p+2}
&=& \left( a_{2p+2} - a_1\right)
  \dfrac{1}{z - (1+\alpha_1)}
\end{array}
\]
sein, und sich somit
\[
  \sqrt{\varphi(\zeta)}
= \frac{ \left(a_{2p+2} - a_1\right)
         \sqrt{(a_{2p+2} - a_2) \dotsm (a_{2p+2} - a_{2p+1})}
         \sqrt{R(z)} }
       { \bigl(z - (1+\alpha_1)\bigr)^{p+1} }
\]
ergeben, woraus folgt, dass jede in $\zeta$ und $\sqrt{\varphi(\zeta)}$
rationale Function
\[
  F\bigl(\zeta, \sqrt{\varphi(\zeta)}\,\bigr)
\]
durch eine rationale lineare Substitution in eine in $z$ und $\sqrt{R(z)}$
rationale
\[
  f\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)
\]
umgeformt werden kann, oder dass für die Differentialausdrücke die
Transformationsgleichung besteht
\[
  F\bigl(\zeta, \sqrt{\varphi(\zeta)}\,\bigr) d\zeta
= \frac{a_1 - a_{2p+2}}{\left(z - (1+\alpha_1)\right)^2}\;
  f\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)\, dz.
\]

Wir werden uns somit im Folgenden nur mit den Integralen solcher
Functionen zu beschäftigen brauchen, welche rational aus der Variabeln
und einer Quadratwurzel aus einem Polynome ${2p+1}^{\text{ten}}$ Grades
dieser
Grösse zusammengesetzt sind.
\eoc
%-----File: 014.png------------------------------


\Chapter{Zweite Vorlesung.}
{Die hyperelliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Gattung.}

\addtotoc{Definition der hyperelliptischen Integrale der drei Gattungen}

Man nennt \textit{hyperelliptische Integrale ${p - 1}^{\text{ter}}$
Ordnung} alle
Integrale von der Form
\[
  \int f\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)\,dz,
\]
in denen $f$ eine rationale Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$ bedeutet,
und
$R(z)$, wie nach den Auseinandersetzungen der vorigen Vorlesung
ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden darf, ein
Polynom ${2p + 1}^{\text{ten}}$ Grades von der Form
\[
  R(z) = A(z-\alpha_1)(z - \alpha_2)\dotsm (z - \alpha_{2p+1})
\]
darstellt.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=7.9cm,height=6.3cm]{images/fig01}
\end{figure}

Um die die Function $\sqrt{R(z)}$ repräsentirende doppelblättrige
\so{Riemann}'sche Fläche, deren Verzweigungsschnitte von $\alpha_1$,
nach $\alpha_2$, von
$\alpha_3$ nach $\alpha_4$, \usw\ endlich von $\alpha_{2p+1}$ in die
Unendlichkeit geführt
sein mögen, in eine einfach zusammenhängende zu zerlegen, soll
zuerst ein im ersten Blatte verlaufender, den Verzweigungsschnitt
$\alpha_1 \alpha_2$ umschliessender Querschnitt $a_1$ gezogen werden,
und ein zweiter
$b_1$, welcher zwei gegenüberliegende Punkte (s.~Fig.~1) von $a_1$,
mit einander
verbindet und den Verzweigungsschnitt $\alpha_{2p+1} \infty$
durchschneidet;
sodann ziehe man einen dritten Querschnitt $a_2$, welcher $\alpha_3
\alpha_4$ umschliesst
%-----File: 015.png------------------------------
und verbinde diesen durch die Linie $c_1$ mit $b_1$, ferner einen
Querschnitt $b_2$ von einem Punkte von $a_2$ zu dem gegenüberliegenden
aber so, dass derselbe wiederum den Verzweigungsschnitt
$\alpha_{2p+1}\infty$
trifft \usw, so wird durch die $2p$ Querschnitte
\[
  a_1,\ a_2,\ \dotsc\ a_p,\ b_1,\ b_2,\ \dotsc\ b_p
\]
und die $p-1$ Verbindungslinien $c_1$, $c_2$, $\dotsc$ $c_{p-1}$, welche
zu den
$a$-Querschnitten hinzuzunehmen sind, die Fläche in eine einfach
zusammenhängende zerlegt werden.

Nun soll ein hyperelliptisches Integral \emph{erster Gattung} ein solches
genannt werden, welches für \emph{keinen} Punkt der \so{Riemann}'schen
Fläche unendlich wird, \emph{zweiter Gattung} ein solches, welches nur in
\emph{einem} Punkte derselben und zwar \emph{algebraisch von der ersten
Ordnung
unendlich} ist, endlich ein hyperelliptisches Integral \emph{dritter}
Gattung
ein solches, welches für \emph{zwei} beliebig gewählte Punkte der Fläche
$z_1$ und $z_2$ \emph{logarithmisch unendlich} wird und zwar so, dass,
wenn das
Integral in $z_1$ unendlich wird wie
\[
  A_1 \log(z - z_1)
\]
und in $z_2$ wie
\[
  A_2 \log(z - z_2)
\]
\emph{zwischen den Coefficienten der Unstetigkeitsfunctionen die
Beziehung
besteht}
\[
  A_1 + A_2 = 0.\footnotemark
\]
\footnotetext{Für den Fall, dass $z_1$ oder $z_2$ Verzweigungspunkte der Fläche sind,
  wird man nur, damit diese Beziehung bestehen bleibt
  \[
  A_1 \log(z - z_1)^{\frac{1}{2}} \quad\text{oder}\quad
  A_2 \log(z - z_2)^{\frac{1}{2}}
  \]
  als Unstetigkeitsfunctionen einzuführen brauchen, \dh\ die Logarithmen von
  Functionen, die in diesen Verzweigungspunkten von der ersten Ordnung Null
  werden.}%

Dass diese letztere Bedingung eine nothwendige, wenn überhaupt
ein hyperelliptisches Integral bestimmbar sein soll, ist leicht
einzusehen;
denn denkt man sich für dieses Integral die beiden Punkte
$z_1$ und $z_2$ durch unendlich kleine Kreise ausgeschlossen und die
Peripherieen
dieser Kreise mit ein und demselben Punkte eines der oben
bezeichneten Querschnitte verbunden, so wird offenbar das Integral
in einer Curve um diesen Punkt genommen den Werth
\[
  2\pi i A_1 + 2\pi i A_2
\]
haben, da der Querschnitt zweimal in entgegengesetzter Richtung
überschritten wird, und der von dem Logarithmus herrührende
Stetigkeitssprung bekanntlich $2\pi i$ ist; da jedoch der Werth des
Integrals
auf jener Curve in der ursprünglichen Fläche genommen Null ist,
so wird sich
\[
  A_1 + A_2 = 0
\]
ergeben. Zugleich geht hieraus hervor, \emph{dass kein hyperelliptisches
%-----File: 016.png------------------------------
Integral existiren kann, welches nur in \so{einem} Punkte auf \so{einem}
Blatte der \so{Riemann}'schen Fläche logarithmisch unendlich wird,} da
sonst der Coefficient des logarithmischen Gliedes verschwinden müsste.

\addtotoc{Aufstellung der Integrale der drei Gattungen}
Es soll nun die Form der hyperelliptischen Integrale erster
Gattung, die also in keinem Punkte unendlich sind, aufgestellt
werden. Gehen wir von dem allgemeinen hyperelliptischen Integrale
\[
  \int_{z_0} \frac{ \varphi_0(z) + \varphi_1(z)\sqrt{R(z)} }
                  { \psi_0(z) + \psi_1(z)\sqrt{R(z)} } \;dz
\]
aus, in welchem
\[
  \varphi_0(z),\ \varphi_1(z),\ \psi_0(z),\ \psi_1(z),
\]
ganze Functionen von $z$,
\[
  R(z) = A(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\dotsm(z-\alpha_{2p+1}),
\]
und $z_0$ weder ein Verzweigungspunkt noch ein Unstetigkeitspunkt der
Function unter dem Integral ist, oder auch von dem Integrale
\[
  \int_{z_0} \frac{f_0(z) + f_1(z)\sqrt{R(z)}}{\varphi(z)} \;dz,
\]
in welchem
\[
  f_0(z),\ f_1(z),\ \varphi(z)
\]
ganze Functionen ohne gemeinsamen Theiler bedeuten.

Sei nun
\[
  \varphi(z) = (z-a_1)^{k_1} (z-a_2)^{k_2} \dotsm ,
\]
so folgt leicht aus bekannten Sätzen über die Stetigkeit von Integralen
unstetiger Functionen, dass, weil das Integral in den Punkten
$a_1$, $a_2$, $\dotsm$ auf beiden Blättern also für die Werthe
\[
  ±\sqrt{R(a_1)},\quad ±\sqrt{R(a_2)}, \quad\dotsm
\]
endlich sein soll, $a_1$, $a_2$, $\dotsm$ zu den Verzweigungspunkten
gehören
müssen; wird nun
\[
  \varphi(z) = (z-\alpha_1)^{k_1} (z-\alpha_2)^{k_2} \dotsm
               (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}}
\]
gesetzt, so fordert die Bedingung, dass das Integral auch in den
Verzweigungspunkten endlich oder dass
\[
  \left\{ (z-\alpha_r)
          \frac{ f_0(z) + f_1(z)\sqrt{R(z)} }{ (z-\alpha_1)^{k_1}
          (z-\alpha_2)^{k_2}
                 \dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}} }
 \right\}_{z = \alpha_r} %\mspace{-18 mu}
= 0
\]
sei, dass die Grössen
\[
  k_1,\ k_2,\ \dotsm \ k_{2p+1},
\]
wie man durch eine leichte Ueberlegung findet, die Null oder die
Einheit bedeuten, und $f_0(z)$ durch $\varphi(z)$ theilbar sein muss;
es nimmt
somit das obige Integral die Form an:
\[
  \int_{z_0}
  \frac{ (z-\alpha_1)^{k_1} \dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}}F_0(z)
         + f_1(z)\sqrt{R(z)} }
       { (z-\alpha_1)^{k_1} \dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}} } \;dz,
\]
%-----File: 017.png------------------------------
in welchem auch $F_0(z)$ eine ganze Function von $z$ bedeutet. Beachtet
man endlich noch, dass dieses Integral auch im unendlich entfernten
Punkte endlich sein soll, und sich daher die Function unter dem
Integral mit $z$ multiplicirt für unendlich grosse $z$ der Null nähern
muss, so folgt, da $\sqrt{R(z)}$, nach fallenden Potenzen von $z$
entwickelt,
nur gebrochene Potenzen enthält, dass
\[
  F_0(z)=0,
\]
und dass, wenn sodann Zähler und Nenner mit der ganzen Function
\[
 (z-\alpha_1 )^{1-k_1}  (z-\alpha_2 )^{1-k_2} \dotsm
 (z-\alpha_{2p+1} )^{1-k_{2p +1}}
\]
multiplicirt wird, in dem Integral
\[
 \int_{z_0} \frac{(z-\alpha_1 )^{1-k_1}  \dotsm
 (z-\alpha_{2p+1} )^{1-k_{2p +1}}f_1(z)}{\sqrt{R(z)}}\;dz
\]
der Grad des Zählers die Zahl $p-\frac{1}{2}$ nicht übersteigen, also
höchstens
der ${p-1}^{\text{te}}$ sein darf, so dass wir als allgemeinstes
hyperelliptisches
Integral erster Gattung das folgende erhalten:
\[
J(z) =\int_{z_0} \frac{a_0+a_1z+a_2z^2+\dotsb+a_{p-1}z^{p-1}}{\sqrt{R(z)}}
\;dz,
\]
welches sich wiederum aus den einzelnen hyperelliptischen Integralen
\[ \int_{z_0} \frac{       dz}{\sqrt{R(z)}},\quad
   \int_{z_0} \frac{z     \, dz}{\sqrt{R(z)}},\quad
   \int_{z_0} \frac{z^2   \, dz}{\sqrt{R(z)}},\quad\dotsc\quad
   \int_{z_0} \frac{z^{p-1}\,dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
zusammensetzt, deren Unabhängigkeit von einander wir später
nachweisen werden.

Um das allgemeinste hyperelliptische Integral \emph{zweiter Gattung}
zu ermitteln, welches in einem Punkte $z_1$ eines Blattes der
\so{Riemann}'schen
Fläche, welcher nicht Verzweigungspunkt sein soll, und
nur in diesem algebraisch von der ersten Ordnung unendlich wird,
gehen wir wieder von dem Ausdrucke des allgemeinen hyperelliptischen
Integrales
\[
  \int_{z_0} \frac{f_0(z)+f_1(z)\sqrt{R(z)}}{\varphi(z)}\;dz
\]
aus und schliessen genau wie vorher, dass $\varphi(z)$ ausser für $z=z_1$
nur noch für die Verzweigungspunkte verschwinden kann, und dass
ähnlich wie oben das Integral die Form haben muss:
\[
  \int_{z_0}
  \frac{(z-\alpha_1 )^{k_1}\dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p +1}} F_0(z)
           +F_1\sqrt{R(z)}}{%
       (z-z_1)^{k} (z-\alpha_1)^{k_1} \dotsm
           (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}} }\; dz.
\]

Berücksichtigt man ferner, dass das Integral in $z=z_1$ nur auf
\emph{einem} Blatte algebraisch von der ersten Ordnung unendlich sein
soll
%-----File: 018.png------------------------------
so ersieht man aus der Annahme, dass Zähler und Nenner keinen
Theiler gemeinsam haben, dass $k = 2$ sein muss, weil sonst das Integral
auf dem einen oder andern Blatte im Punkte $z_1$ von einer
höheren als der ersten Ordnung unendlich würde, und wenn ausserdem
die Bedingung hinzugenommen wird, dass das Integral für $z = \infty$
endlich bleibt, so folgt leicht, dass $F_0(z) = c_1$ eine Constante sein
muss, und dass in dem resultirenden Integrale
\[
  \int_{z_0} \biggl\{ \frac{c_1}{(z-z_1)^2}
+ \frac{ (z-\alpha_1)^{1-k_1} (z-\alpha_2)^{1-k_2} \dotsm
         (z-\alpha_{2p+1})^{1-k_{2p+1}} F_1(z) }{%
       (z-z_1)^2\sqrt{R(z)} } \biggr\} \;dz
\]
der Grad des Zählers im zweiten Bruche höchstens der ${p+1}^{\text{te}}$
sein
darf. Da man nun jede ganze Function des ${p+1}^{\text{ten}}$ Grades in
die
Form setzen kann:
\[
  (z-z_1)^2 \left[ a_{p-1}z^{p-1} + a_{p-2}z^{p-2}
                 + \dotsb + a_1z + a_0 \right] + c(z-z_1) + d,
\]
weil dieselbe $p+2$ willkürliche Constanten enthält, so geht das obige
Integral in die Summe der beiden Integrale
\[
  \int_{z_0}
  \biggl[ \frac{c_1}{(z-z_1)^2 }
       + \frac{c(z-z_1) + d}{(z-z_1)^2\sqrt{R(z)}} \biggr] \,dz
\,+\, \int_{z_0} \frac{ a_{p-1}z^{p-1} + a_{p-2}z^{p-2}
                  + \dotsb + a_0}{\sqrt{R(z)}} \;dz
\]
über, von denen das zweite das allgemeine hyperelliptische Integral
erster Gattung vorstellt; es bleibt uns daher nunmehr nur noch übrig,
den Bedingungen zu genügen, dass aus dem im Punkte $z_1$ unendlich
werdenden Integrale die logarithmische Unendlichkeit herausfällt und
nur eine algebraische Unendlichkeit \emph{erster Ordnung} auf \emph{einem}
Blatte
übrig bleibt. Um der ersten Forderung zu entsprechen, bemerke
man, dass für beide Blätter
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(z)}}
= \frac{1}{ R(z_1)^{\frac{1}{2}} }
- \tfrac{1}{2}\frac{R'(z_1)}{ R(z_1)^{\frac{3}{2}} }(z-z_1) + \dotsb,
\]
und somit der Coefficient von $(z-z_1)^{-1}$ in der Entwicklung der
Function unter dem Integralzeichen
\[
  cR(z_1)^{-\frac{1}{2}}
- \tfrac{1}{2}d \frac{R'(z_1)}{ R(z_1)^{\frac{3}{2}} }
\]
wird, so dass das logarithmische Glied verschwindet, wenn
\[
  2cR(z_1) - dR'(z_1) = 0  \tag*{($m$)}
\]
wird; um endlich noch der letzten Bedingung zu genügen, dass das
Integral nur auf demjenigen Blatte im Punkte $z_1$ algebraisch unendlich
von der ersten Ordnung sein soll, welchem der Wurzelwerth
$\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}$
entspricht, worin $\varepsilon_1$ die positive oder die negative Einheit
bedeutet, sind offenbar die Constanten noch der Bedingung zu unterwerfen,
dass der Coefficient der negativen zweiten Potenz in der
Entwicklung der Function unter dem Integral nach steigenden
%-----File: 019.png------------------------------
Potenzen von $z - z_1$ für den entgegengesetzten Werth der Quadratwurzel
verschwinde oder dass
\[
c_1 - d\varepsilon_1 R(z_1)^{-\frac{1}{2}} = 0 \leqno{(n)}
\]
ist. Mit Benutzung der Gleichungen $(m)$ und $(n)$ geht somit das
allgemeinste hyperelliptische Integral zweiter Gattung, wenn noch $c_1$
durch $M$ ersetzt wird, in
\[
  E(z)
= M\int_{z_0}
  \Biggl[ \frac{1}{(z-z_1)^2}
       + \frac{ \frac{ R'(z_1) }{%
               2\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }(z-z_1)
               + \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }{(z-z_1)^2
               \sqrt{R(z)}}
  \Biggr] \;dz + J(z)
\]
über, worin $J(z)$ das allgemeine hyperelliptische Integral erster
Gattung bedeutet.

Sucht man endlich das allgemeinste hyperelliptische Integral
\emph{dritter Gattung} zu bestimmen, das also in zwei beliebigen Punkten
$z_1$, und $z_2$ logarithmisch unendlich wird und zwar für jeden dieser
Punkte auf nur \emph{einem} Blatte, und ausserdem so, wie es oben als
nothwendig erkannt worden, dass nämlich die Coefficienten der
logarithmischen Glieder sich zu Null ergänzen, so findet man wie früher
zuerst wieder die Form:
\[
  \int_{z_0}
  \frac{ (z-\alpha_1)^{k_1} (z-\alpha_2)^{k_2} \dotsm
         (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}} F_0(z) + F_1(z)\sqrt{R(z)} }
       { (z-z_1)^k (z-z_2)^l (z-\alpha_1)^{k_1} (z-\alpha_2)^{k_2}
         \dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{k_{2p+1}} } \;dz,
\]
worin $k_1$, $\dotsm$ $k_{2p+1}$ die Null oder die Einheit bedeuten;
da dieses
Integral in $z_1$ und $z_2$ logarithmisch unendlich sein soll, so muss
$k = l = 1$ sein, und da dasselbe ferner im unendlich entfernten
Punkte endlich bleiben muss, so wird, wie unmittelbar einzusehen,
$F_0(z)$ eine Constante $c_1$ sein, und der Zähler des zweiten Theiles
unter
dem Integral
\[
  \int_{z_0}
  \left[ \frac{c_1}{(z-z_1)(z-z_2)}
       + \frac{ (z-\alpha_1)^{1-k_1} (z-\alpha_2)^{1-k_2}
                \dotsm (z-\alpha_{2p+1})^{1-k_{2p+1}} F_1(z) }
              { (z-z_1)(z-z_2)\sqrt{R(z)} }
  \right] dz
\]
nothwendig höchstens vom Grade $p + 1$. Da sich nun jede ganze
Function des ${p + 1}^{\text{ten}}$ Grades in die Form setzen lässt:
\[
  (z-z_1) (z-z_2) [a_{p-1}z^{p-1} + a_{p-2}z^{p-2}
                  + \dotsb + a_1z + a_0]
 + c(z-z_1) + d(z-z_2),
\]
so wird das obige Integral die Form annehmen:
\[
  \int_{z_0}
  \left[ \frac{c_1}{(z-z_1)(z-z_2)}
       + \frac{ c(z-z_1) + d(z-z_2) }{ (z-z_1)(z-z_2)\sqrt{R(z)} }
  \right] dz
+ \int_{z_0}
    \frac{ a_{p-1}z^{p-1} + \dotsb + a_1z + a_0 }{ \sqrt{R(z)} }\; dz,
\]
in welchem nur noch zwischen den Constanten $c_1$, $c$, $d$ eine
Beziehung
dergestalt zu ermitteln ist, dass dieses Integral in den Punkten $z_1$
%-----File: 020.png------------------------------
und $z_2$ nur auf je \textit{einem} Blatte, und zwar für $z_1$ auf dem
zu dem
Wurzelwerthe
$\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}$, für $z_2$ auf dem zu $\varepsilon_2
R(z_2)^{\frac{1}{2}}$ gehörigen logarithmisch
unendlich werden soll. Diese Bedingung zieht, wie aus der
Entwicklung der Function unter dem Integralzeichen unmittelbar
einleuchtet,
die beiden Gleichungen nach sich:
\begin{align*}
  \frac{c_1}{z_1-z_2} - d\,\varepsilon_1 R(z_1)^{-\frac{1}{2}} &= 0  \\
  \frac{c_1}{z_2-z_1} - c\,\varepsilon_2 R(z_2)^{-\frac{1}{2}} &= 0,
\end{align*}
oder
\[
  c = \frac{c_1}{z_2-z_1} \varepsilon_2 R(z_2)^{\frac{1}{2}}, \quad
  d = \frac{c_1}{z_1-z_2} \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}},
\]
und es wird sich somit als allgemeinste Form des hyperelliptischen
Integrales dritter Gattung, wenn $c_1$ durch $M$ ersetzt wird, die
folgende
ergeben:
\[
  \Pi(z) = M\int_{z_0}
  \biggl[
    \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}
  + \frac{ \frac{\varepsilon_2 R(z_2)^{\frac{1}{2}}}{z_2-z_1}(z-z_1)
         + \frac{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}}{z_1-z_2}(z-z_2) }
         {(z-z_1)(z-z_2)\sqrt{R(z)}}
  \biggr]\,dz \,+\, J(z),
\]
worin die Coefficienten der logarithmischen Glieder:
\[
  \frac{2M}{z_1-z_2} \quad\text{und}\quad \frac{2M}{z_2-z_1},
\]
wie es sein muss, sich zu Null ergänzen, oder auch in symmetrischer
Form:
\[
  \Pi(z) = M\int_{z_0}
  \biggl[
   \frac{R(z)^{\frac{1}{2}} + \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}}{z-z_1}
 - \frac{R(z)^{\frac{1}{2}} + \varepsilon_2 R(z_2)^{\frac{1}{2}}}{z-z_2}
   \biggr]
   \frac{dz}{\sqrt{R(z)}} + J(z).
\]

\addtotoc{Das Hauptintegral dritter Gattung}
Setzt man
\[
  M = \frac{z_1-z_2}{2},
\]
so sind die Coefficienten der logarithmischen Glieder die positive und
negative Einheit, und in diesem Falle wird das Integral dritter Gattung
ein \emph{hyperelliptisches Hauptintegral dritter Gattung} genannt.

Um einzusehen, dass eine specielle Lage der Punkte $z_1$ und $z_2$
zu einander das hyperelliptische Integral dritter Gattung in das
allgemeine
zweiter Gattung überführt, lassen wir auf der Fläche von
$\sqrt{R(z)}$ den Punkt $z_2$ in die Umgebung von $z_1$ rücken, dann wird
\[
  \varepsilon_2 R(z_2)^{\frac{1}{2}}
= \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}
+ \frac{z_2-z_1}{1}
  \tfrac{1}{2}
  \frac{R'(z_1)}{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}} + \dotsb
\]
oder
\[
  \frac{ \varepsilon_2 R(z_2)^{\frac{1}{2}} }{z_2-z_1} (z-z_1)
= \frac{ \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }{z_2-z_1} (z-z_1)
+ \tfrac{1}{2}
  \frac{R'(z_1)}{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}} (z-z_1)
+ \{ z_2 - z_1 \}
\]
sein, worin
\[
  \{ z_2 - z_1 \}
\]
%-----File: 021.png------------------------------
eine nach ganzen positiven steigenden Potenzen von $z_2 - z_1$
fortschreitende Reihe bedeutet; da ferner
\[
  \frac{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }{z_1 - z_2} (z - z_2)
= \frac{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }{z_1 - z_2} (z - z_2)
+ \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}
\]
gesetzt werden kann, so nimmt der erste der zwei obigen Ausdrücke
für $\Pi(z)$ die Form an:
\[
  M\int_{z_0}
  \Biggl[
  \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}
       + \frac{ \tfrac{1}{2}
                \frac{R'(z_1)}{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}}
                (z - z_1)
              + \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}
              + \left\{ z_2 - z_1\right\} }
              { (z-z_1)(z-z_2)\sqrt{R(z)} }
  \Biggr]
  \,dz \,+\, J(z),
\]
oder, wenn man $z_2$ unendlich nahe an $z_1$ rücken, also die beiden
Punkte zusammenfallen lässt,
\[
  M\int_{z_0}
  \Biggl[
  \frac{1}{(z-z_1)^2}
       + \frac{ \tfrac{1}{2}
                \frac{R'(z_1)}{\varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}} }
                (z - z_1)
              + \varepsilon_1 R(z_1)^{\frac{1}{2}}}
              { (z-z_1)^2 \sqrt{R(z)} }
  \Biggr]\,dz \,+\, J(z);
\]
\emph{es geht somit das hyperelliptische Integral dritter Gattung für
zwei
zusammenfallende Unstetigkeitspunkte in das allgemeine hyperelliptische
Integral zweiter Gattung über.}

Vermöge dieser Eigenschaft wird es möglich sein, das hyperelliptische
Integral zweiter Gattung als Differentialquotienten des Integrales
dritter Gattung nach einem der beiden Punkte, für welche dasselbe
logarithmisch unendlich wird, darzustellen, wenn wir noch die folgende
Bemerkung vorausgeschickt haben werden.

Seien
\[
  \Pi(z, z_1, z_2), \quad
  \Pi(z, z_2, z_3), \quad
  \Pi(z, z_3, z_1)
\]
drei hyperelliptische Integrale dritter Gattung, welche resp.\ in den
Punkten $z_1, z_2$; $z_2, z_3$; $z_3, z_1$ logarithmisch unendlich werden,
und
zwar für dieselben Punkte auf denselben Blättern, so dass ihre
logarithmischen
Glieder in den für die Umgebung dieser singulären Punkte
gültigen Entwicklungen lauten:
\begin{align*}
  \frac{2M_3}{z_1 - z_2} \log(z - z_1), \qquad&
  \frac{2M_3}{z_2 - z_1} \log(z - z_2), \\[1em]
  \frac{2M_1}{z_2 - z_3} \log(z - z_2), \qquad&
  \frac{2M_1}{z_3 - z_2} \log(z - z_3), \\[1em]
  \frac{2M_2}{z_3 - z_1} \log(z - z_3), \qquad&
  \frac{2M_2}{z_1 - z_3} \log(z - z_1),
\end{align*}
so sieht man unmittelbar, dass, wenn
\[
  M_2 = \frac{z_3 - z_1}{z_1 - z_2} M_3, \qquad
  M_1 = \frac{z_3 - z_2}{z_2 - z_1} M_3
\]
gesetzt wird, die logarithmischen Glieder in den Entwicklungen der
Summe jener drei Integrale dritter Gattung wegfallen, und diese
Summe, weil in der ganzen \so{Riemann}'schen Fläche endlich, ein Integral
erster Gattung sein wird, dass also die Beziehung gilt:
%-----File: 022.png------------------------------
\[
  \Pi(z, z_1, z_2) + \Pi(z, z_2, z_3) + \Pi(z, z_3, z_1) = J(z),
\]
wenn die $M$ in der angegebenen Weise bestimmt werden. Setzt man
daher
\[
  \int_{z_0}
  \left[ \frac{1}{(z - z_\mu)(z - z_\nu)}
       + \frac{ \frac{\varepsilon_\nu R(z_\nu)^{\frac{1}{2}}}{z - z_\mu}
                (z - z_\mu)
              + \frac{\varepsilon_\mu R(z_\mu)^{\frac{1}{2}}}{z_\mu-z_\nu}
                (z-z_\nu)  }
              { (z - z_\mu) (z - z_\nu) \sqrt{R(z)} }
  \right] dz =  J(z, z_\mu, z_\nu),
\]
so folgt mit Rücksicht auf die Form der obigen Integrale
\[
  M_3 J(z, z_1, z_2)
+ M_3\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1} J(z, z_2, z_3)
+ M_3\frac{z_3-z_1}{z_1-z_2} J(z, z_3, z_1) = J(z)
\]
oder
\[
  M_3 J(z, z_1, z_2)
= M_3 \left\{ \frac{ (z_1-z_3) J(z, z_1, z_3)
                  - (z_2-z_3) J(z, z_2, z_3) }
                  { z_1 - z_2 }
      \right\} + J(z).
\]
\addtotoc{Herleitung des Integrales zweiter Gattung aus dem dritter
Gattung}%
Lässt man nun $z_2$ sich auf dem den Punkt $z_1$ enthaltenden Blatte
eben diesem Punkte unendlich nähern, so geht die linke Seite, wie
früher gefunden worden, in das allgemeine Integral zweiter Gattung
über, während auf der rechten Seite, wenn $z_2 = z_1 + h$ gesetzt wird,
die mit $M_3$ multiplicirte Klammer sich in
\begin{multline*}
  \frac{(z_1+h-z_3) J(z, z_1+h, z_3) - (z_1-z_3) J(z, z_1, z_3)}{h}\\
= (z_1 - z_3) \frac{J(z, z_1+h, z_3)-J(z,z_1,z_3)}{h} + J(z, z_1+h, z_3)
\end{multline*}
verwandelt, welche Gleichung für verschwindende $h$ die Form annimmt:
\[
  (z_1 - z_3) \frac{\partial J(z, z_1, z_3)}{\partial z_1}
+ J(z, z_1, z_3)
= 2\frac{\partial }{\partial z_1}
   \left[ \frac{z_1-z_3}{2} J(z, z_1, z_3) \right].
\]

Es wird sich somit nach der obigen Gleichung
\[
  M_3 J(z, z_1, z_1)
= 2M_3 \frac{\partial }{\partial z_1}
   \left[ \frac{z_1-z_3}{2} J(z, z_1, z_3) \right] + J(z)
\]
ergeben, und da das hyperelliptische Integral
\[
  \frac{z_1-z_3}{2} J(z, z_1, z_3)
\]
nach der oben gegebenen Definition ein hyperelliptisches
Hauptintegral dritter Gattung ist, so findet man,
\begin{quote}
\emph{dass sich das allgemeine hyperelliptische Integral zweiter
Gattung mit dem Discontinuitätspunkte erster Ordnung $z_1$
von einem Integrale erster Gattung abgesehen als das Product
einer Constanten in den nach $z_1$ genommenen Differentialquotienten
eines hyperelliptischen Hauptintegrales dritter
Gattung darstellen lässt, dessen zweiter logarithmischer
Unstetigkeitspunkt ein völlig willkürlicher ist.}
\end{quote}
\eoc
%-----File: 023.png------------------------------


\Chapter[Herleitung der allgemeinen hyperelliptischen Integrale.]
{Dritte Vorlesung.}
{Herleitung der allgemeinen hyperelliptischen Integrale aus
Unstetigkeitsbedingungen und Darstellung des
\so{Dirichlet}'schen Princips für dieselben.}

\addtotoc{Aufstellung des durch bestimmte Bedingungen für die
Unstetigkeitspunkte
und die Periodicitätsmoduln definirten allgemeinen hyperelliptischen
Integrales}

Wir wollen nunmehr mit Hülfe der in der letzten Vorlesung aufgestellten
hyperelliptischen Integrale der drei Gattungen das allgemeine
durch willkürliche Unstetigkeitsbedingungen definirte hyperelliptische
Integral darzustellen suchen.

Erwägt man nämlich, dass das Integral zweiter Gattung
\[
  J(z, z_1, z_1)
\]
als eine in der ganzen \so{Riemann}'schen Fläche endliche, nur in dem
Punkte $z_1$ des \textit{einen} Blattes wie
\[
  -\frac{2}{z-z_1}
\]
unendlich von der ersten Ordnung werdende Function das Integral
einer rationalen Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$ war, welche letztere
in
der Nähe des Punktes $z_1$ in dem betrachteten Blatte die Form hat:
\[
  \frac{2}{(z-z_1)^2} + \varphi(z, z_1),
\]
worin $\varphi(z, z_1)$ eine in der Umgebung von $z_1$ eindeutige und
endliche
Function von $z$ bedeutet, so folgt, dass das Differential dieser
Function
nach $z_1$ in der Umgebung dieses Punktes sich darstellen lässt durch
\[
  \frac{4}{(z-z_1)^3} + \frac{\partial \varphi(z, z_1)}{\partial z_1},
\]
und dass somit das Integral nach $z$ genommen, als Function von $z$
aufgefasst, in der Nähe von $z_1$ die Form hat:
\[
  -\frac{2}{(z-z_1)^2} + \psi(z, z_1),
\]
worin $\psi(z, z_1)$ in der Umgebung von $z_1$ endlich und eindeutig ist.
Es ist mithin klar, dass der Differentialquotient von $J(z, z_1, z_1)$ in
dem Punkte $z_1$ in dem betrachteten Blatte genommen von der zweiten
Ordnung unendlich ist, in allen anderen Punkten, wie die obigen
Schlüsse unmittelbar zeigen, endlich bleibt, und dass sich somit jedes
in $z_1$ auf \emph{einem} Blatte allgemein von der zweiten Ordnung wie
der
Ausdruck
%-----File: 024.png------------------------------
\[
  \frac{R}{(z-z_1)^2} + \frac{S}{z-z_1}
\]
unendlich werdende hyperelliptische Integral durch
\[
  - \frac{R}{2} \,\frac{\partial J(z, z_1, z_1)}{\partial z_1}
- \frac{S}{2} J(z, z_1, z_1) + J(z)
\]
ausdrücken lässt, wenn $R$ und $S$ Constanten bedeuten.

Fährt man mit diesen Schlüssen in genau derselben Weise fort,
so folgt, dass jedes hyperelliptische Integral, welches in \textit{einem}
Punkte
$z_1$, welcher, wie von Anfang an vorausgesetzt worden, weder ein
Verzweigungspunkt noch der unendlich entfernte Punkt sein sollte,
von der Art unendlich werden soll, wie eine gegebene Function:
\[
  A_1 \log (z-z_1) + B_1(z-z_1)^{-1} + C_1(z-z_1)^{-2} + \dotsb
+ K_1(z-z_1)^{-k_1}, \leqno{(\alpha)}
\]
in \emph{einem} Punkte $z_2$ wie die Function
\[
  -A_1 \log(z - z_2),
\]
im Uebrigen stets endlich ist, sich als ein mit constanten Coefficienten
aus einem ersten Integrale, aus der Function
\[
  \frac{z_1-z_2}{2} J(z, z_1, z_2)
\]
und deren Derivirten bis zur ${k_1}^{\text{ten}}$ Ordnung nach dem
Unstetigkeitspunkte $z_1$ additiv gebildeter linearer Ausdruck ergiebt,
dessen
Coefficienten mit Ausnahme desjenigen des Integrales erster Gattung durch
die gegebene Form $(\alpha)$ fest bestimmt sind.

Wir können nunmehr ein hyperelliptisches Integral bestimmen,
welches im Punkte $z_1$ wie
\[
  A_1 \log (z-z_1) + B_1(z-z_1)^{-1} + C_1(z-z_1)^{-2} + \dotsb
+ K_1(z-z_1)^{-k_1},
\]
im Punkte $z_2$ wie
\[
  A_2 \log (z-z_2) + B_2(z-z_2)^{-1} + C_2(z-z_2)^{-2} + \dotsb
+ K_2(z-z_2)^{-k_2}
\]
\usw, endlich im Punkte $z_\nu$ wie
\[
  A_\nu \log (z-z_\nu) + B_\nu(z-z_\nu)^{-1} + C_\nu(z-z_\nu)^{-2}
+ \dotsb + K_\nu(z-z_\nu)^{-k_\nu}
\]
unendlich, im Uebrigen stets endlich sein soll, wenn nur die Bedingung
erfüllt wird, dass
\[
  A_1 + A_2 + \dotsb + A_\nu = 0,
\]
die in Folge genau derselben Schlüsse, wie sie oben für zwei
Unstetigkeitspunkte gemacht worden, nothwendig ist, wenn überhaupt
ein Integral von den angegebenen Eigenschaften existiren soll. Denn
bildet man ein hyperelliptisches Integral $J_1$, welches in $z_1$, wie
vorgeschrieben, unendlich ist, ausserdem in $z_2$ logarithmisch
unendlich wie
\[
  -A_1 \log(z-z_2),
\]
im Uebrigen stets endlich; addirt dazu ein Integral $J_2$, welches in
$z_2$
unendlich wird, wie
%-----File: 025.png------------------------------
\[
  \left(A_1 + A_2\right) \log\left(z-z_2\right)
+ B_2\left(z-z_2\right)^{-1}
+ C_2\left(z-z_2\right)^{-2} + \dotsb
+ K_2\left(z-z_2\right)^{-k_2},
\]
in $z_3$ dagegen logarithmisch unendlich wie
\[
  -\left(A_1 + A_2\right) \log\left(z-z_3\right),
\]
sonst stets endlich; fügt man ferner ein Integral $J_3$ hinzu, welches
in $z_3$ unendlich wird wie
\[
  \left(A_1 + A_2 + A_3\right) \log\left(z-z_3\right)
+ B_3\left(z-z_3\right)^{-1}
+ C_3\left(z-z_3\right)^{-2} + \dotsb
+ K_3\left(z-z_3\right)^{-k_3},
\]
während der Ausdruck
\[
  -\left(A_1 + A_2 + A_3\right) \log\left(z-z_4\right)
\]
die Art des Unendlichwerdens in einem weiteren Punkte $z_4$ anzeigt,
\usw, so werden wir schliesslich in dem Ausdrucke
\[
  J_1 + J_2 + \dotsb + J_{\nu-1}
\]
ein Integral erhalten, welches in $z_1$, $z_2$ $\dotsb$ $z_{\nu-1}$
die vorgeschriebenen
Unstetigkeiten hat und in dem Punkte $z_\nu$ die logarithmische
Unstetigkeit
\[
 -\left(A_1 + A_2 + \dotsb + A_{\nu-1}\right)
  \log\left(z-z_\nu\right)
\]
besitzt, oder nach der in Betreff der $A$ gemachten Voraussetzung so
unstetig wird wie
\[
  A_\nu \log \left( z - z_\nu \right);
\]
bestimmt man daher endlich ein hyperelliptisches Integral $J_\nu$,
welches
in $z_\nu$ unendlich wird, wie
\[
  B_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-1}
+ C_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-2} + \dotsb
+ K_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-k_\nu},
\]
so wird
\[
  J_1 + J_2 + \dotsb + J_\nu
\]
ein hyperelliptisches Integral sein, welches in den $\nu$ Punkten
$z_1$, $z_2$, $\dotsb$ $z_\nu$ die vorgeschriebenen Unstetigkeiten hat,
während es im
Uebrigen für alle $z$ endlich bleibt, und man sieht wiederum, dass
die Coefficienten aller einzelnen Integrale zweiter und dritter Gattung
bestimmt sind, nur der Coefficient des hyperelliptischen Integrales
erster Gattung unbestimmt bleibt.

Man kann jedoch das gesuchte Integral auch aus $\nu$ Integralen
von der Beschaffenheit zusammensetzen, dass das erste $J_1$ in $z_1$ so
unendlich wird, wie das gesuchte Integral dort unendlich sein soll,
in einem beliebigen andern Punkte $a$ dagegen wie
\[
  -A_1 \log(z - a);
\]
$J_2$ in $z_2$ so unendlich wie das gesuchte Integral und in demselben
Punkte $a$ wie
\[
  -A_2 \log(z - a);
\]
\usw, endlich $J_\nu$ in $z_\nu$ so unendlich, wie gefordert, aber
in $a$ wie
\[
  -A_\nu \log(z - a);
\]
dann wird offenbar
\[
  J_1 + J_2 + \dotsb + J_\nu
\]
%-----File: 026.png------------------------------
in $z_1$, $z_2$, $\dotsb$ $z_\nu$ so unendlich werden wie gefordert,
und wegen
\[
  A_1 + A_2 \dotsb + A_\nu = 0
\]
in $z = a$ endlich sein, so dass sich diese Summe von dem gesuchten
Integral wieder nur um ein Integral erster Gattung unterscheiden kann.

\addtotoc{Das \so{Dirichlet}'sche Princip für die doppelblättrige Fläche
einer Quadratwurzel aus einem Polynome $2p+1^{\text{ten}}$ Grades}
Wir können dieses Resultat noch in ganz anderer Form aussprechen;
da nämlich die \so{Riemann}'sche Fläche von $\sqrt{R(z)}$ aus zwei
Blättern mit $p + 1$ Verzweigungsschnitten besteht und durch $2p$
Querschnitte in eine einfach zusammenhängende Fläche zerlegt wird,
so wird jedes hyperelliptische Integral beim Ueberschreiten eines
dieser Querschnitte je einen Stetigkeitssprung machen oder $2p$
Periodicitätsmoduln haben, wobei für die Integrale mit logarithmischen
Unstetigkeiten noch diejenigen Stetigkeitssprünge hinzutreten, welche
vom Ueberschreiten der von den Unstetigkeitspunkten aus nach den
Querschnitten gezogenen Linien herrühren; diese letzteren mag man
sich sämmtlich der Einfachheit der folgenden Darstellung wegen nach
einem und demselben Punkte eines der $2p$ Querschnitte gezogen
denken, und wir werden dann von je \emph{einem} Periodicitätsmodul des
allgemeinen hyperelliptischen Integrales für die ganze Länge eines
jeden der $2p$ Querschnitte sprechen können, weil nur solche Punkte
ausgeschlossen werden, in denen das Integral logarithmisch unendlich
wird, und das successive Ueberschreiten \emph{aller} von diesen
herrührenden
Verbindungslinien nach der oben für die Existenz des Integrals als
nothwendig erkannten Annahme gar keine Werthveränderung hervorbringt.
Nun kann man offenbar das in dem oben gefundenen hyperelliptischen
Integrale noch unbestimmt gebliebene Integral erster
Gattung derart bestimmen, dass die reellen Theile der $2p$ genannten
Periodicitätsmoduln oder die $p$ Periodicitätsmoduln an den $a$-Linien
oder die $p$ an den $b$-Linien selbst gegebene Werthe annehmen, wobei
zu beachten, dass das Ueberschreiten der Querschnitte $c$ gar keine
Werthveränderung hervorbringt, \dh\ der Periodicitätsmodul an diesen
Querschnitten verschwindet, weil, um von einem Punkte desselben
auf der einfach zusammenhängenden Fläche zu dem gegenüberliegenden
zu gelangen, je zwei der andern Querschnitte auf ihren
beiden Seiten in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden
müssen. Setzt man nämlich die Coefficienten der $p$ unabhängigen
Integrale erster Gattung:
\[
  \int_{z_0} \frac{        dz}{\sqrt{R(z)}}, \quad
  \int_{z_0} \frac{z       \,dz}{\sqrt{R(z)}}, \quad\dotsb\quad
  \int_{z_0} \frac{z^{p-1} \,dz}{\sqrt{R(z)}},
\]
aus denen das allgemeine hyperelliptische Integral erster Gattung
besteht,
in die Form:
\[
  \lambda_0 +     \lambda'_0     i,\quad
  \lambda_1 +     \lambda'_1     i,\quad\dotsb\quad
  \lambda_{p-1} + \lambda'_{p-1} i,
\]
so wird das gesammte Integral, wenn die Werthveränderung aller
%-----File: 027.png------------------------------
Theile mit Ausnahme des Integrales erster Gattung beim Ueberschreiten
des Querschnittes $a_k$ mit
\[
  P_k + Q_k i,
\]
des Querschnittes $b_k$ mit
\[
  R_k + S_k i,
\]
die des Integrales erster Gattung
\[
  \int_{z_0} \frac{z^{m-1} dz}{ \sqrt{R(z)} }
\]
au dem Querschnitte $a_k$ mit
\[
  \alpha_k^{(m-1)} + \gamma_k^{(m-1)} i,
\]
und an dem Querschnitte $b_k$ mit
\[
  \beta_k^{(m-1)} + \delta_k^{(m-1)} i
\]
bezeichnet werden, für die $2p$ Querschnitte die Stetigkeitssprünge
erleiden:
\[
\begin{array}{l}
 P_1 + Q_1 i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\alpha_1^{(0)}+\gamma_1^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\alpha_1^{(1)}+\gamma_1^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\alpha_1^{(p-1)}+\gamma_1^{(p-1)}i)
= U_1 + V_1 i, \\[0.5em]
%
 P_2 + Q_2 i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\alpha_2^{(0)}+\gamma_2^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\alpha_2^{(1)}+\gamma_2^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\alpha_2^{(p-1)}+\gamma_2^{(p-1)}i)
= U_2 + V_2 i, \\
\hdotsfor[3]{1} \\
%
  P_p + Q_p i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\alpha_p^{(0)}+\gamma_p^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\alpha_p^{(1)}+\gamma_p^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\alpha_p^{(p-1)}+\gamma_p^{(p-1)}i)
= U_p + V_p i, \\[0.5em]
%
  R_1 + S_1 i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\beta_1^{(0)}+\delta_1^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\beta_1^{(1)}+\delta_1^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\beta_1^{(p-1)}+\delta_1^{(p-1)}i)
= W_1 + T_1 i, \\[0.5em]
%
  R_2 + S_2 i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\beta_2^{(0)}+\delta_2^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\beta_2^{(1)}+\delta_2^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\beta_2^{(p-1)}+\delta_2^{(p-1)}i)
= W_2 + T_2 i, \\
\hdotsfor[3]{1} \\
%
  R_p + S_p i
+(\lambda_0+\lambda'_0i) (\beta_p^{(0)}+\delta_p^{(0)}i)
+(\lambda_1+\lambda'_1i) (\beta_p^{(1)}+\delta_p^{(1)}i) +\dotsb \\
\qquad\qquad
+(\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\beta_p^{(p-1)}+\delta_p^{(p-1)}i)
= W_p + T_p i, \\
\end{array}
\]
sollen nun entweder
\[
  U_1,\ U_2,\dotsm U_p,\quad W_1,\ W_2,\dotsm W_p
\]
oder
\[
  U_1 + V_1 i,\ U_2 + V_2 i,\dotsm U_p + V_p i
\]
oder auch
\[
  W_1 + T_1 i,\ W_2 + T_2 i,\dotsm W_p + T_p i
\]
gegeben sein, so werden entweder die $2p$ eben aufgestellten Gleichungen
%-----File: 028.png------------------------------
durch Identificirung der reellen Theile der beiden Seiten der obigen
Gleichungen $2p$ lineare Gleichungen zur Bestimmung von
$\lambda_0$, $\dotsb$ $\lambda_{p-1}$,
$\lambda'_0$, $\dotsb$ $\lambda'_{p-1}$ liefern, oder es werden sich
aus den $p$ linearen Gleichungen,
welche der zweiten Annahme entsprechen, die $p$ Werthe
von $\lambda_0+\lambda'_0i$, $\dotsb$ $\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i$
ergeben, in jedem Falle also durch
jene Bestimmung die Werthe der noch willkürlich gebliebenen Coefficienten
des hyperelliptischen Integrales erster Gattung fest bestimmt
sein, vorausgesetzt, dass die zur Bestimmung der $\lambda$ sich
ergebenden
$2p$ resp.\ $p$ in diesen Grössen linearen Gleichungen eindeutig
bestimmte
Werthe dieser Grössen liefern, oder dass die Determinante dieses
Systems nicht Null ist; dass dies aber nicht der Fall sein kann, soll
gleich nachher durch einen Satz bewiesen werden, der später die
Grundlage für die Einführung der $\vartheta$-Functionen in die Theorie
der
hyperelliptischen Integrale bilden wird. Nehmen wir die eindeutige
Bestimmung jener Coefficienten als erwiesen an, so folgt,
\begin{quote}
\textit{dass es stets ein zu einer bestimmten doppelblättrigen
\so{Riemann}'schen Fläche mit $2p + 1$ Verzweigungspunkten
gehöriges, von dem willkürlichen, aber bestimmten und nicht
singulären Werthe $z_0$ ausgehendes hyperelliptisches Integral
giebt, welches in $\nu$ beliebig gewählten Punkten,} zu welchen
vorerst weder Verzweigungspunkte noch der unendlich entfernte
Punkt gehören sollen, \textit{Unstetigkeiten von der Form}
\[
  A_\alpha \log\left(z-z_\alpha\right)
+ B_\alpha \left(z-z_\alpha\right)^{-1}
+ C_\alpha \left(z-z_\alpha\right)^{-2} + \dotsb +
  K_\alpha \left(z-z_\alpha\right)^{-k_\alpha}
\]
\textit{hat, worin $\alpha = 1, 2, \dotsb \nu$ zu setzen ist und}
\[
  A_1 + A_2 + \dotsb + A_\nu = 0
\]
\textit{angenommen wurde, und für welches ferner die reellen Theile
der Periodicitätsmoduln an den $2p$ Querschnitten der in eine
einfach zusammenhängende Fläche verwandelten \so{Riemann}'schen
Fläche von $\sqrt{R(z)}$ oder $p$ dieser Periodicitätsmoduln
selbst gegebene Werthe haben.}
\end{quote}

Es ist aber leicht einzusehen,
\begin{quote}
\textit{dass es nur \so{ein} solches von $z_0$ anfangendes
hyperelliptisches
Integral giebt;}
\end{quote}
denn seien $J$ und $J_1$ zwei hyperelliptische Integrale, welche den
angeführten Bedingungen Genüge leisten, so wird $J - J_1$ ein von $z_0$
nach $z$ sich erstreckendes hyperelliptisches Integral sein, welches, da
die beiden Functionen in denselben $\nu$ Punkten in derselben Weise
unendlich werden, in der ganzen Fläche endlich ist, und ausserdem
entweder an den $2p$ Querschnitten nur rein imaginäre Stetigkeitssprünge
hat, wenn die reellen Theile der sämmtlichen Periodicitätsmoduln
dieselben Werthe haben, oder für welches $p$ Periodicitätsmoduln
verschwinden, wenn $p$ Stetigkeitssprünge für beide Integrale einander
gleich sind; es wäre somit $J - J_1$ ein von $z_0$ nach $z$ sich
erstreckendes
%-----File: 029.png------------------------------
hyperelliptisches Integral erster Gattung, für welches die reellen
Theile der $2p$ Periodicitätsmoduln verschwinden oder $p$
Periodicitätsmoduln
selbst Null sind, was nach dem gleich zu erweisenden und
oben nur unter anderer Form benutzten Satze unmöglich ist.

Aber wir wollen ausserdem zeigen,
\begin{quote}
\emph{dass jede andere Function von $z$, welche in den Punkten
$z_1$, $z_2$, $\dotsb$ $z_\nu$, so unendlich ist wie:}
\[
  A_\alpha \log \left( z-z_\alpha \right)
+ B_\alpha \left( z-z_\alpha \right)^{-1}
+ C_\alpha \left( z-z_\alpha \right)^{-2} + \dotsb
+ K_\alpha \left( z-z_\alpha \right)^{-k_\alpha},
\]
\emph{worin $\alpha = 1, 2, \dotsc \nu$ zu setzen ist, \dh\ sich von
diesen
Functionen in den Punkten $z_1, z_2, \dotsc z_\nu$ nur um endliche
und eindeutige Functionen unterscheidet, welche ferner in
der vorgelegten Fläche, welche nach Ausschliessung der
Unstetigkeitspunkte
in eine einfach zusammenhängende verwandelt
worden, eindeutig ist und beim Ueberschreiten der
$2p$ Querschnitte $a$ und $b$ gegebene reelle Theile von
Periodicitätsmoduln
hat oder in den $p$ $a$- oder in den $p$ $b$-Querschnitten
gegebene Periodicitätsmoduln besitzt, von dem oben
gefundenen hyperelliptischen Integrale nur um eine Constante
verschieden ist.}
\end{quote}

Denn sei $F(z)$ eine solche Function, so wird die Function
\[
  \frac{dF(z)}{dz}
\]
offenbar in der ursprünglichen, mit Hülfe der $a$- und
$b$-Querschnitte
einfach zusammenhängenden Fläche, in welcher die Unstetigkeitspunkte
wegen der algebraischen Unstetigkeiten nicht ausgeschlossen
zu werden brauchen, eindeutig sein, da die Ableitung einer in einem
Punkte eindeutigen Function auch wieder eindeutig ist; da sich aber
die Functionalwerthe zu beiden Seiten eines $a$- oder $b$-Querschnittes
längs demselben um dieselbe Constante unterscheiden, so wird das
Verhältniss der Differenz der Functionalwerthe zu $dz$ bei unendlicher
Annäherung an den Querschnitt sich derselben Gränze nähern, \dh\
die Ableitung von $F(z)$ auch an den Querschnitten eindeutig sein,
oder anders ausgesprochen, es ist
\[
  \frac{dF(z)}{dz}
\]
eine in der mehrfach zusammenhängenden \so{Riemann}'schen Fläche von
$\sqrt{R(z)}$ eindeutige Function von $z$. Was ferner die Unstetigkeiten
der Ableitungen von $F(z)$ betrifft, so ist, wie schon hervorgehoben,
klar, dass diese Function in denjenigen Punkten unendlich
gross wird, in denen $F(z)$ es selbst ist, \dh\ in den Punkten
$z_1$, $z_2$, $\dotsb$ $z_\nu$ und zwar, wie unmittelbar ersichtlich,
wie die
Functionen:
%-----File: 030.png------------------------------
\[
\begin{array}{l}
  A_1\left(z-z_1\right)^{-1} - B_1\left(z-z_1\right)^{-2}
-2C_1\left(z-z_1\right)^{-3}-\dotsb -k_1K_1\left(z-z_1\right)^{-k_1-1}
\\
  A_2\left(z-z_2\right)^{-1} - B_2\left(z-z_2\right)^{-2}
-2C_2\left(z-z_2\right)^{-3}-\dotsb -k_2K_2\left(z-z_2\right)^{-k_2-1}
\\
\hdotsfor[3]{1}   \\
  A_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-1} - B_1\left(z-z_\nu\right)^{-2}
-2C_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-3}-\dotsb
- k_\nu K_\nu\left(z-z_\nu\right)^{-k_\nu-1} ,
\end{array}
\]
also in all' diesen Punkten von einer \emph{endlichen} Ordnung
algebraisch
unendlich; ausserdem kann aber eine Function von endlicher
Vieldeutigkeit --- $\frac{dF(z)}{dz}$ war auf der vorgelegten
doppelblättrigen Fläche
eindeutig --- in gewissen Punkten unendlich sein, wenn auch ihr Integral
in diesem Punkte endlich ist, doch kann dies bekanntlich nur
in den Verzweigungspunkten dieser Function stattfinden, also nur in
einer endlichen Anzahl von Punkten von einer endlichen Ordnung.
\emph{Es wird daher die Ableitung von $F(z)$ als eine in der
\so{Riemann}'schen
Fläche von $\sqrt{R(z)}$ stets eindeutige und in einer endlichen Anzahl
von Punkten von einer endlichen Ordnung unendlich werdende
Function von $z$} nach der ersten Vorlesung \emph{eine rationale Function
von}
\[
  z \text{ und } \sqrt{R(z)}
\]
\emph{\dh\ $F(z)$ ein hyperelliptisches Integral, und somit bis auf
eine, willkürliche,
additive Constante das \so{eine} oben gefundene Integral sein.
Es giebt daher überhaupt nur \so{eine} Function, welche den oben
aufgestellten
Bedingungen genügt.}

Der eben erwiesene Satz von der eindeutigen Bestimmung
der Function, welche den für die Punkte der Fläche der hyperelliptischen
Integrale angegebenen Bedingungen Genüge leistet, ist
das \so{Dirichlet}'sche Princip für diese Klasse von Flächen.

\addtotoc{Hyperelliptische Integrale zweiter und dritter Gattung, wenn
die Unstetigkeitspunkte in den Verzweigungspunkten liegen}
Bevor wir nun zum Beweise des oben erwähnten Satzes, die
Periodicitätsmoduln betreffend, übergehen, mag noch eine
Bemerkung
Platz finden, welche die Unstetigkeiten der hyperelliptischen Integrale
in
den Verzweigungspunkten und dem unendlich entfernten Punkte angeht.

Definirt man in einem der Verzweigungspunkte
\[
  \alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}
\]
der doppelblättrigen Fläche die Grösse
\[
  \left( z - \alpha_\varrho \right)^{-\tfrac{1}{2}}
\]
als von der ersten Ordnung unendlich gross und nennt wieder ein
Integral zweiter Gattung ein solches, welches nur \emph{eine} solche
Unstetigkeit besitzt, und ein Integral dritter Gattung ein solches,
welches in diesem Punkte wie
\[
  A \log \left( z - \alpha_\varrho \right)^{\tfrac{1}{2}}
\]
unendlich gross wird, während es in einem beliebigen andern nicht
mehrfachen Punkte $\zeta$ wie
\[
  A'\log \left( z - \zeta \right)
\]
unendlich ist, und, wie schon früher hervorgehoben worden,
%-----File: 031.png------------------------------
\[
A + A' = 0
\]
sein muss, so erfahren die vorher gemachten Auseinandersetzungen,
wenn die Forderung gestellt wird, dass ein hyperelliptisches Integral
in einem der Verzweigungspunkte $\alpha$ unendlich sein soll wie
\[A\log r + Br^{-1} + Cr^{-2} + \cdots + Kr^{-k},\]
worin
\[r = (z-\alpha_\varrho)^{\frac{1}{2}}\]
zu nehmen ist, nur geringe Modifikationen; es bedarf keines weiteren
Beweises, dass das in $z = \alpha_\varrho$ unendlich werdende allgemeine
hyperelliptische
Integral zweiter Gattung von der Form ist
\[M\int_{z_0}\frac{dz}{(z-\alpha_\varrho)\sqrt{R(z)}}+J(z),\]
wenn $J(z)$ wieder ein Integral erster Gattung bedeutet, und das
allgemeine
hyperelliptische Integral dritter Gattung für die Unstetigkeitspunkte
$\alpha_\varrho$ und $\zeta$,
$\varepsilon R(\zeta)^{\frac{1}{2}}$ durch den Ausdruck bestimmt ist
\[
  M\int_{z_0}
  \biggl[\frac{\alpha_\varrho-\zeta}{2(z-\alpha_\varrho)(z-\zeta)}
  -\frac{\varepsilon R(\zeta)^{\frac{1}{2}}}{2(z-\zeta)\sqrt{R(z)}}
  \biggr]\;dz +J(z),
\]
und ebenso leicht sieht man ein, dass die successive Differentiation
dieser beiden Integrale nach dem Parameter $\alpha_\varrho$ die
hyperelliptischen
Integrale liefern wird, welche in diesem Verzweigungspunkte von
einer ganzen oder gebrochenen Ordnung algebraisch unendlich werden.

Um endlich noch den unendlich entfernten Punkt zu berücksichtigen,
so erkennt man leicht aus bekannten Criterien, dass das
allgemeine hyperelliptische Integral, welches in diesem unendlich
entfernten
Verzweigungspunkte von der ersten Ordnung also wie $z^{\frac{1}{2}}$
unendlich gross wird, die Form hat
\[M\int_{z_0}\frac{z^p\,dz}{\sqrt{R(z)}}+J(z),\]
und dass allgemein jedes hyperelliptische Integral, welches nur im
Punkte $z=\infty$ von der $\dfrac{k}{2}^{\text{ten}}$ Ordnung mit
Einschluss von Unstetigkeiten
niederer Ordnung unendlich ist, wobei $k$ eine ungerade Zahl
sein soll, sich darstellen lässt durch
\[M\int_{z_0}\frac{z^{p+\frac{k-1}{2}}\,dz}{\sqrt{R(z)}}+J(z),\]
während
\[\int_{z_0}z^{\mu-1}\,dz+J(z)\]
%-----File: 032.png------------------------------
ein hyperelliptisches Integral ist, welches nur in $z = \infty$ von der
ganzzahligen Ordnung $\mu$ unendlich wird.

Endlich wird
\[
  M\int_{z_0}
  \biggl[ \frac{1}{2(z-\zeta)}
+ \frac{ \varepsilon R(\zeta)^{\frac{1}{2}} }
       { 2(z-\zeta) \sqrt{R(z)}              }
  \biggr]\;dz + J(z)
\]
ein Integral dritter Gattung vorstellen, das in den Punkten $z=\infty$
und $z = \zeta$ logarithmisch unendlich wird wie der Logarithmus einer
unendlich kleinen Grösse erster Ordnung.

Wie mit Hülfe dieser Formen das allgemeinste hyperelliptische
Integral mit willkürlichen algebraischen und logarithmischen
Unstetigkeiten zusammengesetzt ist, bedarf nunmehr keiner weiteren
Auseinandersetzung.

\addtotoc{Beziehung zwischen den reellen und imaginären Theilen der
Periodicitätsmoduln eines hyperelliptischen Integrales erster Gattung}
Es bleibt nun noch zur Vervollständigung der eben gemachten
Auseinandersetzungen übrig nachzuweisen, dass in dem obigen System
von $2p$ resp.\ $p$ Gleichungen zur Bestimmung der Coefficienten $\lambda
+ \lambda' i$
der unabhängigen hyperelliptischen Integrale erster Gattung die
Determinante nicht verschwinden kann. Wenn nämlich für den Fall,
dass wir die $2p$ reellen Theile der $2p$ Periodicitätsmoduln des
Integrals
erster Gattung als gegeben betrachten wollen, die Determinante der
Gleichungen
\[
\begin{array}{l}
  \lambda_0 \alpha_1^{(0)}      - \lambda'_0 \gamma_1^{(0)}
+ \lambda_1 \alpha_1^{(1)}      - \lambda'_1 \gamma_1^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{p-1}\alpha_1^{(p-1)} - \lambda'_{p-1}\gamma_1^{(p-1)}
= U_1 - P_1
\\
  \lambda_0 \alpha_2^{(0)}      - \lambda'_0 \gamma_2^{(0)}
+ \lambda_1 \alpha_2^{(1)}      - \lambda'_1 \gamma_2^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{p-1}\alpha_2^{(p-1)} - \lambda'_{p-1}\gamma_2^{(p-1)}
= U_2 - P_2
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \lambda_0\alpha_p^{(0)}       - \lambda'_0 \gamma_p^{(0)}
+ \lambda_1\alpha_p^{(1)}       - \lambda'_1 \gamma_p^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{p-1}\alpha_p^{(p-1)} - \lambda'_{p-1}\gamma_p^{(p-1)}
= U_p - P_p
\\
  \lambda_0\beta_1^{(0)}        - \lambda'_0 \delta_1^{(0)}
+ \lambda_1\beta_1^{(1)}        - \lambda'_1 \delta_1^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{p-1}\beta_1^{(p-1)}  - \lambda'_{p-1}\delta_1^{(p-1)}
= W_1 - T_1
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \lambda_0\beta_p^{(0)}        - \lambda'_0 \delta_p^{(0)}
+ \lambda_1\beta_p^{(1)}        - \lambda'_1 \delta_p^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{p-1}\beta_p^{(p-1)}  - \lambda'_{p-1}\delta_p^{(p-1)}
= W_p - T_p
\end{array}
\]
verschwindet, so wird man $2p$ Grössen
\[
  \mu_0, \mu'_0, \mu_1, \mu'_1, \dotsc \mu_{p-1}, \mu'_{p-1}
\]
bestimmen können, die nicht alle verschwinden und dem Gleichungssystem
genügen
\[
\begin{array}{l}
  \mu_0 \alpha_1^{(0)}      - \mu'_0 \gamma_1^{(0)}
+ \mu_1 \alpha_1^{(1)}      - \mu'_1 \gamma_1^{(1)} + \dotsb
+ \mu_{p-1}\alpha_1^{(p-1)} - \mu'_{p-1}\gamma_1^{(p-1)}    = 0
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \mu_0\alpha_p^{(0)}       - \mu'_0 \gamma_p^{(0)}
+ \mu_1\alpha_p^{(1)}       - \mu'_1 \gamma_p^{(1)} + \dotsb
+ \mu_{p-1}\alpha_p^{(p-1)} - \mu'_{p-1}\gamma_p^{(p-1)}    = 0
\\
  \mu_0\beta_1^{(0)}        - \mu'_0 \delta_1^{(0)}
+ \mu_1\beta_1^{(1)}        - \mu'_1 \delta_1^{(1)} + \dotsb
+ \mu_{p-1}\beta_1^{(p-1)}  - \mu'_{p-1}\delta_1^{(p-1)}     = 0
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \mu_0\beta_p^{(0)}       - \mu'_0 \delta_p^{(0)}
+ \mu_1\beta_p^{(1)}       - \mu'_1 \delta_p^{(1)} + \dotsb
+ \mu_{p-1}\beta_p^{(p-1)} - \mu'_{p-1}\delta_p^{(p-1)}     = 0,
\end{array}
\]
%-----File: 033.png------------------------------
wenn nicht etwa alle Coefficienten $\alpha_r$, $\beta_r$, $\gamma_r$,
$\delta_r$ oder wenn nicht
sämmtliche Periodicitätsmoduln der $p$ selbständigen Integrale erster
Gattung verschwinden, was nachher als nicht statthaft erwiesen wird.
Das Bestehen dieses Gleichungssystems ist aber identisch damit, dass
für das Integral erster Gattung
\begin{align*}
  (\mu_0+\mu'_0i) &\int_{z_0} \frac{dz}{\sqrt{R(z)}}
+ (\mu_1+\mu'_1i) \int_{z_0} \frac{z \,dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ (\mu_{p-1}+\mu'_{p-1}i) \int_{z_0} \frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}} \\
&=  \int_{z_0} \frac{ (\mu_0+\mu'_0i) + (\mu_1+\mu'_1i)z  + \dotsb
            + (\mu_{p-1}+\mu'_{p-1}i)z^{p-1} }{ \sqrt{R(z)} }\  dz
\end{align*}
die reellen Theile sämmtlicher Periodicitätsmoduln verschwinden, was,
wie sogleich gezeigt werden soll, nicht möglich ist. Es soll nämlich
im Folgenden bewiesen werden, \textit{dass, wenn die Periodicitätsmoduln
eines beliebigen hyperelliptischen Integrales erster Gattung
\[
  \int_{z_0}
  \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }{ \sqrt{R(z)}
  }\ dz
\]
an den Querschnitten $a_k$ bei noch näher anzugebender Richtung des
Ueberschreitens derselben mit
\[
  \alpha_k + \gamma_k i,
\]
an den Querschnitten $b_k$ mit
\[
  \beta_k + \delta_k i
\]
bezeichnet werden, die Ungleichheit besteht}
\[
  \sum_{\nu=1}^p
  \left( \alpha_\nu \delta_\nu - \beta_\nu \gamma_\nu \right) > 0,
\]
somit auch nicht, worauf oben Bezug genommen war, $\alpha_\nu$ und
$\beta_\nu$ für
alle $\nu$ verschwinden dürfen. Und es würde weiter aus diesem Satze
folgen, dass, wenn nicht die $2p$ reellen Theile der Periodicitätsmoduln,
sondern die $p$ Periodicitätsmoduln des Integrals an den
$a$-Querschnitten oder die $p$ an den $b$-Querschnitten gegeben sind,
die Bestimmung der Grössen $\lambda_\nu + \lambda'_\nu i$ in dem früher
aufgestellten
Gleichungssystem eindeutig möglich sein muss; denn wenn \zB\ die
Determinante des Gleichungssystems
\[
\begin{array}{c}
  (\lambda_0 +\lambda'_0i) (\alpha_1^{(0)}+\gamma_1^{(0)}i)
+ (\lambda_1 +\lambda'_1i) (\alpha_1^{(1)}+\gamma_1^{(1)}i) +\dotsb \\
+ (\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\alpha_1^{(p-1)}+\gamma_1^{(p-1)}i)
= U_1 - P_1 + (V_1 - Q_1)i
\\
\hdotsfor[3]{1}    \\
  (\lambda_0 +\lambda'_0i) (\alpha_p^{(0)}+\gamma_p^{(0)}i)
+ (\lambda_1 +\lambda'_1i) (\alpha_p^{(1)}+\gamma_p^{(1)}i)+\dotsb \\
+ (\lambda_{p-1}+\lambda'_{p-1}i) (\alpha_p^{(p-1)}+\gamma_p^{(p-1)}i)
= U_p - P_p + (V_p - Q_p)i
\end{array}
\]
verschwindet, so würde sich wieder nach denselben Schlüssen wie
vorher ein Integral erster Gattung finden lassen, für welches
sämmtliche
%-----File: 034.png------------------------------
Periodicitätsmoduln an den $a$-Querschnitten verschwinden, was
ebenfalls nach der zu beweisenden Relation
\[
  \sum_{\nu=1}^p \left(\alpha_{\nu} \delta_{\nu} - \beta_{\nu}
  \gamma_{\nu}\right) > 0
\]
nicht möglich ist, da, wenn $\alpha_{\nu} = \gamma_{\nu} = 0$ wäre,
diese Summe verschwinden würde.

Um den oben ausgesprochenen Satz zu begründen, gehen wir
von dem allgemeinen hyperelliptischen Integrale erster Gattung
\[
  \int_{z_0}
  \frac{C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1}}{\sqrt{R(z)}}\ dz
  = u + vi
\]
aus, worin
\[
  z=x+yi,
\]
und $u$ und $v$ reelle Functionen von $x$ und $y$ sind; dann werden in
dem Ausdrucke
\[
  u\,dv = u\frac{\partial v}{\partial x}\,dx
      + u\frac{\partial v}{\partial y}\,dy,
\]
welcher in Folge der bekannten Beziehungen
\[
  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad
  \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x}
\]
in
\[
  -u\frac{\partial u}{\partial y}\,dx + u\frac{\partial u}{\partial
  x}\,dy
\]
übergeht, die Coefficienten von $dx$ und $dy$ nämlich
\[
  -u\frac{\partial u}{\partial y},\quad u\frac{\partial u}{\partial x}
\]
auf der ganzen \so{Riemann}'schen Fläche endlich und eindeutig sein,
weil das Integral erster Gattung $u + vi$ es ist, ausgenommen in den
Verzweigungspunkten von $\sqrt{R(z)}$, da
\[
  \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}
= \frac{\partial(u+iv)}{\partial x}
= \frac{d(u+iv)}{d z}
= \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }{ \sqrt{R(z)} }
\]
oder
\[
  \frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y}
= \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }{ \sqrt{R(z)} }
\]
ist, welcher Ausdruck für
$z = \alpha_1$, $\alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}$ unendlich gross
werden kann. Wollen wir daher die vorgelegte \so{Riemann}'sche Fläche
zu einem vollständig begränzten Raume machen, innerhalb dessen
sich für die Functionen $u\frac{\partial u}{\partial x}$, $u\frac{\partial
u}{\partial y}$ keine Discontinuitätspunkte befinden, so werden wir nur
die Verzweigungspunkte durch unendlich
kleine doppeltgewundene Kreise auszuschliessen brauchen, und es wird
dann nach dem bekannten durch die Gleichung
\[
  \int (Pdx + Qdy)
= \iint \left( \frac{\partial Q}{\partial x}
             - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy
\]
%-----File: 035.png------------------------------
dargestellten Satze
\begin{align*}
\tag*{(m)}
\int u\,dv
&=\int \left(-u\frac{\partial u}{\partial y}\,dx
            + u\frac{\partial u}{\partial x}\,dy \right)
= \iint \left\{ \frac{\partial }{\partial x}
                \left( u\frac{\partial u}{\partial x} \right)
              + \frac{\partial }{\partial y}
                \left( u\frac{\partial u}{\partial y} \right)
        \right\} dx\,dy \\
&=\iint u\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
              + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) dx\,dy
+ \iint \left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2
             + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2
        \right] dx\,dy
\end{align*}
sein, worin das einfache Integral $\int u\,dv$ über die gesammte
Begränzung
der vollständig begränzten Fläche in der bekannten Richtung genommen,
und die rechts stehenden Doppelintegrale über den Inhalt dieser
Fläche auszudehnen sind. Nun ist aber leicht einzusehen, dass
\[
  \int u\, dv
\]
über die Begränzung eines um einen Verzweigungspunkt beschriebenen
Doppelkreises ausgedehnt, den Werth Null annehmen muss. Denn
sei $\alpha$ der Verzweigungspunkt, und werde der auch in diesem Punkte
endliche Werth von $u$ mit $u_\alpha$ bezeichnet, so wird, wenn der Werth
von $u$ für die Peripheriepunkte dieses unendlich kleinen Doppelkreises
durch $u_\alpha + \varepsilon(x, y)$ dargestellt wird, wo $\varepsilon(x,
y)$ für alle in Betracht kommenden Punkte unendlich klein ist,
\[
  \int_{(\alpha)} u\ dv
= u_\alpha \int_{(\alpha)}\ dv
+ \int_{(\alpha)} \varepsilon (x, y)\ dv,
\]
und da
\[
  \int_{(\alpha)} du + i\int_{(\alpha)} dv
= \int_{(\alpha)}
  \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }
       { \sqrt{R(z)} }\ dz = 0
\]
ist,
\[
  \int_{(\alpha)} du = \int_{(\alpha)} dv = 0
\]
sein, und sich somit zuerst
\[
  \int_{(\alpha)} u\,dv = \int_{(\alpha)} \varepsilon(x,y)\ dv
\]
ergeben; daraus folgt aber
\begin{align*}
  \mod \int_{(\alpha)} u\,dv
&= \bmod \int_{(\alpha)} \varepsilon(x,y)\,dv
 \leqq \int_{(\alpha)} \bmod\, \varepsilon(x,y)\bmod dv \\
&\leqq \int_{(\alpha)} \bmod\, \varepsilon(x,y)
      \bmod \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }
                 { \sqrt{R(z)} }\ dz,
\end{align*}
weil
\[
  \bmod\, dv \leqq \sqrt{ du^2 + dv^2 }
\leqq \bmod \frac{ C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} }{
\sqrt{R(z)} }\ dz
\]
ist, und daher, wenn mit $ds$ das Bogenelement des unendlich
kleinen Doppelkreises, mit $r$ der unendlich kleine Radius bezeichnet,
und
%-----File: 036.png------------------------------
\begin{gather*}
  \bmod \sqrt{R(z)}
= \bmod \sqrt{z-\alpha} \bmod \sqrt{ \frac{R(z)}{z-\alpha} }
= r^{\frac{1}{2}}f(x,y),
\\
 \bmod \left( C_0 + C_1z + C_2z^2 + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} \right)
= F(x, y)
\end{gather*}
gesetzt wird, worin $f(x, y)$ für die Peripheriepunkte jenes Kreises
endlich und von Null verschieden, $F(x, y)$ endlich ist,
\[
  \bmod \int_{(\alpha)} u\,dv
\leqq \int_{(\alpha)} \bmod\, \varepsilon(x, y)
      \frac{F(x,y) ds}{ r^{\frac{1}{2}} f(x,y)}
\leqq \int_{(\alpha)} \bmod\, \varepsilon(x, y)
      \frac{F(x,y) r^{\frac{1}{2}} d\varphi}{f(x,y)} ,
\]
wenn $\varphi$ den Centriwinkel des Kreises bedeutet, oder endlich:
\[
  \bmod \int_{(\alpha)} u\,dv
\leqq r^{\frac{1}{2}} \int_{(\alpha)}
      \bmod\, \varepsilon(x, y) \frac{F(x,y) d\varphi}{f(x,y)} = 0.
\]

Daraus folgt nun aber, dass in der Gleichung $(m)$ das Integral
$\int u\,dv$ nur über die beiden Seiten der Querschnitte
$a_1$, $a_2,\dotsc a_p$, $b_1$, $b_2,\dotsc b_p$, $c_1$, $c_2,\dotsc
c_{p-1}$ der
\so{Riemann}'schen Fläche wird ausgedehnt
zu werden brauchen. Beachtet man ferner, dass für alle
Punkte des umgränzten Raumes bekanntlich
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
\]
ist, so folgt, weil das Integral
\[
  \iint \left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2
             + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2
        \right] dx\,dy
\]
vermöge der positiven Werthe der einzelnen Elemente selbst positiv
ist, dass
\[
  \int u\,dv_1
\]
über jene Begränzung der einfach zusammenhängenden Fläche genommen,
wesentlich positiv sein wird, wobei die Umkreisung so stattfinden
muss, dass man während der Bewegung die Fläche zur Linken
hat. Bezeichnet man nun der Unterscheidung halber die innere Seite
der Querschnitte mit $a_\nu^{-}$, $b_\nu^{-}$, die äussere Seite derselben
mit $a_\nu^{+}$, $b_\nu^{+}$,
so wird das Integral, wenn als Integrationsrichtungen die in der
Figur~2.\ durch die Pfeile angezeigten genommen werden,
\[
  \int_{a_1^{+}} u\,dv - \int_{a_1^{-}} u\,dv
+ \int_{b_1^{+}} u\,dv - \int_{b_1^{-}} u\,dv
+ \int_{a_2^{+}} u\,dv - \int_{a_2^{-}} u\,dv
+ \int_{b_2^{+}} u\,dv - \int_{b_2^{-}} u\,dv + \dotsb,
\]
da jeder Querschnitt auf beiden Seiten und in entgegengesetzter
Richtung durchlaufen wird, und $u$ als reeller Theil des Integrales
erster Gattung ebenso wie $dv$ zu beiden Seiten der Querschnitte $c$,
für welche der Periodicitätsmodul Null war, denselben Werth haben,
oder auch
\[
  \int_{a_1} (u^{+} - u^{-}) \,dv
+ \int_{b_1} (u^{+} - u^{-}) \,dv
+ \int_{a_2} (u^{+} - u^{-}) \,dv
+ \int_{b_2} (u^{+} - u^{-}) \,dv + \dotsb,
\]
%-----File: 037.png------------------------------
\begin{figure}[hbt]
\centering
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=8.7cm,height=6.6cm]{images/fig02}
\end{figure}
wenn mit $u^{+}$ und $u^{-}$ die zu $a^{+}$ und $a^{-}$ oder $b^{+}$
und $b^{-}$ gehörigen
Werthe der $u$-Function bezeichnet, die Integrationsrichtungen im
Sinne der in der Figur angegebenen Pfeile genommen werden, und
endlich berücksichtigt wird, dass $dv$ zu beiden Seiten desselben
Querschnittes
wegen des constanten Stetigkeitssprunges des Integrales
erster Gattung, dessen rein imaginärer Theil die Grösse $i v$ ist,
denselben Werth hat.

Wird nun der Periodicitätsmodul des Integrals erster Gattung
an dem Querschnitt $a_\nu$ mit
\[
  A_\nu = \alpha_\nu + \gamma_\nu i,
\]
an dem Querschnitte $b_\nu$ mit
\[
  B_\nu = \beta_\nu + \delta_\nu i,
\]
bezeichnet, so wird an dem Querschnitte $a_\nu$ resp.\ $b_\nu$
\[
  u^{+} - u^{-} = \alpha_\nu,\quad u^{+} - u^{-} = -\beta_\nu
\]
sein, und daraus
\[
  \int u\,dv
= \sum_{\nu=1}^p \left\{ \alpha_\nu \int_{a_\nu} dv
                        - \beta_\nu \int_{b_\nu} dv \right\}
\]
folgen, worin die Integrationsrichtungen die durch die Pfeile
angezeigten sind. Da aber $dv$ der rein imaginäre Theil des Differentials
\[
  \frac{ \left( C_0 + C_1z + \dotsb + C_{p-1}z^{p-1} \right) dz }
       { \sqrt{R(z)} }
\]
ist, so werden die geschlossenen Integrale über $dv$ längs den Curven
$a_\nu$ und $b_\nu$ genommen, die rein imaginären Theile der
Periodicitätsmoduln an den resp.~Querschnitten liefern, und daher
%-----File: 038.png------------------------------
\[
  \int_{a_\nu} dv = \delta_\nu,\quad \int_{b_\nu} dv = \gamma_\nu
\]
sein, so dass
\[
  \int u\, dv
= \sum_{\nu=1}^p (\alpha_\nu \delta_\nu - \beta_\nu \gamma_\nu),
\]
und daher nach dem früher gefundenen Resultate
\[
  \sum_{\nu=1}^p (\alpha_\nu \delta_\nu - \beta_\nu \gamma_\nu) > 0
\]
ist. Somit ist der oben ausgesprochene Satz bewiesen.

\addtotoc{Darstellung der Perioden eines hyperelliptischen Integrales
durch die zwischen den Verzweigungspunkten von $\sqrt{R(z)}$ ausgedehnten
Integrale \ \ \ }
Wir wollen am Schlusse dieser Vorlesung noch die wirkliche
Darstellung der Perioden eines hyperelliptischen Integrales in Form
von Integralen geben, die zwischen den Verzweigungspunkten der
\so{Riemann}'schen Fläche von $\sqrt{R(z)}$ ausgedehnt sind.

Sei das Integral
\[
  J = \int f\bigl(z, \sqrt{R(z)}\bigr) dz
\]
gegeben, welches auf festbestimmten Blättern in den Punkten
\[
  z_1, z_2, \dotsb z_m
\]
und in den Verzweigungspunkten
\[
  \alpha_1, \alpha_2, \dotsb \alpha_{2p+1}, \infty
\]
unendlich werden soll, wie die Functionen:
\[
\begin{array}{l}
A_1 \log(z-z_1) + B_1(z-z_1)^{-1} + C_1(z-z_1
)^{-2} + \dotsb + K_1(z-z_1)^{-k_1},
\\
A_2 \log(z-z_2) + B_2(z-z_2)^{-1} + C_2(z-z_2)^{-2} + \dotsb +
K_2(z-z_2)^{-k_2},
\\
\hdotsfor[3]{1}\\
A_m \log(z-z_m) + B_m(z-z_m)^{-1} + C_m(z-z_m)^{-2} + \dotsb +
K_m(z-z_m)^{-k_m},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
  a_1\log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
  +  b_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}} + \dotfill
  + h_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda_{1}}{2}},\qquad\qquad
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  a_{2p+1}\log(z-\alpha_{2p+1})^{\frac{1}{2}}
  +  b_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{1}{2}} + \dots
  + h_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{\lambda_{2p+1}}{2}},
\\
  M_0 \log z^{\frac{1}{2}} + M_1 z^{\frac{1}{2}} + \dotfill
+ M_\delta z^{\frac{\delta}{2}},\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{array}
\]
so werden wir in der durch Ziehen der Querschnitte
\[
  a_1, a_2, \dotsb a_p,\quad b_1, b_2, \dotsb b_p,\quad
  c_1, c_2, \dotsb c_{p-1}
\]
\begin{wrapfigure}[20]{r}{9cm}
\caption{\hskip1pt }
\hfill\includegraphics*[width=8.5cm,height=8.5cm]{images/fig03}
\end{wrapfigure}
{\loosen%
einfach zusammenhängend gewordenen Fläche die Unstetigkeitspunkte
durch unendlich kleine geschlossene Kreise auszuschliessen haben,
und um die nunmehr wieder mehrfach zusammenhängende Fläche
einfach zusammenhängend zu machen, je einen Punkt dieser Kreise,
%-----File: 039.png------------------------------
wie es die Figur 3.~angiebt,\footnote
  {Wir wählen in der Zeichnung einige Unstetigkeitspunkte im ersten,
  andere im zweiten Blatte.}
aus schon oben angegebenen Gründen
mit demselben Punkte, der hier der Schnittpunkt $A$ des
$a_1$- und $b_1$-Querschnittes
sein mag, durch
neue Querschnitte
$d_1, d_2, \dotsc$ verbinden
müssen.}%[** TN: End \loosen]

Was vor Allem
die an den Querschnitten
$d_1, d_2, \dotsc$
stattfindenden Stetigkeitssprünge
betrifft, so sieht man
unmittelbar, und ist
schon früher hervorgehoben
worden, dass sie nur
von den logarithmischen
Gliedern in
den Unstetigkeitsfunctionen
herrühren, und somit die
entsprechenden Periodicitätsmoduln durch
\begin{gather*}
  2\pi iA_1,\; 2\pi iA_2, \dotsc 2\pi iA_m,   \\
  2\pi ia_1,\; 2\pi ia_2, \dotsc 2\pi ia_{2p+1},   \\
  2\pi iM_0
\end{gather*}
dargestellt werden.

Um die Periodicitätsmoduln an den andern Querschnitten zu
finden, werde bemerkt, dass für die Aufsuchung dieser die Existenz
der eben betrachteten logarithmischen Unstetigkeiten gleichgültig
ist, weil das Ueberschreiten aller von diesen herrührenden und in
demselben Punkte $A$ zusammenlaufenden Querschnitte den Stetigkeitssprung
Null verursacht, und in Folge dessen die Periodicitätsmoduln
längs den Querschnitten $a$ und $b$ constant sind, während die an den
Querschnitten $c$, wie schon früher hervorgehoben, verschwinden. Um
nun für die letztbezeichneten Periodicitätsmoduln Ausdrücke in Form
von bestimmten Integralen zu finden, wird man die $a$- und
$b$-Querschnitte
mehr und mehr um die Verzweigungspunkte herum zusammenziehen,
bis die zwischen den einzelnen Verzweigungspunkten sich
hinziehenden Theile zu graden Linien werden, so dass die
$a$-Querschnitte
%-----File: 040.png------------------------------
zu beiden Seiten des resp. Verzweigungsschnittes auf dem
ersten Blatte zu einander parallel laufende Grade liefern, die
$b$-Querschnitte
dagegen aus Theilen von graden Linien bestehen, welche
sich zwischen den Verzweigungspunkten parallel, aber in den beiden
verschiedenen Blättern gelegen hinziehen. Da nun, wie aus der allgemeinen
Theorie bekannt, übrigens aus der obigen Figur unmittelbar
ersichtlich ist, der Stetigkeitssprung an jedem $a$- und $b$-Querschnitte
durch das über den zugehörigen $b$- und $a$-Querschnitt genommene
Integral dargestellt wird, so werden sich, wenn wir die durch die
Richtung der Pfeile bezeichneten Sprünge des Integrales $J$ an diesen
Querschnitten durch
\[
J_{a_k} \quad\text{und}\quad J_{b_k}
\]
bezeichnen, ferner die Integrationen ebenfalls in der durch die
beistehenden
Pfeile angezeigten Richtung ausführen und beachten, dass
für die über die $b$-Querschnitte ausgeführten Integrationen die längs
den Verzweigungsschnitten in entgegengesetzten Richtungen verlaufenden
Integrale sich aufheben, unmittelbar die Beziehungen ergeben:
\begin{align*}
  J_{a_k} &= -2\int_{\alpha_{2k  }}^{\alpha_{2k+1}} dJ
             -2\int_{\alpha_{2k+2}}^{\alpha_{2k+3}} dJ - \dotsb
             -2\int_{\alpha_{2p  }}^{\alpha_{2p+1}} dJ,
\\
  J_{b_k} &= -2\int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}} dJ,
\end{align*}
worin die in $J_{a_k}$ vorkommenden Integrale im oberen Blatte, die
in $J_{b_k}$ vorkommenden Integrale auf der oberen Seite (der Figur
gemäss) der resp.\ Verzweigungsschnitte ebenfalls im oberen Blatte
gradlinig zu nehmen sind.

Daraus ergeben sich für die auf der mehrfach zusammenhängenden
Fläche und zwar in der eben angegebenen Weise zwischen je zwei
Verzweigungspunkten ausgeführten Integrale die Beziehungen
\[
  \int_{\alpha_{2k}}^{\alpha_{2k+1}}dJ
= \tfrac{1}{2} J_{a_{k+1}} - \tfrac{1}{2}J_{a_k}, \quad
  \int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}}dJ
=-\tfrac{1}{2}J_{b_k};
\]
wenn man nun alle Verzweigungspunkte mit einer im oberen Blatte
gelegenen geschlossenen Linie umgiebt, und der Einfachheit wegen
annimmt, dass das hyperelliptische Integral keine Unstetigkeitspunkte
besitzen, somit ein Integral erster Gattung sein soll, so wird dieses
Integral den Werth Null liefern, und wenn man andererseits berücksichtigt,
dass nach Zusammenziehung aller Querschnitte in der oben
angegebenen Weise auch diese geschlossene Linie bis zu jenen Querschnitten
%-----File: 041.png------------------------------
hin in eine gebrochene Grade zusammengezogen werden
kann, so ergiebt sich die Integralbeziehung
\[
  \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} dJ
+ \int_{\alpha_3}^{\alpha_4} dJ + \dotsb
+ \int_{\alpha_{2p-1}}^{\alpha_{2p}} dJ
+ \int_{\alpha_{2p+1}}^{\infty} dJ     = 0,
\]
in welcher die einzelnen Integrale auf der oberen Seite der
Verzweigungsschnitte im oberen Blatte gradlinig zu nehmen sind, und
wir erhalten somit für das Integral zwischen den Verzweigungspunkten
$\alpha_{2p+1}$ und $\infty$ unter der gemachten Voraussetzung den
Ausdruck:
\[
  \int_{\alpha_{2p+1}}^{\infty} dJ
= \tfrac{1}{2}J_{b_1} + \tfrac{1}{2}J_{b_2} + \dotsb +
  \tfrac{1}{2}J_{b_p}.
\]

Endlich sollen noch die Periodicitätsmoduln durch die auf der
einfach zusammenhängenden \so{Riemann}'schen Fläche $F'$ zwischen den
Verzweigungspunkten verlaufenden Integrale dargestellt werden, wobei
wir der Einfachheit wegen annehmen, dass das Integral gar keine
logarithmischen Unstetigkeiten besitzt, \dh\ dass andere Querschnitte
als die $a$-, $b$-, $c$-Linien nicht vorkommen --- ich bemerke jedoch,
dass diese Beschränkung nur der Gleichförmigkeit der Ausdrücke
wegen gemacht wird, indem ohne dieselbe zu jedem Ausdrucke
nur noch so viel mit den Coefficienten der logarithmischen
Unstetigkeitsfunctionen versehene Multipla von $2\pi i$ hinzukommen, als
von diesen herrührende Querschnitte durch den Integrationsweg
geschnitten werden.

Dann ist aber leicht zu sehen, dass man mit Rücksicht darauf,
dass sich die gradlinigen Integrale von den auf der einfach
zusammenhängenden Fläche genommenen nur um die Stetigkeitssprünge
unterscheiden, welche durch Schneiden der Graden und der Querschnitte
entstehen, die Beziehungen erhält:
\begin{align*}
  \sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2k-1} }^{\alpha_{2k}} dJ
=&\int_{ \alpha_{2k-1}      }^{\alpha_{2k}} dJ + J_{b_k}
= \tfrac{1}{2}J_{b_k},
\displaybreak[1] \\
  \sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2k} }^{\alpha_{2k+1}} dJ
=&\int_{ \alpha_{2k}      }^{\alpha_{2k+1}} dJ + J_{a_k} - J_{a_{k+1}}
= \tfrac{1}{2}J_{a_k} - \tfrac{1}{2}J_{a_{k+1}},
\displaybreak[1] \\
  \sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2p} }^{\alpha_{2p+1}} dJ
=&\int_{ \alpha_{2p}      }^{\alpha_{2p+1}} dJ + J_{a_p}
= \tfrac{1}{2}J_{a_p},
\end{align*}
%-----File: 042.png------------------------------
und unter der oben gemachten Beschränkung:
\[
  \sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2p+1} }^{\infty} dJ
= \int_{ \alpha_{2p+1}      }^{\infty} dJ - J_{b_1} - J_{b_2}
- \dotsb - J_{b_p}
= -\tfrac{1}{2}J_{b_1} - \tfrac{1}{2}J_{b_2}
- \dotsb - \tfrac{1}{2}J_{b_p} ,
\]
wobei die durch
\[
  \sideset{}{_{F'}}\int
\]
bezeichneten Integrale auf der einfach zusammenhängenden Fläche
$F'$ zu nehmen sind; die hieraus für die Periodicitätsmoduln
entspringenden Ausdrücke durch die zwischen den Verzweigungspunkten
sich erstreckenden Integrale lauten demnach:
\begin{align*}
  J_{a_k}
&= 2\sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2k  } }^{\alpha_{2k+1}}dJ
+ 2\sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2k+2} }^{\alpha_{2k+3}}dJ + \dotsb
+ 2\sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2p  } }^{\alpha_{2p+1}}dJ,
\\
  J_{b_k}
&= 2\sideset{}{_{F'}}\int_{ \alpha_{2k-1} }^{\alpha_{2k}}dJ.
\end{align*}
\eoc
%-----File: 043.png------------------------------


\Chapter[Reduction des allgemeinen hyperelliptischen Integrales etc.]
{Vierte Vorlesung.}
{Reduction des allgemeinen hyperelliptischen Integrales auf drei
Arten von Normalintegralen.}

\addtotoc{Allgemeine Reductionsformel der hyperelliptischen Integrale
auf drei feste Integralformen}

Wenn man auch nach dem Vorigen im Stande ist, ein Integral
\[
  \int F\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)\, dz,
\]
in welchem $F$ eine beliebige rationale Function bedeutet, dadurch,
dass man die Punkte aufsucht, in denen $F\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)$
unendlich gross
wird, und diese Function in der Nähe dieser Punkte entwickelt, um
die Art des Unendlichwerdens derselben kennen zu lernen, aus den
oben definirten Integralen der verschiedenen drei Gattungen und deren
nach den singulären Punkten genommenen Differentialquotienten
zusammenzusetzen, so wird es doch für das Folgende wesentlich sein,
drei feste Klassen von Normalintegralen aufzustellen, auf welche sich
jedes hyperelliptische Integral mit Hülfe der in der Function $F$
vorkommenden Constanten zurückführen lässt.

Sei
\[
  R(z) = A(z-\alpha_1)(z-\alpha_2) \dotsm (z-\alpha_{2p+1}),
\]
und $F\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)$ eine rationale Function von $z$
und $\sqrt{R(z)}$, so
wird sich
\[
  \int F\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)\, dz
= \int\frac{ \varphi_1(z) + \varphi_2(z)\sqrt{R(z)} }
           {    \psi_1(z) +    \psi_2(z)\sqrt{R(z)} }\; dz,
\]
worin
\[
  \varphi_1(z),\ \varphi_2(z),\ \psi_1(z),\ \psi_2(z)
\]
ganze Functionen von $z$ sind, wenn in der Function unter dem
Integral Zähler und Nenner mit dem conjugirten Werthe des Nenners
multiplicirt wird, in die Form bringen lassen
\[
  \int \left[ F_1(z) + F_2(z)\sqrt{R(z)} \right] dz
= \int F_1(z)\, dz + \int\frac{ F(z)\,dz }{ \sqrt{R(z)} },
\]
in welcher $F_1(z)$, $F_2(z)$, $F(z)$ rationale Functionen von $z$
bedeuten.
Da nun
\[
  \int F_1(z)\, dz
\]
als Integral einer rationalen Function von $z$ eine
algebraisch-logarithmische
Function ist, so handelt es sich somit nur noch um ein Integral
von der Form
%-----File: 044.png------------------------------
\[
  \int\frac{F(z)\,dz}{\sqrt{R(z)}},
\]
auf dessen Reduction wir nunmehr eingehen.

Nach dem \so{Cauchy}'schen Satze ist, wenn $F(z)$ für die Werthe
\[
  z_1,\ z_2,\ \dotsb\ z_n
\]
unendlich wird,
\[
  F(z)
= \frac{1}{2\pi i} \int_{(z_1)} \frac{F(t)}{z-t}dt
+ \frac{1}{2\pi i} \int_{(z_2)} \frac{F(t)}{z-t}dt + \dotsb
+ \frac{1}{2\pi i} \int_{(z_n)} \frac{F(t)}{z-t}dt
- \frac{1}{2\pi i} \int_{(\infty)} \frac{F(t)}{z-t}dt,
\leqno{(1)}
\]
worin die Integrale so zu durchlaufen sind, dass die eingeschlossenen
Flächen zur Linken liegen, und das letzte Integral längs einem den
Nullpunkt umschliessenden Kreise mit sehr grossem Radius genommen
werden kann; es wird sich somit, da die geschlossenen Integrale um
die Punkte $z_\alpha$ genommen, wie bekannt, die Coefficienten von
$(t-z_\alpha)^{-1}$
in der Entwickelung von
\[
  \frac{F (t)}{z-t}
\]
nach steigenden Potenzen von $(t-z_\alpha)$ darstellen, und ebenso das um
den unendlich entfernten Punkt genommene Integral den Coefficienten
von $t^{-1}$ in der Entwickelung derselben Function nach fallenden
Potenzen
von $t$ liefert, wenn wir diese Coefficienten durch
\[
  \left[\frac{F (t)}{z-t}\right]_{(z-t_\alpha)^{-1}}
  \text{ und }
  \quad \left[ \frac{F(t)}{z-t}\right]_{t^{-1}}
\]
bezeichnen und die Gleichung (1) mit $\sqrt{R(z)}$ dividiren, der Ausdruck
ergeben
\[
\tag{2}
  \frac{F(z)}{\sqrt{R(z)}}
= \left[\frac{F(t)}{(z-t)\sqrt{R(z)}}\right]_{(t-z_1)^{-1}}
+ \dotsb
+ \left[\frac{F(t)}{(z-t)\sqrt{R(z)}}\right]_{(t-z_n)^{-1}}
- \left[\frac{F(t)}{(z-t)\sqrt{R(z)}}\right]_{t^{-1}}
\]
dessen einzelne Theile nunmehr weiter zu behandeln sein werden.

Nun ist aber eine unmittelbar ersichtliche Identität, die man
durch Ausführung der Differentiation verificirt,
\[
  \frac{d}{dt} \left[ \frac{\sqrt{R(t)}}{(z-t) \sqrt{R(z)}} \right]
- \frac{d}{dz} \left[ \frac{\sqrt{R(z)}}{(t-z) \sqrt{R(t)}} \right]
= \frac{\tfrac{1}{2}(z- t)[R'(t)+R'(z)] + [R(t)-R(z)]}
       {(z-t)^2 \sqrt{R(z)} \sqrt{R(t)}},
\]
welche, wie man durch einfache Ausrechnung erkennt, wenn
\begin{align*}
  R(z)   &= Az^{2p+1}+B_0z^{2p}+B_1z^{2p-1}+\dotsb +B_{2p-1}z+B_{2p}\\
  F_r(t) &= \frac{2p-2r-1}{2}At^r + \frac{2p-2r}{2}B_0t^{r-1}
          + \frac{2p-2r+1}{2}B_1t^{r-2}+\dotsb  \\
&+ \frac{2p-r-3}{2}B_{r-3}t^{2}
+ \frac{2p-r-2}{2}B_{r-2}t
+ \frac{2p-r-1}{2}B_{r-1},
\end{align*}
oder auch
%-----File: 045.png------------------------------
\[
\begin{split}
  (-1)^r F_r(t)
=&  \frac{2p-1}{4p+2}\frac{1}{(2p)! }(2p-1)_r    t^r    R^{(2p+1)}(t)
  - \frac{2p-2}{4p }\frac{1}{(2p-1)!}(2p-2)_{r-1}t^{r-1}R^{(2p)}(t)
\\
&+ \frac{2p-3}{4p-2}\frac{1}{(2p-2)!}(2p-3)_{r-2}t^{r-2}R^{(2p-1)}(t)
   + \dotsb
\\
&+ (-1)^{r-1} \frac{2p-r}{4p-2r+4} \frac{1}{(2p-r+1)!}
   (2p-r)_1 t R^{(2p-r+2)}(t)
\\
&- (-1)^{r-1} \frac{2p-r-1}{4p-2r+2} \frac{1}{(2p-r)!} R^{(2p-r+1)}(t)
\end{split}
\]
gesetzt wird, worin $a_k$ den $k^{\text{ten}}$ Binomialcoefficienten von $a$ und
$R^{(i)}(t)$ die $i^{\text{te}}$ Ableitung von $R(t)$ bedeutet, in
\[\leqno{(3)}
\begin{aligned}
  \dotsb
  \frac{d}{dt} \left[ \frac{ \sqrt{R(t)} }{ (z-t)\sqrt{R(z)} } \right]
&= \frac{d}{dz} \left[ \frac{ \sqrt{R(z)} }{ (t-z)\sqrt{R(t)} } \right]
+ \frac{ F_0(t) z^{2p-1} }{ \sqrt{R(z)}\sqrt{R(t)} }
+ \frac{ F_1(t) z^{2p-2} }{ \sqrt{R(z)}\sqrt{R(t)} } + \dotsb
\\
&+ \frac{ F_{2p-2}(t) z }{ \sqrt{R(z)}\sqrt{R(t)} }
+ \frac{ F_{2p-1}(t)   }{ \sqrt{R(z)}\sqrt{R(t)} }
\end{aligned}
\]
übergeht, wobei zu bemerken, dass der Index der $F$-function den
Grad dieser ganzen Function in $t$ bezeichnet.

Integrirt man diese Gleichung nach $t$ zwischen den Gränzen
$z_\alpha$ und $t$, so erhält man
\begin{gather*}
  \frac{ \sqrt{R(t)} }{ (z-t)\sqrt{R(z)} }
- \frac{ \sqrt{R(z_\alpha)} }{ (z-z_\alpha)\sqrt{R(z)} } =
\\
  \frac{d}{dz} \left( \sqrt{R(z)}\int_{z_\alpha}
                      \frac{dt}{ (t-z)\sqrt{R(t)} } \right)
+ \frac{ z^{2p-1} }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{z_\alpha} \frac{F_0(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)} }
+ \frac{ z^{2p-2} }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{z_\alpha} \frac{F_1(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)} } + \dotsb
\\
+ \frac{ z }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{z_\alpha} \frac{F_{2p-2}(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)} }
+ \frac{ 1 }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{z_\alpha} \frac{F_{2p-1}(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)} } ,
\end{gather*}
und daher, wenn man mit $\sqrt{R(t)}$ dividirt, mit $F(t)$ multiplicirt,
auf
beiden Seiten nach steigenden Potenzen von $t - z_\alpha$ entwickelt und
die Coefficienten von $(t - z_\alpha)^{-1}$ einander gleichsetzt,
\[
\leqno{(4)}
\begin{aligned}
  \left[ \frac{F(t)}{ (z-t)\sqrt{R(z)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} }
&= \frac{ \sqrt{R(z_\alpha)} }
       { (z-z_\alpha)\sqrt{R(z_\alpha)} }
  \left[ \frac{F(t)  }{ \sqrt{R(t)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} } \\
&+ \frac{ z^{2p-1}           }{ \sqrt{R(z)} }
  \left[ \frac{ F(t)        }{ \sqrt{R(t)} }
         \int_{z_\alpha}
         \frac{ F_0(t) \;dt   }{ \sqrt{R(t)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} } \\
&+ \frac{ z^{2p-2}           }{ \sqrt{R(z)} }
  \left[ \frac{ F(t)        }{ \sqrt{R(t)} }
        \int_{z_\alpha}
         \frac{ F(t) \;dt     }{ \sqrt{R(t)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} } \\
&+ \dotsb
+ \frac{ 1                  }{ \sqrt{R(z)} }
  \left[ \frac{ F(t)        }{ \sqrt{R(t)} }
         \int_{z_\alpha}
         \frac{ F_{2p-1}(t) \;dt }{ \sqrt{R(t)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} } \\
&+ \frac{d}{dz} \sqrt{R(z)}
  \left[ \frac{ F(t)        }{ \sqrt{R(t)} }
         \int_{z_\alpha}
         \frac{ dt     }{ (t-z)\sqrt{R(t)} }
  \right]_{ (t-z_\alpha)^{-1} } \mspace{-50 mu},
\end{aligned}
\]
wenn wir uns der oben definirten Bezeichnung bedienen.

Wir gehen wieder zu der Gleichung~(3) zurück und integriren
nach $t$ für den Anfangswerth $t = \infty$, so ist klar, dass man
%-----File: 046.png------------------------------
\begin{gather*}
\tag{5}
  \frac{ \sqrt{R(t)} }{ (z-t)\sqrt{R(z)} }
= \frac{d}{dz}
  \int_{\infty} \frac{ \sqrt{R(z)} }{ (t-z)\sqrt{R(t)} }dt
+ \frac{ z^{2p-1} }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{\infty} \frac{ F_0(t)\;dt }{ \sqrt{R(t)} } + \dotsb
\\
+ \frac{ 1 }{ \sqrt{R(z)} }
  \int_{\infty} \frac{ F_{2p-1}(t)\;dt }{ \sqrt{R(t)} }
\end{gather*}
erhält, wenn man nachweisen kann, dass die Integrationsconstante
Null wird; da aber auf der linken Seite in der Umgebung des
unendlich entfernten Punktes
\begin{gather*}
  \sqrt{R(t)}
= A^{\frac{1}{2}} t^{\frac{2p+1}{2}} + a_1 t^{\frac{2p-1}{2}} + \dotsb
\\
  \frac{1}{z-t} = -\frac{1}{t} ·\frac{1}{ 1-\frac{z}{t} }
= -t^{-1} - zt^{-2} - \dotsb
\end{gather*}
ist, so wird die Entwickelung der linken Seite nach fallenden
Potenzen von $t$
\[
  \frac{ \sqrt{R(t)} }{ (z-t)\sqrt{R(z)} }
=-\frac{ A^{\frac{1}{2}} }{ \sqrt{R(z)} } t^{\frac{2p+1}{2}}
+ \text{ fallende \emph{gebrochene} Potenzen von $t$;}
\]
auf der rechten Seite dagegen wird
\begin{align*}
  \frac{1}{ \sqrt{R(t)} }
&= A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}}
  \left\{ 1 + a_1 A^{-\frac{1}{2}} t^{-1} + \dotsb \right\}^{-1}
\\
&= A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}}
+ b_1 t^{-\frac{2p+3}{2}} + \dotsb
\\
  \frac{1}{t-z}
&= t^{-1} + z t^{-2} + \dotsb,
\end{align*}
also
\[
  \frac{1}{ (t-z)\sqrt{R(t)} }
= A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+3}{2}}
+ c_1 t^{-\frac{2p+5}{2}} + \dotsb,
\]
und daher
\[
  \int_{\infty} \frac{dt}{ (t-z)\sqrt{R(t)} }
= -\frac{2}{2p+1} A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}}
- \frac{2}{2p+3} c_1 t^{-\frac{2p+3}{2}} - \dotsb ;
\]
ferner, da
\[
  F_r(t) = (p-r-\tfrac{1}{2})A t^r + \text{ fallende Potenzen von }t
\]
ist,
\[
  \frac{F_r(t)}{ \sqrt{R(t)} }
= (p-r-\tfrac{1}{2}) A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}+r}
+ \text{ fallende \emph{gebrochene} Potenzen von }t,
\]
und
\[
  \int_{\infty} \frac{F_r(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)} }
= -A^{\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p-1}{2}+r}
+ \text{ fallende \emph{gebrochene} Potenzen von }t,
\]
%-----File: 047.png------------------------------
so dass die Entwickelung der rechten und linken Seite der obigen
Gleichung in der Umgebung des Punktes $t = \infty$ nur gebrochene
Potenzen von $t$ enthält, die für $t = \infty$ entweder unendlich gross
werden oder verschwinden. Es ist somit die Integrationsconstante
Null, und die Gleichung (5) richtig, wenn auf der rechten Seite die
Integrale mit der untern Gränze unendlich nur anzeigen sollen, dass
die Functionen unter dem Integral in der Umgebung von $z = \infty$ zu
entwickeln sind, und aus (5) ergiebt sich wieder ähnlich wie oben
\begin{gather*}
\tag{6}
  \left[\frac{F(t)}{(z-t)\sqrt{R(z)}} \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20mu}
= \frac{z^{2p-1}}{\sqrt{R(z)}}\left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(z)}}
  \int_{\infty} \frac{F_0(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}} \right]_{t^{-1}}+\dotsb
\\
+ \frac{1}{\sqrt{R(z)}} \left[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
  \frac{F_{2p-1}(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}}\right]_{t^{-1}}
\mspace{-18mu}
+ \frac{d}{dz}\sqrt{R(z)}\left[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
  \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}} \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20mu}.
\end{gather*}

Es folgt somit aus (4) und (6) durch Einsetzen in (2), wenn
\begin{gather*}
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}\right]_{(t-z_a)^{-1}}
\mspace{-30mu}
= C_\alpha,\\
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
  \frac{F_r(t)\;dt}{ \sqrt{R(t)}}\right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40mu}
= l_a^{(r)},\quad
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty}
  \frac{F_r(t) \;dt}{ \sqrt{R(t)}}\right]_{t^{-1}}
\mspace{-20mu}
= l_0^{(r)}
\end{gather*}
worin $r=0,1,\dotsc p-1 $,
\[
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}\int_{z_\alpha}
  \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40mu}
= k_\alpha^{(r)},\quad
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
  \frac{F_r(t) \;dt}{\sqrt{R(t)}} \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20mu}
= k_0^{(r)}
\]
wenn $r=p,\,p+1,\dotsc 2p-1 $ , ferner
\[
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
  \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40mu}
= f_\alpha(z), \quad
  \left[\frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
  \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}} \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20mu}
= f_0(z),
\]
endlich
\begin{align*}
  l_1^{(r)} + l_2^{(r)} + \dotsb + l_n^{(r)} - l_0^{(r)} &= l^{(r)}\\
  k_1^{(r)} + k_2^{(r)} + \dotsb + k_n^{(r)} - k_0^{(r)} &= k^{(r)}\\
  f_1(z) + f_2(z) + \dotsb + f_n(z) - f_0(z) &= f(z)
 \end{align*}
gesetzt und mit $dz$ multiplicirt wird, die nachstehende Reduction des
allgemeinen hyperelliptischen Differentials:
\begin{align*}
\tag{7}
  \frac{F(z)dz}{\sqrt{R(z)}}
=&\frac{C_1\sqrt{R(z_1)}dz}{(z-z_1)\sqrt{R(z)}dz} + \dotsb
+ \frac{C_n\sqrt{R(z_n)}dz}{(z-z_n)\sqrt{R(z)}}
\\
+&\frac{l^{(0)}  z^{2p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
+ \frac{l^{(1)}  z^{2p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ \frac{l^{(p-1)}z^{p}    dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
+&\frac{k^{(p)}   z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
+ \frac{k^{(p+1)} z^{p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ \frac{k^{(2p-1)}        dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
&\qquad+ \frac{d}{dz} \left\{ f(z)\sqrt{R(z)} \right\} dz,
\end{align*}
%-----File: 048.png------------------------------
so dass sich somit
\[
  \int \frac{F(z)\;dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
in eine endliche Anzahl von Integralen von der Form
\[
  \int \frac{dz}{(z-z_\alpha)\sqrt{R(z)}},
\]
in Integrale von der Form
\[
  \int \frac{ z^{2p-1}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }, \quad
  \int \frac{ z^{2p-2}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }, \dotsc
  \int \frac{ z^{ p  }\;dz }{ \sqrt{R(z)} },
\]
in solche von der Form
\[
  \int \frac{ z^{p-1}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }, \quad
  \int \frac{ z^{p-2}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }, \dotsc
  \int \frac{        dz }{ \sqrt{R(z)} },
\]
und in eine Function
\[
  f(z) \sqrt{R(z)}
\]
zerlegt, welche, wie aus der Definition von $f(z)$ hervorgeht, und
nachher noch genauer ausgeführt werden soll, das Product einer
rationalen Function von $z$ in $\sqrt{R(z)}$ ist.

Das Charakteristische dieser drei Integralklassen ist unmittelbar
aus ihrer Form zu erkennen. Es ist bekannt, dass die letzte
Integralklasse nur Integrale erster Gattung enthält; für ein Integral
der zweiten Klasse, dessen Form
\[
  \int \frac{ z^{p+\alpha}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }
\]
ist, folgt unmittelbar, dass dasselbe für jeden im Endlichen gelegenen
Punkt endlich ist, dass aber wegen
\[
  \frac{1}{ \sqrt{R(z)} }
= A^{-\frac{1}{2}} z^{-\frac{2p+1}{2}}
+ bz^{-\frac{2p+3}{2}} + \dotsb
\]
oder
\[
  \frac{ z^{p+\alpha} }{ \sqrt{R(z)} }
= A^{-\frac{1}{2}} z^{\alpha-\frac{1}{2}}
+ bz^{\alpha-\frac{3}{2}} + \dotsb
\]
oder endlich
\[
  \int \frac{ z^{p+\alpha}\;dz }{ \sqrt{R(z)} }
= \frac{ A^{-\frac{1}{2}} }{ \alpha+\frac{1}{2} }
  z^{\alpha+\frac{1}{2}}
+ \frac{1}{ \alpha-\frac{1}{2} } bz^{\alpha-\frac{1}{2}} + \dotsb
\]
dieses Integral für $z = \infty$ von der
$\alpha + \tfrac{1}{2}^{\mathrm{ten}}$ Ordnung unendlich wird;
da nun $z = \infty$ ein Verzweigungspunkt der zu $\sqrt{R(z)}$ gehörigen
\so{Riemann}'schen Fläche ist, so wird das Integral in diesem Punkte,
wenn
$z^{\frac{1}{2}}$ von der ersten Ordnung unendlich gesetzt wird, von der
${2\alpha + 1}^{\mathrm{ten}}$
Ordnung unendlich oder es stellt ein Integral vor, welches nur für
$z = \infty$ und zwar so unendlich wird, dass $2\alpha + 1$ Punkte,
für welche
es von der ersten Ordnung unendlich ist, dort zusammenfallen. Die
ersten Integrale endlich, welche die Form haben
\[
  \int \frac{dz}{(z-z_\alpha)\sqrt{R(z)}},
\]
%-----File: 049.png------------------------------
werden nur in $z = z_\alpha$ und dort logarithmisch unendlich und zwar
auf beiden Blättern, sind also, indem die beiden Punkte $z_1$ und $z_2$
eines allgemeinen Integrales dritter Gattung hier in übereinander
liegende Punkte verschiedener Blätter fallen, Integrale dritter Gattung;
nur wenn $z_\alpha$ eine der Lösungen $\alpha_1, \alpha_2, \dotsc
\alpha_{2p+1}$ des Polynoms $R(z)$
ist, würde es, wie unmittelbar zu sehen, ein Integral zweiter Gattung
sein, dann aber, wie später gezeigt wird, in der Reduction gar
nicht vorkommen.

\addtotoc{Discussion der Coefficienten dieser Integrale}
Wir wollen noch kurz einige Betrachtungen in Betreff der
Coefficienten der oben gefundenen Reductionsformel anstellen. Was zuerst
den Werth von
\[
  C = \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\]
betrifft, so wird, wenn $z_\alpha$ nicht eine der Lösungen von $R(t) =
0$ ist,
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}}
= R(z_\alpha)^{-\tfrac{1}{2}} + b_1(t-z_\alpha) + \dotsb
\]
sein, und da, wenn $F(z)$ in $z = z_\alpha$ von der $m^{\mathrm{ten}}$
Ordnung
unendlich wird,
\[
  F(t)
= c_{-m}(t-z_\alpha)^{-m} + c_{-m+1}(t-z_\alpha)^{-m+1} + \dotsb
\]
ist, so werden zur Bestimmung der obigen Grösse $C_\alpha$ nur diese
beiden
Reihen zu multipliciren sein, und zwar wird man von der ersten nur
die ersten $m$ Glieder zu kennen brauchen, um den zugehörigen Werth
von $C_\alpha$ herzuleiten, der im Allgemeinen von Null verschieden sein
wird. \emph{Ist dagegen} $z_\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc
\alpha_{2p+1}$, dann wird
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}}
= A^{-\tfrac{1}{2}}(t-z_\alpha)^{-\tfrac{1}{2}}
+ b_1(t-z_\alpha)^{\tfrac{1}{2}} + \dotsb,
\]
und daher wird das Product dieser Reihe mit der Reihenentwicklung
von $F(t)$ nur gebrochene Exponenten enthalten, \emph{also
$C_\alpha = 0$ sein,
und sich somit kein dem Discontinuitätspunkte $z_\alpha$ entsprechendes
Integral dritter Gattung ergeben.}

Der durch die Gleichung
\[
  k_\alpha^{(r)}
= \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
         \int_{z_\alpha}
         \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{\rlap{\scriptsize$(t-z_\alpha)^{-1}$}},
\]
worin $r = p, p+1, \dotsc 2p-1$ zu setzen ist, gegebene Werth
von $k_\alpha$ wird, wenn wir $z_\alpha$ wieder von
$\alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}$ verschieden
annehmen, da
\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}}
&= R(z_\alpha)^{-\tfrac{1}{2}} + a_1(t-z_\alpha) + \dotsb
\\
  F_r(t)
&= F_r(z_\alpha) + \frac{ t-z_\alpha }{1} F'_r(z_\alpha) + \dotsb
+ \frac{ (t-z_\alpha)^r }{r!}F_r^{(r)}(z_\alpha),
\end{align*}
also
%-----File: 050.png------------------------------
\[
  \int_{z_\alpha} \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}}
= F_r(z_\alpha) R(z_\alpha)^{-\tfrac{1}{2}} (t-z_\alpha) + \dotsb ,
\]
ausserdem
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
= R(z_\alpha)^{-\tfrac{1}{2}} c_{-m}(t-z_\alpha)^{-m} + \dotsb ,
\]
und daher
\begin{multline*}
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
  \int_{z_\alpha} \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}} \\ %[** TN: Re-broken]
= c_{-m} R(z_\alpha)^{-1} F_r(z_\alpha) (t-z_\alpha)^{-m+1} +
  \text{steigende ganze Potenzen von }t - z_\alpha
\end{multline*}
ist, \emph{im Allgemeinen nur dann verschwinden, wenn $m = 1$ ist}, weil
dann die Reihenentwicklung bereits mit der nullten Potenz beginnt;
ist $z_\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}$, so überzeugt
man sich leicht mit Hülfe der
vorher gemachten Entwicklung, dass in diesem Falle $k_\alpha$ im
Allgemeinen
nicht verschwindet; \emph{in allen Fällen ist $k_\alpha^{(r)}$ eine
rationale
Function von $z_\alpha$, wie aus den Reihenentwicklungen unmittelbar
hervorgeht.}

Was nun die Grösse
\[
  k_0^{(r)}
= \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
         \int_{\infty} \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
\]
angeht, so ist
\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}}
&= A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}}
 + b_1 t^{-\frac{2p+3}{2}} + \dotsb
\\
  F_r(t) &= (p-r-\tfrac{1}{2}) A t^r + \dotsb,
\end{align*}
somit
\[
  \frac{F_r(t)}{\sqrt{R(t)}}
= (p-r-\tfrac{1}{2}) A^{-\frac{1}{2}} t^{r-\frac{2p+1}{2}} + \dotsb,
\]
und daher
\[
  \int_\infty \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
= - A^{-\frac{1}{2}} t^{\frac{2r-2p+1}{2}} + \dotsb,
\]
ist nun $\mu$ der Grad des Zählers und $\nu$ der Grad des Nenners der
rationalen Function $F(t)$, so wird
\[
  F(t)
= \frac{ a_0 t^\mu (1 + c_1t^{-1} + \dotsb) }
       { b_0 t^\nu (1 + d_1t^{-1} + \dotsb) }
= \frac{a_0}{b_0} t^{\mu-\nu} (1 + e_1t^{-1} + \dotsb),
\]
also\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
= \frac{a_0}{b_0} A^{-\frac{1}{2}} t^{\mu-\nu-\frac{2p+1}{2}}
+ \text{ fallende Potenzen von }t,
\]
so dass
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
  \int_\infty \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}}
= -\frac{a_0}{b_0} A^{-1} t^{\mu-\nu+r-2p}
+ \text{ fallende Potenzen von }t,
\]
und \emph{es wird somit $k_0^{(r)} = 0$ sein, wenn}
\[
  \mu - \nu + r - 2p < -1
\]
%-----File: 051.png------------------------------
oder
\[
  \mu - \nu < 2p - r - 1
\]
ist, \dh
\[
\begin{array}{ll}
  \text{für } r = \phantom{2}p      &  \mu - \nu < p - 1   \\
  \text{für } r = \phantom{2}p + 1  &  \mu - \nu < p - 2   \\
\hdotsfor[3]{2} \\
  \text{für } r = 2p - 1  &  \mu - \nu < 0
\end{array}
\]
ist, und daher folgt, weil
\[
  k_1^{(r)} + k_2^{(r)} + \dotsb + k_n^{(r)} - k_0^{(r)} = k^{(r)}
\]
ist, \emph{dass}
\[
  \int \frac{F(z)\,dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
\emph{in seiner in Einzelintegrale der verschiedenen Gattungen
aufgelösten
Form gar kein Integral erster Gattung hat, wenn $F(z)$ für keine
Wurzel von $R(z)$ unendlich wird, in seinen Discontinuitätspunkten
von der ersten Ordnung unendlich gross und zu gleicher Zeit echt gebrochen
ist.}

Für $l_\alpha^{(r)}$ bleibt genau das für $k_\alpha^{(r)}$ entwickelte,
wie man sich durch
Wiederholung der vorher gemachten Schlüsse überzeugen kann, bestehen,
nur für
\[
  l_0^{(r)}
= \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
         \int_\infty \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}} \mspace{-10 mu},
\]
worin $r = 0, 1, 2, \dotsc p-1$ zu setzen ist, folgt, da, wie früher,
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
  \int \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
= -\frac{a_0}{b_0} A^{-1} t^{\mu-\nu+r-2p}
+ \text{ fallende Potenzen von }t,
\]
\emph{dass $l_0^{(r)} = 0$ sein wird, wenn}

\[
  \mu - \nu + r - 2p < -1
\]
oder
\[
  \mu - \nu < 2p - r - 1
\]
ist, \dh
\[
\begin{array}{ll}
  \text{für } r = 0  &  \mu - \nu < 2p - 1   \\
  \text{für } r = 1  &  \mu - \nu < 2p - 2   \\
\hdotsfor[3]{2} \\
  \text{für } r = p-1  &  \mu - \nu < p
\end{array}
\]
ist, \emph{und es wird somit in der Reductionsformel des hyperelliptischen
Integrals ein Normalintegral zweiter Gattung --- wie wir jetzt die in
der Reductionsformel vorkommenden, im unendlich entfernten Punkte
von einer endlichen Ordnung unendlichen Integrale nennen
wollen --- überhaupt
nicht vorkommen, wenn $F(z)$ für keine Lösung von $R(z)$
unendlich wird, für seine Discontinuitätspunkte von der ersten Ordnung
unendlich gross und der Grad des Zählers kleiner ist als der um $p$
Einheiten
%-----File: 052.png------------------------------
vermehrte Grad des Nenners, \dh\ wenn der Grad des Zählers
den des Nenners nicht mindestens um $p$ Einheiten übersteigt.}

Betrachten wir endlich noch
\[
  f_\alpha(z)
= \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
         \int_{z_\alpha}
         \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}} \mspace{-50 mu} ,
\]
so wird die Berechnung dieser Grösse in der folgenden Weise anzustellen
sein:
\begin{gather*}
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}} = R(z_\alpha)^{-\frac{1}{2}}
+ a_1(t - z_\alpha) + \dotsb   \\
\begin{split}
  \frac{1}{t-z} &= -\frac{1}{z - z_\alpha - (t-z_\alpha)}
= -\frac{1}{z-z_\alpha} \frac{1}{1-\frac{t-z_\alpha}{z-z_\alpha}}
\\
&= -\frac{1}{z-z_\alpha} - \frac{t-z_\alpha}{(z-z_\alpha)^2} + \dotsb,
\end{split}
\end{gather*}
somit
\[
  \int_{z_\alpha} \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
= - \frac{R(z_\alpha)^{-\frac{1}{2}}}{z-z_\alpha}(t-z_\alpha) + \dotsb;
\]
da ferner
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
= R(z_\alpha)^{-\frac{1}{2}} c_{-m}(t-z_\alpha)^{-m} + \dotsb
\]
ist, so folgt
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
  \int_{z_\alpha} \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
= -\frac{R(z_\alpha)^{-1}}{z-z_\alpha}
  c_{-m}(t-z_\alpha)^{-m+1} + \dotsb ,
\]
so dass $f_\alpha(z)$ jedenfalls, da alle Entwicklungscoefficienten von
$\dfrac{1}{\sqrt{R(t)}}$,
wie man unmittelbar sieht, dieselbe Irrationalität
$R(z_\alpha)^{-\frac{1}{2}}$ enthalten,
\emph{eine rationale Function von $z$ und $z_\alpha$ wird}, und
\textit{verschwindet, wenn
$-m + 1 \geqq 0$, also $F(z)$ in $z_\alpha$ von der ersten Ordnung
unendlich
wird}. Das Letztere tritt wieder, wie man sich auf dem schon
angegebenen Wege überzeugen kann, nicht ein, wenn
$z_\alpha = \alpha_1, \alpha_2 \cdots \alpha_{2p+1}$
ist. Die Entwicklung von
\[
  f_0(z)
= \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
         \int_{\infty} \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
\]
endlich liefert
\begin{align*}
  &\frac{1}{\sqrt{R(t)}}
= A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}} + \dotsb
\\
  &\frac{1}{t-z}
= \frac{1}{t} \frac{1}{1 - \frac{z}{t}} = t^{-1}+ zt^{-2} + \dotsb
\end{align*}
und daher
\[
  \int_{\infty}\frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
= -\frac{2}{2p+1} A^{-\frac{1}{2}} t^{-\frac{2p+1}{2}} + \dotsb;
\]
%-----File: 053.png------------------------------
da aber
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
= \frac{a_0}{b_0} A^{-\frac{1}{2}} t^{\mu-\nu-\frac{2p+1}{2}}
+ \text{ fallende Potenzen von }t,
\]
so folgt
\[
  \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
  \int_\infty \frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}
= -\frac{2}{2p+1} \frac{a_0}{b_0} A^{-1} t^{\mu-\nu-2p-1}
+ \text{ fallende Potenzen von }t,
\]
und es wird daher $f_0(z)$ \emph{verschwinden, wenn}
\[
  \mu - \nu - 2p - 1 < -1
\]
oder
\[
  \mu - \nu < 2p,
\]
\emph{also der Grad des Zählers nicht mindestens den des Nenners um die
Zahl $2p$ übertrifft.}

\addtotoc{Beziehungen zwischen diesen Coefficienten in der
Reductionsformel
gewisser Integrale und den Coefficienten der um den Unendlichkeitspunkt
herum
gültigen Reihenentwicklung der Normalintegrale erster und zweiter
Gattung}
Wir erwähnen hier noch eine Beziehung, welche zwischen den
Coefficienten $k$ und $l$ der Integrale erster und zweiter Gattung in der
Reductionsformel gewisser Integrale und den Coefficienten der um
den Unendlichkeitspunkt herum gültigen Reihenentwicklung der
Normalintegrale
erster und zweiter Gattung besteht.

Sei das Integral
\[
  \int \frac{z^n dz}{\sqrt{R(z)}},
\]
in welchem
\[
\begin{split}
  R(z) &= Az(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\dotsm (z-\alpha_{2p})  \\
       &= Az^{2p+1} + B_0 z^p + B_1 z^{p-1} + \dotsb + B_{2p-1}z
\end{split}
\]
---welche Form des Polynoms offenbar die Allgemeinheit der
Untersuchung nicht beschränkt --- und
\[
  n > 2p - 1
\]
angenommen wird, in der oben angegebenen Weise in seine Normalintegrale
zu zerlegen, so wird, da $z^n$ für kein endliches $z$ unendlich
wird, das vorgelegte Integral gar kein Integral dritter Gattung
enthalten und somit nach der Reductionsformel~(7) sich in die Form
bringen lassen
\[
\begin{split}
  \int \frac{z^n dz}{\sqrt{R(z)}}
= l_n^{(0)}  \int \frac{z^{2p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
+ l_n^{(1)}  \int \frac{z^{2p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ l_n^{(p-1)}\int \frac{z^{ p  } dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
+ k_n^{(p)}   \int \frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
+ k_n^{(p+1)} \int \frac{z^{p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ k_n^{(2p-1)}\int \frac{        dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
+ f_n(z)\sqrt{R(z)},
\end{split}
\]
worin für $r = 0, 1, 2, \dotsc p-1$
\[
  l_n^{(r)}
= -\left[ \frac{t^{n}}{\sqrt{R(t)}}
          \int_\infty \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}} \mspace{-5 mu} ,
\]
%-----File: 054.png------------------------------
für $r=p,\,p+1,\dotsc 2p-1$
\[k_n^{(r)} =-\left[\frac{t^n}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty}
\frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}\right]_{t^{-1}}
\mspace{-10 mu},
\]
und endlich
\[f_n(z) =-\left[\frac{t^n}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty}
\frac{dt}{(t-z)\sqrt{R(t)}}\right]_{t^{-1}}
\]
ist, wenn
\begin{gather*}
F_r(t)
= \frac{2p-2r-1}{2}A      t^r
+ \frac{2p-2r  }{2}B_0    t^{r-1}
+ \frac{2p-2r+1}{2}B_1    t^{r-2} + \dotsb
\\ {}
+ \frac{2p- r-2}{2}B_{r-2}t
+ \frac{2p- r-1}{2}B_{r-1}
\end{gather*}
gesetzt wird.

Indem wir uns zuerst mit der Grösse $l_n^{(r)}$ beschäftigen, setzen
wir
\[
l_n^{(r)}=-\left[\frac{1}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty}
\frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}\right]_{t^{-n-1}}
\]
und schliessen aus dieser Form, dass die Entwicklung des Ausdrucks
\[
-\frac{1}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty} \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
\]
nach fallenden Potenzen von $t$, da $n > 2p-1$ angenommen wurde,
als Coefficienten der Potenzen
\[
t^{-2p-1},\quad t^{-2p-2},\quad\ldots
\]
die Grössen
\[
l_{2p}^{(r)},\quad l_{2p+1}^{(r)}, \quad\ldots
\]
liefert.

Da nun aus den Entwicklungen
\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{R(t)}} &=A^{-\frac{1}{2}}t^{-p-\frac{1}{2}} + \dotsb \\
  F_r(t) &=\frac{2p-2r-1}{2} At^{r} + \dotsb \\
\intertext{unmittelbar}
 \int_{\infty}\frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
&=-A^{\frac{1}{2}} t^{r-p+\frac{1}{2}} +\dotsb
\end{align*}
und daher
\[
 -\frac{1}{\sqrt{R(t)}}\int_{\infty} \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
= t^{r-2p} + \dotsb
\]
folgt, so ist leicht zu sehen, dass
\begin{gather*}
\int_{\infty}\frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
=-\left(t^{r-2p} + m_1 t^{r-2p-1} + \dotsb + m_{r-1} t^{-2p}\right)
\sqrt{R(t)}
\\ {}
-\sqrt{R(t)} \sum_{\nu=0}^{\infty} l_{2p+\nu}^{(r)} t^{-2p-\nu-1},
\end{gather*}
%-----File: 055.png------------------------------
worin das auf der linken Seite der Gleichung befindliche Integral,
weil $r = 0, 1, 2, \cdots p-1$, ein Integral erster Gattung ist, und
die Grössen
\[
m_1,\ m_2,\ \cdots\ m_{r-1}
\]
rational aus den Constanten von $R(z)$ zusammengesetzte Ausdrücke
bedeuten; hiermit wäre \emph{die Beziehung zwischen den Coefficienten $l$
der
Integrale zweiter Gattung in der Reductionsformel des mit $n$ variirenden
Integrales
\[
\int \frac{z^n\, dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
und den Coefficienten der um den unendlich entfernten Punkt gültigen
Reihenentwicklung gewisser Integrale erster Gattung gefunden.}

Setzen wir ferner die Grösse $k_n^{(r)}$ in die Form
\[
  k_n^{(r)}
= -\left[ \frac{1}{\sqrt{R(t)}}
          \int_\infty \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
   \right]_{t^{-n-1}} \mspace{-50 mu}\quad ,
\]
so wird sich genau ebenso, wenn
\[
r = p,\ p+1,\ \cdots\ 2p-1
\]
gesetzt wird,
\begin{gather*}
\int_\infty \frac{F_r(t)\,dt}{\sqrt{R(t)}}
=-(n_0t^{r-2p} + n_1t^{r-2p-2} + \dotsb + n_{r-1}t^{-2p})\sqrt{R(t)} \\
{}-\sqrt{R(t)} \sum_{\nu=0}^\infty k_{2p+\nu}^{(r)} t^{-2p-\nu-1}
\end{gather*}
ergeben, worin wegen $r = p, p+1, \cdots 2p-1$ das Integral auf
der linken Seite der Gleichung ein Integral zweiter Gattung ist, und
es wird damit \emph{die analoge Beziehung zwischen den Coefficienten $k$
der
Integrale erster Gattung in der Reductionsformel der mit $n$ variirenden
Integrale
\[
\int \frac{z^n\, dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
und den Coefficienten der um den unendlich entfernten Punkt gültigen
Reihenentwicklung gewisser Integrale zweiter Gattung gefunden sein.}

Es mag hier endlich noch einer Normalform der Irrationalität
der hyperelliptischen Integrale Erwähnung geschehen, die häufig
gebraucht und durch die Substitution
\[
  \DPtypo{\xi}{\zeta} = \frac{z-\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2}
\]
erhalten wird, aus welcher
\[
  z = \zeta(\alpha_1-\alpha_2) + \alpha_2,
\]
also
%-----File: 056.png------------------------------
\[
\begin{array}{rcl}
  z - \alpha_1 &=& (\alpha_1 - \alpha_2) \left( \zeta - 1 \right)
\\
  z - \alpha_2 &=& (\alpha_1 - \alpha_2) \ \zeta
\\
  z - \alpha_3
&=& (\alpha_1 - \alpha_2)
  \left( \zeta - \dfrac{\alpha_3-\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2} \right)
\\
  z - \alpha_4
&=& (\alpha_1 - \alpha_2)
  \left( \zeta - \dfrac{\alpha_4-\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2} \right)
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
  z - \alpha_{2p+1}
&=& (\alpha_1 - \alpha_2)
  \left( \zeta - \dfrac{\alpha_{2p+1}-\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2}
  \right)
\end{array}
\]
folgt; setzt man
\[
\begin{array}{c}
  \varkappa_1^2 = \dfrac{\alpha_1-\alpha_2}{\alpha_3-\alpha_2} \\
  \varkappa_2^2 = \dfrac{\alpha_1-\alpha_2}{\alpha_4-\alpha_2} \\
\hdotsfor[3]{1}\\
  \varkappa_{2p-1}^2 = \dfrac{\alpha_1-\alpha_2}{\alpha_{2p+1}-\alpha_2},
\end{array}
\]
so ergiebt sich unmittelbar
\footnotesize
\begin{gather*}
  \sqrt{R(z)} \\
= (\alpha_1-\alpha_2)
  \sqrt{A(\alpha_3-\alpha_2) (\alpha_4-\alpha_2)
        \dotsm (\alpha_{2p+1}-\alpha_2)}
  \sqrt{\zeta (1-\zeta) (1-\varkappa_1^2\zeta)
        (1-\varkappa_2^2\zeta) \dotsm (1-\varkappa_{2p-1}^2\zeta)},
\end{gather*}
\normalsize%
und es ist daher jedes hyperelliptische Integral in der Form darstellbar
\[
  \int F\left( \zeta, \sqrt{\zeta (1-\zeta) (1-\varkappa_1^2\zeta)
                            (1-\varkappa_2^2\zeta) \dotsm
                            (1-\varkappa_{2p-1}^2\zeta)}
        \right) d\zeta.
\]
\eoc
%-----File: 057.png------------------------------


\Chapter[Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln etc.]
{Fünfte Vorlesung.}
{Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln
der zu derselben Irrationalität gehörigen hyperelliptischen Integrale.}

\addtotoc{Periodenbeziehung zweier hyperelliptischer Integrale}

Nachdem am Schlusse der dritten Vorlesung die Periodicitätsmoduln
eines allgemeinen hyperelliptischen Integrales aufgestellt worden, gehen
wir nunmehr dazu über, die Beziehungen zwischen den Perioden
zweier beliebigen, aber zu derselben Irrationalität gehörigen
hyperelliptischen Integrale herzuleiten, und betrachten zu diesem Zwecke
ein Integral
\[
  J(z, z_\alpha),
\]
welches auf festbestimmten Blättern in den Punkten
\[
  \mathfrak{z}_1,\ \mathfrak{z}_2,\ \cdots\ \mathfrak{z}_{\mu},\ z_1,\
  z_2,\ \cdots\ z_m,\
  \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots\ \alpha_{2p+1},\ \infty
\]
unendlich werden soll, wie die Functionen
\[
\begin{array}{rcccccl}
  \mathfrak{A}_1 \log(z-\mathfrak{z}_1)
&+& \mathfrak{B}_1 (z-\mathfrak{z}_1)^{-1}
&+& \mathfrak{C}_1 (z-\mathfrak{z}_1)^{-2} &+ \dotsb
+& \mathfrak{K}_1 (z-\mathfrak{z}_1)^{-\mathfrak{k}_1},
\\  \hdotsfor[3]{7} \\
  \mathfrak{A}_{\mu} \log(z-\mathfrak{z}_{\mu})
&+& \mathfrak{B}_{\mu} (z-\mathfrak{z}_{\mu})^{-1}
&+& \mathfrak{C}_{\mu} (z-\mathfrak{z}_{\mu})^{-2} &+ \dotsb
+& \mathfrak{K}_{\mu} (z-\mathfrak{z}_{\mu})^{-\mathfrak{k}_{\mu}},
\\
  A_1 \log(z-z_1)
&+& B_1 (z-z_1)^{-1}
&+& C_1 (z-z_1)^{-2} &+ \dotsb
+& K_1 (z-z_1)^{-k_1},
\\  \hdotsfor[3]{7} \\
  A_m \log(z-z_m)
&+& B_m (z-z_m)^{-1}
&+& C_m (z-z_m)^{-2} &+ \dotsb
+& K_m (z-z_m)^{-k_m},
\\
  a_1 \log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
&+& b_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}}
&+& c_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{2}{2}} &+ \dotsb
+& h_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda_1}{2}},
\\  \hdotsfor[3]{7} \\
\multispan{7}{$  a_{2p+1} \log(z-\alpha_{2p+1})^{\frac{1}{2}}
+ b_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{1}{2}}
+ c_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{2}{2}} + \dotsb$\hfil}
\\
&\multispan{6}{$+ h_{2p+1}
(z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{\lambda_{2p+1}}{2}},$\hfil}
\\
\multispan{7}{$  M_0 \log z^{\frac{1}{2}} + M_1 z^{\frac{1}{2}} + M_2
z^{\frac{2}{2}} + \dotsb
+ M_\delta z^{\frac{\delta}{2}},$\hfil}
\end{array}
\]
und ein Integral
\[
  J(z, \zeta_\alpha),
\]
welches in den Punkten
\[
  \mathfrak{z}_1,\ \mathfrak{z}_2,\ \cdots\ \mathfrak{z}_{\mu},\ \zeta_1,\
  \zeta_2,\ \cdots\ \zeta_n,\
  \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots\ \alpha_{2p+1},\ \infty
\]
unendlich werden soll wie die Functionen
%-----File: 058.png------------------------------
\[
\begin{array}{rcccccl}
  \mathfrak{A'_1} \log(z-\mathfrak{z_1})
&+& \mathfrak{B'_1} (z-\mathfrak{z_1})^{-1}
&+& \mathfrak{C'_1} (z-\mathfrak{z_1})^{-2} &+ \dotsb
+& \mathfrak{K'_1} (z-\mathfrak{z_1})^{-\mathfrak{k'_1}} ,
\\
\hdotsfor[3]{7}
\\
  \mathfrak{A'_\mu} \log(z-\mathfrak{z_\mu})
&+& \mathfrak{B'_\mu} (z-\mathfrak{z_\mu})^{-1}
&+& \mathfrak{C'_\mu} (z-\mathfrak{z_\mu})^{-2} &+ \dotsb
+& \mathfrak{K'_\mu} (z-\mathfrak{z_\mu})^{-\mathfrak{k'_\mu}} ,
\\
  A'_1 \log(z-\zeta_1)
&+& B'_1 (z-\zeta_1)^{-1}
&+& C'_1 (z-\zeta_1)^{-2} &+ \dotsb
+& K'_1 (z-\zeta_1)^{-k'_1} ,
\\
\hdotsfor[3]{7}
\\
  A'_n \log(z-\zeta_n)
&+& B'_n (z-\zeta_n)^{-1}
&+& C'_n (z-\zeta_n)^{-2} &+ \dotsb
+& K'_n (z-\zeta_n)^{-k'_n} ,
\\
  a'_1 \log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
&+& b'_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}}
&+& c'_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{2}{2}} &+ \dotsb
+& h'_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda'_1}{2}} ,
\\
\hdotsfor[3]{7}
\\
\multispan{7}{
$  a'_{2p+1} \log(z-\alpha_{2p+1})^{\frac{1}{2}}
+ b'_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{1}{2}}
+ c'_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{2}{2}} + \dotsb $\hfil}
\\
&\multispan{6}{$
+ h'_{2p+1} (z-\alpha_{2p+1})^{-\frac{\lambda'_{2p+1}}{2}} ,$\hfil}
\\
\multispan{7}{$
  M'_0 \log z^{\frac{1}{2}} + M'_1 z^{\frac{1}{2}}
+ M'_2 z^{\frac{2}{2}} + \dotsb + M'_\delta z^{\frac{\delta'}{2}},$\hfil}
\end{array}
\]
wobei selbstverständlich der Bedingung gemäss, dass jene Functionen
hyperelliptische Integrale sind, die Beziehungen bestehen
\begin{align*}
  \mathfrak{A_1} + \dotsb + \mathfrak{A_\mu}
+ A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb + a_{2p+1} - M_0 = 0
\\
  \mathfrak{A'_1} + \dotsb + \mathfrak{A'_\mu}
+ A'_1 + \dotsb + A'_n + a'_1 + \dotsb + a'_{2p+1} - M'_0 = 0,
\end{align*}
und in der Annahme der Unstetigkeitsfunctionen die allgemeinste
Voraussetzung enthalten ist, dass die beiden Integrale eine Anzahl
gemeinsamer Unstetigkeitsstellen, die zugleich auf demselben Blatte
liegen sollen, besitzen.

Legen wir nunmehr der weiteren Betrachtung die Function
\[
  J(z, z_\alpha) \frac{dJ(z, \zeta_\alpha)}{dz}
\]
zu Grunde, welche nach Früherem auf der durch die Querschnitte
\[
  a_1, a_2, \dotsc a_p, b_1, b_2, \dotsc b_p, c_1, c_2, \dotsc c_{p-1}
\]
zerlegten \so{Riemann}'schen Fläche $F'$ von $\sqrt{R(z)}$, deren
Verzweigungspunkte
\[
  \alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}, \infty
\]
sein sollten, eindeutig ist, und untersuchen das Integral
\[
  \int J(z, z_\alpha)\ dJ(z, \zeta)
\]
über die gesammte Begränzung der einfach zusammenhängenden Fläche
ausgedehnt, welche aus $F'$ durch neue
\[
  \mu + m + n + 2p + 2
\]
Querschnitte entsteht, welche jeden der die Punkte
\[
  \mathfrak{z_1, z_2, \dotsc z_\mu}, z_1, z_2, \dotsc z_m,
  \zeta_1, \zeta_2, \dotsc \zeta_n
\]
umschliessenden unendlich kleinen einfachen Kreise und jeden der
die Punkte
\[
  \alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}, \infty
\]
umgebenden unendlich kleinen Doppelkreise mit demselben Punkte
%-----File: 059.png------------------------------
der früher erhaltenen Begränzung verbinden, \zB\ mit dem Punkte $A$,
von
dem aus man sich die gesammte Begränzung durchlaufen denken will.

Mag zuerst die Integration nach den den beiden Functionen gemeinsamen
Unstetigkeitspunkten
\[
\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2,\cdots \mathfrak{z}_{\mu}
\]
hin ausgeführt werden, so wird, wenn die Entwicklung von $J(z, z_\alpha)$
in der Umgebung von~$\mathfrak{z}_{\varrho}$
\begin{gather*}
  \mathfrak{A}_{\varrho}\log(z-\mathfrak{z}_{\varrho})
+ \mathfrak{B}_{\varrho}    (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-1} + \dotsb
+ \mathfrak{K}_{\varrho}
(z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-\mathfrak{k}_\varrho}
+ m_0^{(\varrho)} + m_1^{(\varrho)}(z-\mathfrak{z}_{\varrho}) + \dotsb
\\
+ m_{\mathfrak{k}_{\varrho}'}^{(\varrho)}
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\mathfrak{k}_{\varrho}'} + \dotsb,
\end{gather*}
die von $J(z,\zeta_\alpha)$
\begin{gather*}
  \mathfrak{A}'_{\varrho}\log(z-\mathfrak{z}_{\varrho})
+ \mathfrak{B}'_{\varrho}    (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-1} + \dotsb
+ \mathfrak{K}'_{\varrho}
(z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-\mathfrak{k}_{\varrho}'}
+ n_0^{(\varrho)} + n_1^{(\varrho)}(z-\mathfrak{z}_{\varrho}) + \dotsb
\\
+ n_{\mathfrak{k}_{\varrho}}^{(\varrho)}
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\mathfrak{k}_{\varrho}} + \dotsb
\end{gather*}
also die von
\[ \frac{dJ(z,\zeta_{\alpha})}{dz}
\]
folgendermassen lautet:
\begin{gather*}
  \mathfrak{A}'_{\varrho} (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-1}
- \mathfrak{B}'_{\varrho} (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-2} - \dotsb
- \mathfrak{k}_{\varrho}' \mathfrak{K}'_{\varrho}
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-\mathfrak{k}_{\varrho}'-1}
+ n_1^{(\varrho)} + 2n_2^{(\varrho)} (z-\mathfrak{z}_{\varrho}) + \dotsb
\\
+ \mathfrak{k}_{\varrho} n_{\mathfrak{k}_{\varrho}}^{(\varrho)}
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\mathfrak{k}_{\varrho}-1} + \dotsb ,
\end{gather*}
zuerst der Werth des um den Punkt $\mathfrak{z}_{\varrho}$ in einem
unendlich kleinen
Kreise genommen Integrales
\[ \int_{(\mathfrak{z}_{\varrho})} J(z, z_{\alpha})dJ(z, \zeta_{\alpha})
\]
zu ermitteln sein, welches sich aus Einzelintegralen der Form
\[
  \int_{(\mathfrak{z}_{\varrho})} \log(z-\mathfrak{z}_{\varrho})
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\sigma} dz, \;
  \int_{(\mathfrak{z}_{\varrho})} (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{-1} dz,\;
  \int_{(\mathfrak{z}_{\varrho})} (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\tau} dz
\]
zusammensetzt, worin $\sigma$ und $\tau$ positive oder negative ganze
Zahlen
bedeuten; nun ist aber, wenn
\[ z-\mathfrak{z}_{\varrho}=r e^{i\varphi}
\]
gesetzt wird,
\[
  \int_{(\mathfrak{z}_{\varrho})} \log(z-\mathfrak{z}_{\varrho})
  (z-\mathfrak{z}_{\varrho})^{\sigma}dz
= ir^{\sigma+1}\log r \int_0^{2\pi} e^{(\sigma+1)i\varphi} \,d\varphi
-  r^{\sigma+1}       \int_0^{2\pi} e^{(\sigma+1)i\varphi} \varphi\,
d\varphi,
\]
und somit für unendlich kleine $r$, wie
aus dem Gränzwerthe von
$r^{\sigma+1}\log(r)$ folgt,
\begin{verse}
  wenn $\sigma \geqq  0$, der Werth des Integrales Null, \\
  wenn $\sigma \leqq -1$, der Werth des Integrales unendlich,
\end{verse}
%-----File: 060.png------------------------------
ferner
\[
  \int_{(\mathfrak{z}_\varrho)} (z-\mathfrak{z}_\varrho)^{-1}dz =2\pi i
\]
und
\[
  \int_{(\mathfrak{z}_\varrho)} (z-\mathfrak{z}_\varrho)^\tau dz =
  0 \quad
  \text{für positive und negative $\tau$,}
\]
woraus folgt, \emph{dass von vornherein der Fall, in welchem
$\sigma \leqq -1$ ist,
ausgeschlossen, \dh\ dass entweder}
\[
  \mathfrak{A}_\varrho' = \mathfrak{B}_\varrho' = \dotso
= \mathfrak{K}_\varrho'= 0,
\]
\emph{oder}
\[
  \mathfrak{A}_\varrho = 0
\]
\emph{sein muss, oder dass, weil der Voraussetzung nach
$J(z, \zeta_\alpha)$ in $\mathfrak{z}_\varrho$ unendlich
werden sollte, nur die zweite Annahme statthaben, \dh\
$J(z, z_\alpha)$ in $\mathfrak{z}_\varrho$ nur algebraisch unendlich
werden darf}.\footnote
  {Wenigstens sollen die andern Fälle sowie die nachher anzuführenden
  analogen für die Verzweigungspunkte von der weiteren Betrachtung
  ausgeschlossen sein.}

Somit ergiebt sich als Werth des um $\mathfrak{z}_\varrho$ genommenen
Kreisintegrales, wie aus der oben aufgestellten Form der Entwicklung
hervorgeht,
\[
  2\pi i\left[
     n_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}_\varrho
  + 2n_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho + \dotsb
  + \mathfrak{k}_\varrho n_{\mathfrak{k}_\varrho}^{(\varrho)}
    \mathfrak{K}_\varrho
%
  +  m_0^{(\varrho)} \mathfrak{A}_\varrho'
  -  m_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}_\varrho'
  - 2m_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho' - \dotsb
  - \mathfrak{k}_\varrho' m_{\mathfrak{k}_\varrho'}^{(\varrho)}
    \mathfrak{K}_\varrho'
  \right],
\]
und wenn man beachtet, dass $J(z, z_\alpha)$ bei der Umkreisung von
$\mathfrak{z}_\varrho$
wegen $\mathfrak{A}_\varrho = 0$ ebensowenig seinen Werth ändert wie
die in $\mathfrak{z}_\varrho$ nur
algebraisch unendlich werdende Function
$\frac{dJ(z, \zeta_\alpha)}{dz}$, so werden die
Integrationen längs den beiden Seiten der Verbindungslinien dieser
Kreise mit jenem Ausgangspunkte der Bewegung, weil in verschiedener
Richtung ausgeführt, sich wegheben, und somit jene $\mu$ Punkte
$\mathfrak{z}$ zur Gesammtintegration den Werth liefern
\begin{multline*}%[** TN: Not broken in original]
\tag{1}
\qquad
  2\pi i \sum_{\varrho=1}^\mu \left[
     n_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}_\varrho
  + 2n_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho + \dotsb
  + \mathfrak{k}_\varrho n_{\mathfrak{k}_\varrho}^{(\varrho)}
    \mathfrak{K}_\varrho \right.
\\
  \left.
  +  m_0^{(\varrho)} \mathfrak{A}_\varrho'
  -  m_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}_\varrho'
  - 2m_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho' - \dotsb
  - \mathfrak{k}_\varrho' m_{\mathfrak{k}_\varrho'}^{(\varrho)}
    \mathfrak{K}_\varrho'
  \right],
\qquad
\end{multline*}
während man am Schlusse dieses Theiles der Integration zum Anfangspunkte
mit unverändertem Werthe der Function unter dem Integral zurückkehrt.

Durchläuft man jetzt die Verbindungslinien nach den $\zeta$-Punkten
und die diese Punkte umschliessenden unendlich kleinen Kreislinien,
so wird, wenn die Entwicklung von $J(z, z_\alpha)$ in der Umgebung von
$\zeta_\varrho$ sich in der Form darstellt
\[
  J(z, z_\alpha)
= p_0^{(\varrho)}
+ p_1^{(\varrho)} (z-\zeta_\varrho)
+ p_2^{(\varrho)} (z-\zeta_\varrho)^2
+ \dotsb
+ p_{k_\varrho'}^{(\varrho)} (z-\zeta_\varrho)^{k_\varrho'}
+ \dotsb,
\]
vermöge des aus der oben angegebenen Form der Unstetigkeitsfunction
sich ergebenden Ausdruckes
%-----File: 061.png------------------------------
\[%[** TN: Broken at "=" in original]
  \frac{dJ(z, \zeta_\alpha)}{dz}
= A_\varrho'(z-\zeta_\varrho)^{-1}
- B_\varrho'(z-\zeta_\varrho)^{-2}
-2C_\varrho'(z-\zeta_\varrho)^{-3} - \dotsb
- k_\varrho'K_\varrho'(z-\zeta_\varrho)^{-k_\varrho'-1} + \dotsb,
\]
wie unmittelbar ersichtlich, das um $\zeta_\varrho$ genommene Integral
durch
den Werth gegeben sein
\[
  2\pi i\left[ p_0^{(\varrho)} A_\varrho'
              - p_1^{(\varrho)} B_\varrho'
              -2p_2^{(\varrho)} C_\varrho' - \dotsb
              - k_\varrho'p_{k_\varrho'}^{(\varrho)} K_\varrho'
         \right];
\]
da aber ferner bei der Umkreisung von $\zeta_\varrho$ das Integral $J(z,
z_\alpha)$, weil
es in diesem Punkte endlich bleibt, ebensowenig seinen Werth ändert
als die algebraisch unendlich werdende Grösse
$\dfrac{dJ(z, \zeta_\alpha)}{dz}$, so werden
wieder die längs der Verbindungslinie ausgeführten Integrationen
sich aufheben, und das Gesammtresultat der die Punkte $\zeta$
betreffenden
Integrationen sich in der Form darstellen
\[
\tag{2}
  2\pi i\sum_{\varrho=1}^n
  \left[ p_0^{(\varrho)} A_\varrho'
       - p_1^{(\varrho)} B_\varrho'
       -2p_2^{(\varrho)} C_\varrho' - \dotsb
       - k_\varrho'p_{k_\varrho'}^{(\varrho)} K_\varrho'
  \right].
\]

Gehen wir nunmehr zu den Punkten $z_1, \cdots z_m$ über, so ist klar,
dass die um $z_\varrho$ ausgeführte Integration
\[
  \int_{(z_\varrho)} J(z, z_\alpha)\,dJ(z, \zeta_\alpha),
\]
da in der Umgebung von $z_\varrho$
\[
  J(z, z_\alpha)
= A_\varrho\log(z-z_\varrho)
+ B_\varrho(z-z_\varrho)^{-1} + \dotsb
+ K_\varrho(z-z_\varrho)^{-k_\varrho} + \dotsb,
\]
und
\begin{align*}
  J(z, \zeta_\alpha)
= \pi_0^{(\varrho)}
&+ \pi_1^{(\varrho)}(z-z_\varrho)
+ \pi_2^{(\varrho)}(z-z_\varrho)^2 + \dotsb
\\
&+ \pi_{k_\varrho}^{(\varrho)}(z-z_\varrho)^{k_\varrho} + \dotsb
\end{align*}
also
\[
  \frac{dJ(z, \zeta_\alpha)}{dz}
= \pi_1^{(\varrho)} + 2\pi_2^{(\varrho)}(z-z_\varrho) + \dotsb
+ k_\varrho \pi_{k_\varrho}^{(\varrho)}(z-z_\varrho)^{k_\varrho-1}
+ \dotsb
\]
ist, nur abhängen wird von Integralen der Form
\[
  \int_{(z_\varrho)} \log(z-z_\varrho)(z-z_\varrho)^m dz,  \quad
  \int_{(z_\varrho)} (z-z_\varrho)^{-1} dz,            \quad
  \int_{(z_\varrho)} (z-z_\varrho)^n dz,
\]
in denen $m \geqq 0$ und $n$ eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Da nun,
wie vorher gezeigt worden, das erste dieser Integrale verschwindet,
das zweite den Werth $2\pi i$ hat, während das dritte Null ist, so
folgt, dass
\[
  \int_{(z_\varrho)} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
= 2\pi i\left[ \pi_1^{(\varrho)} B_\varrho
             +2\pi_2^{(\varrho)} C_\varrho + \dotsb
             + k_\varrho \pi_{k_\varrho}^{(\varrho)} K_\varrho
        \right]
\]
wird. Da ferner bei einer Umkreisung von $z_\varrho$ die Function $J(z,
z_\alpha)$
%-----File: 062.png------------------------------
vermöge ihres logarithmischen Gliedes um $2\pi iA_\varrho$ zunimmt,
während
$dJ(z, \zeta_\alpha)$ seinen Anfangswerth wieder erreicht, so werden
die beiden
längs der Verbindungslinie des Querschnittsystems mit der Kreisperipherie
von $z_\varrho$, auf beiden Seiten derselben, auszuführenden
Integrationen den Werth liefern
\[
  \int_A^{z_\varrho}
  \bigl( J^{-}(z, z_\alpha) - J^{+}(z, z_\alpha) \bigr)
  \,dJ(z, \zeta_\alpha)
= -2\pi i A_\varrho
  \int_A^{z_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha),
\]
worin $A$ den Ausgangspunkt der Integration bedeutet, und die Bezeichnungen
nach früheren Definitionen und mit Rücksicht auf die
dortige Figur gewählt sind; um nun zu dem folgenden Punkte $z_{\varrho+1}$
überzugehen, ist das Integral
\[
  \int_{(z_{\varrho+1})}
  \bigl( J(z, z_\alpha) + 2\pi i A_\varrho \bigr)
  \,dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
auszuführen, welches, da die unter dem Integral zu $J(z, z_\alpha)$
hinzugefügte additive Grösse für das Kreisintegral keine Veränderung
hervorbringt, einen dem oben angegebenen analogen Ausdruck liefert,
während das Resultat der beiden von $A$ nach $z_{\varrho+1}$ in
entgegengesetzter Richtung genommenen Integrationen durch
\begin{gather*}
  \int_A^{z_{\varrho+1}}
  \Bigl[ \bigl( J^{-}(z, z_\alpha) + 2\pi iA_\varrho \bigr)
      - \bigl( J^{+}(z, z_\alpha) + 2\pi iA_\varrho \bigr)
  \Bigr]\ dJ(z, \zeta_\alpha)
\\
= -2\pi i A_{\varrho+1} \int_A^{z_{\varrho+1}} dJ(z, \zeta_\alpha)
\end{gather*}
dargestellt wird. Fasst man, indem man so weiter geht, alle diese
Theilintegrationen zusammen, so liefert der Complex der Punkte
$z_1, z_2, \dotsc z_m$ das Resultat
\[
\tag{3}
  2\pi i\sum_{\varrho=1}^m
  \left\{ \left[ \pi_1^{(\varrho)} B_\varrho
               +2\pi_2^{(\varrho)} C_\varrho + \dotsb
               + k_\varrho \pi_{k_\varrho}^{(\varrho)} K_\varrho
          \right]
        - A_\varrho \int_A^{z_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha)
  \right\},
\]
und es bleibt nur noch vom Punkte $A$ aus die Integration
\[
  \int\Big[ J(z, z_\alpha) + 2\pi i(A_1 + A_2 + \dotsb + A_m)
      \Big] dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
über die von den Verzweigungspunkten und dem unendlich entfernten
Punkte herrührenden Theile auszuführen.

Geht man zuerst wieder von $A$ aus zu dem Verzweigungspunkte
$\alpha_1$ und umkreist diesen, so ist vor Allem zu sehen, dass es sich
um
die Ermittlung der beiden längs dem unendlich kleinen Doppelkreise
genommenen Integrale
\[
\int_{(\alpha_1)} J(z, z_\alpha)\, dJ(z, \zeta_\alpha)
\quad\text{und}\quad
2\pi i(A_1 + A_2 + \dotsb + A_m)
  \int_{(\alpha_1)} dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
%-----File: 063.png------------------------------
handelt, von denen das zweite wegen der in der Nähe des
Verzweigungspunktes gültigen Entwicklung
\[
  dJ(z, \zeta_\alpha)
= \tfrac{1}{2}a_1'(z-\alpha_1)^{-1}
- \tfrac{1}{2}b_1'(z-\alpha_1)^{-\frac{3}{2}}
- \tfrac{2}{2}c_1'(z-\alpha_1)^{-\frac{4}{2}} - \dotsb
\]
den Werth
\[
  -(2\pi)^2a_1'(A_1 + A_2 + \dotsb + A_m)
\]
annimmt, und längs der Verbindungslinie mit dem Doppelpunkte
sich aufhebende Integrale liefert, weil $dJ(z, \zeta_\alpha)$ sich bei
der
Umkreisung des Verzweigungspunktes nicht ändert. Was nun das erste
der beiden obigen Integrale angeht, so lautet vermöge der angenommenen
Unstetigkeitsfunctionen die Entwicklung der beiden
Factoren in der Umgebung des Verzweigungspunktes
\begin{gather*}
  J(z, z_\alpha)
= a_1 \log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
+ b_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}}
+ c_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{2}{2}} + \dotsb
\\ {}
+ h_1 (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda_1}{2}}
+ \mu_0^{(1)} + \mu_1^{(1)} (z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}} + \dotsb
+ \mu_{\lambda_1'}^{(1)} (z-\alpha_1)^{\frac{\lambda_1'}{2}} \dotsb,
\end{gather*}
und wenn
\begin{gather*}
  J(z, \zeta_\alpha)
= a_1' \log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
+ b_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}}
+ c_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{2}{2}} + \dotsb
\\ {}
+ h_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda_1'}{2}}
+ \nu_0^{(1)} + \nu_1^{(1)} (z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
+ \nu_2^{(1)} (z-\alpha_1)^{\frac{2}{2}} + \dotsb
+ \nu_{\lambda_1}^{(1)} (z-\alpha_1)^{\frac{\lambda_1}{2}} + \dotsb
\end{gather*}
gesetzt wird,
\begin{gather*}
  dJ(z, \zeta_\alpha)
= \tfrac{1}{2}a_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{2}{2}}
- \tfrac{1}{2}b_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{3}{2}}
- \tfrac{2}{2}c_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{4}{2}} - \dotsb
\\
- \tfrac{\lambda_1'}{2}h_1' (z-\alpha_1)^{-\frac{\lambda_1'-2}{2}}
+ \tfrac{1}{2}\nu_1^{(1)} (z-\alpha_1)^{-\frac{1}{2}}
+ \nu_2^{(1)} + \dotsb
+ \tfrac{\lambda_1}{2}\nu_{\lambda_1}^{(1)}
  (z-\alpha_1)^{\frac{\lambda_1-2}{2}} + \dotsb,
\end{gather*}
und es wird somit das um $\alpha_1$ genommene Integral aus den drei
verschiedenen Integralformen zusammengesetzt sein
\[
  \int_{(\alpha_1)} \log(z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}}
  (z-\alpha_1)^{\frac{\sigma}{2}} dz,
\quad
  \int_{(\alpha_1)}
  (z-\alpha_1)^{\frac{\tau}{2}} dz,
\quad
  \int_{(\alpha_1)}
  (z-\alpha_1)^{-1} dz,
\]
worin $\sigma$ und $\tau$ positive oder negative ganze Zahlen
bedeuten. Setzt
man in das erste dieser Integrale
\[
  (z-\alpha_1)^{\frac{1}{2}} = \zeta,
\]
so geht dieses über in
\[
  2\int_{(0)} \log \zeta · \zeta^{\sigma+1} d\zeta,
\]
welches nach Früherem, wenn $\sigma + 1 \geqq 0$ oder
$\sigma \geqq -1$, verschwindet,
während es, wenn $\sigma + 1 \leqq -1$ oder $\sigma \leqq -2$ ist,
unendlich gross
wird; der Werth des zweiten Integrales geht durch dieselbe Substitution
in
\[
  \int_{(0)} \zeta^{\tau+1} d\zeta = 0
\]
über, während das dritte den Werth $4\pi i$ annimmt; es folgt daraus,
%-----File: 064.png------------------------------
\emph{dass von vornherein} --- wie oben --- \emph{der Fall, in welchem
$\sigma \leqq -2$
ausgeschlossen werden muss, dass also entweder $J(z, \zeta_{\alpha})$
garnicht
in  $\alpha_1$ unendlich werden, oder dass $J(z, \zeta_{\alpha})$ in
diesem Punkte nur
algebraisch unendlich werden kann}. Somit ergiebt sich als Werth des
obigen um $\alpha_1$ genommenen Kreisintegrales
\[
 2\pi i\left[ b_{1}\nu_{1}^{(1)} + 2c_1\nu_{2}^{(1)} + \dotsb
+ \lambda_{1}h_{1} \nu_{\lambda_{1}}^{(1)}
+ a_1'\mu_{0}^{(1)} - b_1'\mu_{1}^{(1)} - 2c_{1}'\mu_{2}^{(1)} - \dotsb -
\lambda_{1}'h_{1}' \mu_{\lambda_1'}^{(1)} \right],
\]
wobei zu bemerken, dass, wenn  $a_1$ von Null verschieden,
\[
  a_1' = b_1' = \dots = h_1' = 0
\]
zu nehmen ist.

Bei der Umkreisung von $\alpha_1$ wird sich der Werth von
$J(z, z_{\alpha})$
nur dann geändert haben, wenn $J(z, z_{\alpha})$ in $\alpha_1$,
logarithmisch unendlich wird, also $J(z, \zeta_{\alpha})$, wie gezeigt
worden, in diesem Punkte
endlich ist, und zwar um $ 2\pi i a_1$, und von den beiden Ausdrücken
\[
  -(2\pi)^2 a_1'(A_1 + A_2 + \dotsb + A_m) \text{ und } 2\pi i a_1
\]
existirt also immer nur der eine, während der andere verschwindet;
die längs der Verbindungslinie von $A$ mit dem Verzweigungspunkte
$\alpha_1$ auszuführenden Integrationen werden sich aufheben, wenn der
zweite Ausdruck Null ist, wenn dagegen der erste Ausdruck verschwindet,
so wird
der Werth derselben durch
\[
  -2\pi i a_1 \int_A^{\alpha_1} dJ(z, \zeta_{\alpha})
\]
dargestellt sein, und dieses Integral einen endlichen bestimmten Werth
haben, da $J(z, \zeta_{\alpha})$ in diesem Falle in  $\alpha_1$ endlich
sein muss. Geht
man sodann zu  $\alpha_2$ über, so dass
\[
  \int [ J(z, z_{\alpha})
       + 2\pi i(A_1 + A_2 +\dotsb + A_m + a_1)] dJ(z,\zeta_{\alpha})
\]
auszuführen ist, indem nur für den zweiten Fall $a_{1} = 0$ sein
wird,
so ergiebt sich wieder
\[
  -(2\pi)^2 a_2'(A_1+A_2+ \dotsb + A_m + a_1)
\]
und
\[
 2\pi i\left[ b_{2}\nu_{1}^{(2)} + 2c_{2}\nu_{2}^{(2)} + \dotsb
+ \lambda_{2}h_{2} \nu_{\lambda_{2}}^{(2)}
+ a_{2}'\mu_{0}^{(2)} - b_{2}'\mu_{1}^{(2)}
-2c_{2}'\mu_{2}^{(2)} - \dotsb
- \lambda_{2}'h_{2}' \mu_{\lambda_{2}'}^{(2)}\right],
\]
worin wieder, wenn $a_{2}$ von Null verschieden ist,
\[
  a_2'=b_2'=\dots =h_2'=0
\]
zu setzen ist, während die Integrale längs den Verbindungslinien
sich zu
\[
  -2\pi i a_{2} \int_A^{\alpha_2} dJ(z, \zeta_{\alpha})
\]
zusammensetzen.
%-----File: 065.png------------------------------

Fasst man die zuletzt gefundenen Resultate zusammen, so folgt,
dass das Resultat der gesammten um die Punkte
$\alpha_1$, $\dotsc\ \alpha_{2p+1}$ und
längs den Verbindungslinien dieser mit den Querschnitten
ausgeführten Integrationen den Ausdruck liefert
\begin{gather*}
\tag{4}
  2\pi i \sum_{\varrho=1}^{2p+1}
  \biggl\{
    \Bigl[
     b_\varrho \nu_1^{(\varrho)}
         + 2c_\varrho \nu_2^{(\varrho)} + \dotsb
         + \lambda_\varrho h_\varrho \nu_{\lambda_\varrho}^{(\varrho)} \\
\begin{split}
&        + a'_\varrho \mu_0^{(\varrho)}
         - b'_\varrho \mu_1^{(\varrho)}
         - 2c'_\varrho \mu_2^{(\varrho)} - \dotsb
         - \lambda'_\varrho h'_\varrho
          \mu_{\lambda'_\varrho}^{(\varrho)}
    \Bigr]
   - a_\varrho \int_A^{\alpha_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha)
  \biggr\}
\\
& - (2\pi)^2 \sum_{\varrho=1}^{2p+1}
 a'_\varrho
  (A_1 + A_2 + \dotsb + A_m + a_1 + a_2 + \dotsb + a_{\varrho-1}),
\end{split}
\end{gather*}
wobei zu bemerken, dass, wenn $a_\sigma$ von Null verschieden ist,
\[
  a'_\sigma = b'_\sigma = \dotsb = h'_\sigma = 0
\]
zu nehmen sein wird.

Es bleibt somit nur noch für die Berücksichtigung aller
angenommenen Unstetigkeiten das Integral
\[
  \int [J(z, z_\alpha) + 2\pi i(A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb
       + a_{2p+1}] \;dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
zu untersuchen, genommen über die durch Ausschliessung des
Unendlichkeitspunktes eintretenden Integrationswege.

Was nun zuerst das Integral betrifft, welches längs dem den
unendlich entfernten Punkt umschliessenden Doppelkreis zu nehmen ist,
so wird dasselbe vermöge der Entwicklungen
\begin{gather*}
  J(z, z_\alpha)
= M_0\log z^{\frac{1}{2}} + M_1 z^{\frac{1}{2}}
+ M_2 z^{\frac{2}{2}} + \dotsb
\\
+  M_\delta z^{\frac{\delta}{2}} + P_0 + P_1 z^{-\frac{1}{2}}
+ P_2 z^{-\frac{2}{2}} + \dotsb + P_\delta z^{-\frac{\delta'}{2}}
+ \dotsb
\\
  J(z, \zeta_\alpha)
= M'_0\log z^{\frac{1}{2}} + M'_1 z^{\frac{1}{2}}
+ M'_2 z^{\frac{2}{2}} + \dotsb
\\
+  M'_{\delta'} z^{\frac{\delta'}{2}} + P'_0 + P'_1 z^{-\frac{1}{2}}
+ \dotsb + P'_\delta z^{ -\frac{\delta}{2}} + \dotsb
\end{gather*}
also
\begin{gather*}
  \frac{ dJ(z, \zeta_\alpha) }{dz}
= \tfrac{1}{2}M'_0 z^{-1} + \tfrac{1}{2}M'_1 z^{-\frac{1}{2}}
+ M'_2 + \tfrac{3}{2}M'_3 z^{\frac{1}{2}} + \dotsb
\\
  \frac{\delta'}{2}M'_{\delta'} z^{\frac{\delta'-2}{2}}
- \tfrac{1}{2}P'_1 z^{-\frac{3}{2}} - \dotsb
- \frac{\delta}{2}P'_\delta z^{\frac{-\delta-2}{2}} + \dotsb
\end{gather*}
aus dem Ausdrucke
\[
  -(2\pi)^2 M'_0(A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb + a_{2p+1})
\]
und Integralen von der Form
\[
  \int \log z^{\frac{1}{2}} z^{\frac{k}{2}} dz, \quad
  \int z^{\frac{l}{2}} dz, \quad
  \int z^{-1} dz
\]
bestehen, von denen das erste vermöge der Substitution
\[
  z^{\frac{1}{2}} = \zeta
\]
%-----File: 066.png------------------------------
nach dem Früheren den Werth Null annimmt, wenn $k \leqq -3$ ist,
sonst unendlich gross wird, woraus wiederum folgt, \emph{dass entweder
$M_0 = 0$ oder $M'_0 = M'_1 = \dots = M'_\delta = 0$ sein muss, \dh\
dass
entweder $J(z, z_\alpha)$ im unendlich entfernten Punkte nicht
logarithmisch
unendlich oder $J(z, \zeta_\alpha)$ in diesem Punkte gar nickt unendlich
wird}; das
zweite Integral wird stets Null, und das dritte gleich $4\pi i$, so dass
das Resultat des um den unendlich entfernten Punkt genommenen
Integrales den Werth
\begin{gather*}
\tag{5}
\begin{aligned}[t]
  2\pi i[ P_0 M'_0 &+ P_1 M'_1 + 2P_2 M'_2 + 3P_3 M'_3 + \dotsb  \\
                   &+ \delta' P_{\delta'} M'_\delta - P'_1 M_1
                    - 2P'_2 M_2 - \dotsb - \delta P'_\delta M_\delta ]
\end{aligned}\\
{}- (2\pi)^2 M'_0 ( A_1 + A_2 + \dotsb + A_m
                  + a_1 + a_2 + \dotsb + a_{2p+1} )
\end{gather*}
annimmt. Die Umkreisung des Unendlichkeitspunktes wird ferner
den Werth von $J(z, z_\alpha)$ um $-2\pi iM_0$ verändert haben, so dass
die
über die Verbindungslinie mit $A$ genommenen Integrale sich zu dem
Werthe
\[
  \int_A^\infty \bigl[ J^{-}(z, z_\alpha) - J^{+}(z, z_\alpha) \bigr]
  \;dJ(z, \zeta_\alpha)
= 2\pi iM_0 \int_A^\infty dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
zusammensetzen, worin das letzte Integral, für welches, wenn $M_0$
von Null verschieden ist, $M'_0$, $M'_1\, \dotsc\, M'_\delta$
verschwinden, aus
bekannten Gründen endlich ist, und man wird mit dem Werthe
\[
  \int \bigl[ J(z, z_\alpha)
       + 2\pi i( A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb + a_{2p+1} - M_0
       )\bigr]
  \;dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
oder wegen der in Folge der Annahme
$\mathfrak{A_1 = A_2 = \dots\, A_\mu} = 0$ bestehenden Relation
\[
  A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb + a_{2p+1} - M_0 = 0,
\]
mit dem Werthe
\[
  \int J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
von $A$ aus nunmehr die Integration über das gesammte ursprüngliche
Querschnittsystem zu erstrecken haben.

Nun ist aber oben gezeigt worden, dass jedes hyperelliptische
Integral, welches in der angegebenen Weise auf der \so{Riemann}'schen
Fläche unendlich ist, an den $c$-Querschnitten den Stetigkeitssprung
Null haben wird, weil das Ueberschreiten sämmtlicher von den
Unstetigkeitspunkten herrührenden Querschnitte gar keine Werthveränderung
des Integrals hervorbringt, und im Uebrigen der Sprung
durch ein über $a_1$ und $b_1$, oder $a_2$ und $b_2$ etc.\ auf deren
beiden Seiten
genommenes Integral dargestellt wird. In Folge dessen sind auch
die Stetigkeitssprünge längs der ganzen Ausdehnung der Querschnitte
$a_k$ und $b_k$ constant, und wenn man den Sprung von
\[
  J(z, z_\alpha) \text{ an } a_k \text{ mit } J_{a_k},\,
                 \text{ an } b_k \text{ mit } J_{b_k},
\]
%-----File: 067.png------------------------------
von
\[
  J(z, \zeta_\alpha)
  \text{ an } a_k \text{ mit } I_{a_k},\,
  \text{ an } b_k \text{ mit } I_{b_k}
\]
bezeichnet, so wird das Resultat der weiteren Integration offenbar
\[
\begin{split}
  &\int_{a_1^{+}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
-  \int_{b_1^{-}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
\\
+ &\int_{a_2^{+}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
-  \int_{b_2^{-}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha) + \dotsb
\\
- &\int_{a_2^{-}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
+  \int_{b_2^{+}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
\\
- &\int_{a_1^{-}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
+  \int_{b_1^{+}} J(z, z_\alpha) \,dJ(z, \zeta_\alpha)
\end{split}
\]
sein, worin die über die Querschnitte auszuführenden Integrationen
in der Richtung der bezeichneten Pfeile zu nehmen sind, oder
\[
\begin{split}
 &\int_{a_1}[J^{+}(z,z_\alpha)-J^{-}(z,z_\alpha)] \,dJ(z,\zeta_\alpha)
+ \int_{a_2}[J^{+}(z,z_\alpha)-J^{-}(z,z_\alpha)] \,dJ(z,\zeta_\alpha)
+ \dotsb  \\
+&\int_{b_1}[J^{+}(z,z_\alpha)-J^{-}(z,z_\alpha)] \,dJ(z,\zeta_\alpha)
+ \int_{b_2}[J^{+}(z,z_\alpha)-J^{-}(z,z_\alpha)] \,dJ(z,\zeta_\alpha)
+ \dotsb,
\end{split}
\]
da die Function $\dfrac{dJ(z,\zeta_\alpha)}{dz}$ auf beiden Seiten der
Querschnitte
denselben Werth hat, oder endlich mit Hülfe der obigen Beziehungen, da
\begin{align*}
  &\text{längs dem Querschnitte }
  a_k:\ J^{+}(z, z_\alpha) - J^{-}(z, z_\alpha) = J_{a_k},  \\
  &\text{längs dem Querschnitte }
  b_k:\ J^{+}(z, z_\alpha) - J^{-}(z, z_\alpha) = -J_{b_k},
\end{align*}
ferner
\[
  \int_{a_k} dJ(z,\zeta_\alpha) = I_{b_k}, \quad
  \int_{b_k} dJ(z,\zeta_\alpha) = I_{a_k}
\]
ist, wenn die Richtung der Integrale in der Richtung der Pfeile der
Figur genommen ist,
\[
\tag{6}
  \sum_{\nu=1}^p \left(J_{a_\nu}I_{b_\nu} - J_{b_\nu}I_{a_\nu}\right).
\]

Da nun, wie aus den allgemeinen Principien bekannt ist, das
Resultat der über die gesammte Begränzung genommenen Integration
den Werth Null haben muss, so erhalten wir durch Zusammenfassung
der oben gefundenen Ausdrücke (1) bis (6) die nachfolgende Relation
zwischen den Perioden der hyperelliptischen Integrale
$J(z, z_\alpha)$ und $J(z, \zeta_\alpha)$:
%-----File: 068.png------------------------------
\begin{align*}%[** TN: Re-broken]
\tag{7}
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  ( J_{a_\nu} I_{b_\nu} &- J_{b_\nu} I_{a_\nu} )
\begin{aligned}[t]
  &=-\sum_{\varrho=1}^\mu
  \Bigl[ n_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}_\varrho
       +2n_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho + \dotsb
       + \mathfrak{k}_\varrho
         n_{\mathfrak{k}_\varrho}^{(\varrho)} \mathfrak{K}_\varrho
\\
      &+ m_0^{(\varrho)} \mathfrak{A}'_\varrho
       - m_1^{(\varrho)} \mathfrak{B}'_\varrho
       -2m_2^{(\varrho)} \mathfrak{C}_\varrho - \dotsb
       - \mathfrak{k}'_\varrho
         m_{\mathfrak{k}'_\varrho}^{(\varrho)} \mathfrak{K}'_\varrho
  \Bigr]
\end{aligned}
\\
&-\sum_{\varrho=1}^n
  \left[ p_0^{(\varrho)} A'_\varrho
       - p_1^{(\varrho)} B'_\varrho
       -2p_2^{(\varrho)} C'_\varrho - \dotsb
       - k'_\varrho p_{k'_\varrho}^{(\varrho)} K'_\varrho \right]
\\
&-\sum_{\varrho=1}^m
  \left[ \pi_1^{(\varrho)} B_\varrho
       +2\pi_2^{(\varrho)} C_\varrho + \dotsb
       + k_\varrho \pi_{k_\varrho}^{(\varrho)} K_\varrho \right]
 +\sum_{\varrho=1}^m A_\varrho \int_A^{z_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha)
\\
&-\begin{aligned}[t]
  \sum_{\varrho=1}^{2p+1}
  \Bigl[ b_\varrho \nu_1^{(\varrho)}
       +2c_\varrho \nu_2^{(\varrho)} &+ \dotsb
       + \lambda_\varrho h_\varrho \nu_{\lambda_\varrho}^{(\varrho)}
\\
       &+ a'_\varrho \mu_0^{(\varrho)}
       - b'_\varrho \mu_1^{(\varrho)}
       -2c'_\varrho \mu_2^{(\varrho)} - \dotsb
       - \lambda'_\varrho h'_\varrho
         \mu_{\lambda'_\varrho}^{(\varrho)} \Bigr]
\end{aligned}
\\
&+\begin{aligned}[t]
\sum_{\varrho=1}^{2p+1}
  a_\varrho\int_A^{\alpha_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha)
- 2\pi i \sum_{\varrho=1}^{2p+1} a'_\varrho( A_1 &+ A_2 + \dotsb
\\
&+ A_m + a_1 + a_1 + \dotsb + a_{\varrho-1} )
\end{aligned}
\\
&- \begin{aligned}[t]
  \bigl[ P_0 M'_0 &+ P_1 M'_1 + P_2 M'_2 + 3P_3 M'_3 + \dotsb
\\
      &+ \delta' P_{\delta'} M'_{\delta'} - P'_1 M_1 - 2P'_2 M_2
       - \dotsb - \delta P'_\delta M_\delta \bigr]
\end{aligned}
\\
&-2\pi i M'_0( A_1 + A_2 + \dotsb + A_m + a_1 + a_2 + \dotsb
             + a_{2p+1} )
\\
&- M_0 \int_A^\infty dJ(z, \zeta_\alpha),
\end{align*}
wobei zu bemerken, dass für die Integrale $J(z, z_\alpha)$ und
$J(z, \zeta_\alpha)$ die
Bedingung gestellt worden, dass
\[
  \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}_2 = \dotso = \mathfrak{A}_\mu = 0
\]
ist, und dass, wenn $a_\varrho$, oder $M_0$ von Null verschieden,
\[
  a'_\varrho = b'_\varrho = \dotso = h'_\varrho = 0
\text{ resp. } M'_0 = M'_1 = \dotso = M'_{\delta'} = 0
\]
anzunehmen sind.

Dass sich die Integrale
\[
  \sum_{\varrho=1}^m A_\varrho
  \int_A^{z_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha),
\quad
  \sum_{\varrho=1}^{2p+1} a_\varrho
  \int_A^{\alpha_\varrho} dJ(z, \zeta_\alpha),
\quad
- M_0 \int_A^\infty dJ(z, \zeta_\alpha)
\]
vermöge der Beziehung
\[
  A_1 + \dotsb + A_m + a_1 + \dotsb + a_{2p+1} - M_0 = 0
\]
zu Integralen zusammensetzen, welche von dem willkürlich
angenommenen Querschnittspunkte $A$ unabhängig sind und auf der
einfach zusammenhängenden \so{Riemann}'schen Fläche zwischen den
singulären Punkten verlaufen, bedarf keiner weitern Auseinandersetzung.
%-----File: 069.png------------------------------

Specialisiren wir die gefundene Periodenrelation (7), indem wir
$J(z, z_\alpha)$ und $J(z, \zeta_\alpha)$ hyperelliptische Integrale
dritter
Gattung bedeuten lassen und mit
\[
  \Pi(z, z_1, z_2) \text{ und } \Pi(z, \zeta_1, \zeta_2)
\]
bezeichnen, wobei wir annehmen, dass das Werthesystem $z_1$, $z_2$ von
$\zeta_1$, $\zeta_2$ verschieden ist, und diese vier Punkte nicht
Verzweigungspunkte sind, so werden alle in den obigen
Unstetigkeitsfunctionen
der allgemeinen Integrale vorkommenden Constanten mit Ausnahme
von $A_1$, $A_2$, $A'_1$, $A'_2$ gleich Null zu setzen sein, und zwischen
diesen
letzteren Constanten werden die Beziehungen stattfinden müssen
\[
  A_1 + A_2 = 0, \quad A'_1 + A'_2 = 0;
\]
in Folge dessen geht die Periodenrelation (7), wenn die
Periodicitätsmoduln
der beiden dritten Integrale mit
\[
  P_{a_k}, \quad P_{b_k}, \quad \Pi_{a_k}, \quad \Pi_{b_k}
\]
bezeichnet werden, in
\begin{align*}
\tag{8}
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( P_{a_\nu} \Pi_{b_\nu}
       - P_{b_\nu} \Pi_{a_\nu} \right)
&= -p_0^{(1)} A'_1 - p_0^{(2)} A'_2
\\
&+ A_1 \int_A^{z_1} d\Pi(z, \zeta_1, \zeta_2)
+ A_2 \int_A^{z_2} d\Pi(z, \zeta_1, \zeta_2),
\end{align*}
oder vermöge der aus den obigen Reihenentwicklungen hervorgehenden
Bedeutung der Grössen $p_0^{(1)}$ und $p_0^{(2)}$, nämlich
\[
  p_0^{(1)} = \Pi(\zeta_1, z_1, z_2), \quad
  p_0^{(2)} = \Pi(\zeta_2, z_1, z_2)
\]
in
\[%[** TN: Broken at "=" in original]
\tag{9}
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( P_{a_\nu} \Pi_{b_\nu}
       - P_{b_\nu} \Pi_{a_\nu} \right)
= A_2  \int_{z_1}^{z_2}         d\Pi(z, \zeta_1, \zeta_2)
+ A'_2 \int_{\zeta_1}^{\zeta_2} d\Pi(z, z_1, z_2),
\]
über.

\addtotoc{Satz von der Vertauschung der Gränzen und Unstetigkeitspunkte
eines
hyperelliptischen Hauptintegrales dritter Gattung}
Lässt man nunmehr die beiden Integrale dritter Gattung zu
Hauptintegralen werden, in welchem Falle wir $A_2 = A'_2 = -1$ zu
setzen haben, und bezeichnet die Perioden dieser Integrale
\[
  H(z, z_1, z_2) \text{ und } H(z, \zeta_1, \zeta_2)
\]
mit
\[
  H_{a_\nu}, \quad H_{b_\nu}, \quad H'_{a_\nu}, \quad H'_{b_\nu},
\]
so ergiebt sich
\[
\tag{10}
  \int_{\zeta_1}^{\zeta_2} dH(z, z_1, z_2),
- \int_{z_1}^{z_2}         dH(z, \zeta_1, \zeta_2)
= \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( H_{a_\nu} H'_{b_\nu}
       - H_{b_\nu} H'_{a_\nu} \right) ,
\]
und \emph{es liefern somit zwei Hauptintegrale dritter Gattung, bei denen
die Gränzen des einen die Parameter des andern sind, und die
Integrationswege
%-----File: 070.png------------------------------
nur den oben angegebenen Beschränkungen unterliegen,
eine nur von den Periodicitätsmoduln abhängige Differenz.}

Die Hinzufügung von Integralen erster Gattung lässt diesen Integralen
noch den Charakter der Hauptintegrale, und wenn wir die
Periodicitätsmoduln der $p$ Integrale erster Gattung
\[
  \int \frac{         dz}{\sqrt{R(z)}}, \quad
  \int \frac{ z\,     dz}{\sqrt{R(z)}}, \dotsc
  \int \frac{ z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
an dem Querschnitte $a_k$ mit
\[
  A_k^{(0)}, \quad A_k^{(1)},\ \dotsc\ A_k^{(p-1)},
\]
an dem Querschnitte $b_k$ mit
\[
  B_k^{(0)}, \quad B_k^{(1)},\ \dotsc\ B_k^{(p-1)},
\]
bezeichnen, so werden, wenn diese Integrale mit den Constanten
\begin{gather*}
 c_0,\ c_1,\ \dotsc\ c_{p-1}  \\
 c'_0,\ c'_1,\ \dotsc\ c'_{p-1}
\end{gather*}
multiplicirt zu den beiden Hauptintegralen hinzugefügt werden, die
Periodicitätsmoduln der neuen Hauptintegrale an dem Querschnitte
$a_k$ durch
\[
  H_{a_k} + c_0A_k^{(0)} + c_1A_k^{(1)} + \dotsb
+ c_{p-1}A_k^{(p-1)}
\]
und
\[
  H'_{a_k} + c'_0A_k^{(0)} + c'_1A_k^{(1)} + \dotsb
+ c'_{p-1}A_k^{(p-1)} ,
\]
an dem Querschnitte $b_k$ durch
\[
  H_{b_k} + c_0B_k^{(0)} + c_1B_k^{(1)} + \dotsb
+ c_{p-1}B_k^{(p-1)}
\]
und
\[
  H'_{b_k} + c'_0B_k^{(0)} + c'_1B_k^{(1)} + \dotsb
+ c'_{p-1}B_k^{(p-1)}
\]
ausgedrückt sein, und es wird daher für diese die rechte Seite der
Gleichung~(10) in
\[
\begin{split}
  \frac{1}{2\pi i}  \sum_{\nu=1}^p
  \biggl\{
      &\Bigl( H_{a_\nu} + c_0A_\nu^{(0)} + c_1A_\nu^{(1)}
            + \dotsb + c_{p-1}A_\nu^{(p-1)}                 \Bigr)
\\
×{}&\Bigl( H'_{b_\nu} + c'_0B_\nu^{(0)} + c'_1B_\nu^{(1)}
            + \dotsb + c'_{p-1}B_\nu^{(p-1)}                \Bigr)
\\
    - {}&\Bigl( H_{b_\nu} + c_0B_\nu^{(0)} + c_1B_\nu^{(1)}
            + \dotsb + c_{p-1}B_\nu^{(p-1)}                 \Bigr)
\\
×{}&\Bigl( H'_{a_\nu} + c'_0A_\nu^{(0)} + c'_1A_\nu^{(1)}
            + \dotsb + c'_{p-1}A_\nu^{(p-1)}                \Bigr)
  \biggr\}
\end{split}
\]
übergehen. Nun kann man aber
\[
  c_0,\ c_1,\ \dotsc\ c_{p-1},\ c'_0,\ c'_1,\ \dotsc\ c'_{p-1}
\]
so wählen, dass
%-----File: 071.png------------------------------
\[
\begin{array}{l}
  H_{a_1} +c_0 A_1^{(0)}+c_1 A_1^{(1)}+\dotsb +c_{p-1} A_1^{(p-1)}=0 \\
\hdotsfor[3]{1}  \\[1ex]
  H_{a_p} +c_0 A_p^{(0)}+c_1 A_p^{(1)}+\dotsb +c_{p-1} A_p^{(p-1)}=0
  \\[1ex]
  H'_{a_1}+c_0'A_1^{(0)}+c_1'A_1^{(1)}+\dotsb +c_{p-1}'A_1^{(p-1)}=0 \\
\hdotsfor[3]{1}  \\[1ex]
  H'_{a_p}+c_0'A_p^{(0)}+c_1'A_p^{(1)}+\dotsb +c_{p-1}'A_p^{(p-1)}=0,
\end{array}
\]
oder dass die beiden neuen Hauptintegrale dritter Gattung an den
$a$-Querschnitten den Periodicitätsmodul Null haben; denn diese
Bestimmung würde nur dann unmöglich werden, wenn die Determinante
\[
  \begin{vmatrix}
    A_1^{(0)} & A_1^{(1)} & \dots & A_1^{(p-1)} \\
    \vdots  \\
    A_p^{(0)} & A_p^{(1)} & \dots & A_p^{(p-1)}
  \end{vmatrix} = 0
\]
würde, und dass dies nicht der Fall sein kann, folgt wiederum wie
früher, da sich sonst ein Integral erster Gattung bestimmen lassen
würde, für welches alle an den $a$-Querschnitten stattfindenden Sprünge
verschwinden, was oben als unstatthaft nachgewiesen worden. Werden
nun diese neuen Hauptintegrale mit
\[
  H_0(z, z_1, z_2) \text{ und } H_0(z, \zeta_1, \zeta_2)
\]
bezeichnet, so geht die Gleichung (10) in
\[
\tag{11}
  \int_{\zeta_1}^{\zeta_2} dH_0(z, z_1, z_2)
= \int_{z_1}^{z_2} dH_0(z, \zeta_1, \zeta_2)
\]
über. Bemerkt man ferner, dass jetzt die beiden Hauptintegrale
$H_0(z, z_1, z_2)$ und $H_0(z, \zeta_1, \zeta_2)$ sich nur durch die
verschiedene Lage
ihrer Unstetigkeitspunkte unterscheiden, indem sie dieselben $p$
verschwindenden
Periodicitätsmoduln haben, und durch die Art der
Unstetigkeit sowie durch $p$ Periodicitätsmoduln an der Reihe der
$a$- oder
der Reihe der $b$-Querschnitte ein hyperelliptisches Integral bis auf
eine additive Constante vollständig bestimmt war, so folgt,
\begin{quote}
\emph{dass sich ein solches Hauptintegral nicht ändert, wenn die
Gränzen mit den Unstetigkeitspunkten vertauscht werden.}
\end{quote}

Es mag zur Charakteristik der obigen Hauptintegrale, für welche
die $p$ Periodicitätsmoduln an den $a$-Querschnitten verschwinden, noch
bemerkt werden, dass die Ausdrücke für die andern Periodicitätsmoduln
sich leicht mit Hülfe von Integralen erster Gattung darstellen
lassen. Setzt man nämlich in die oben erhaltene Beziehung (7)
$J(z, \zeta_\alpha)$ gleich einem Integrale erster Gattung $J(z)$, dessen
Periodicitätsmoduln mit $J_{a_\nu}$ und $J_{b_\nu}$ bezeichnet werden
mögen,
während
$J(z, z_\alpha) = \Pi(z, z_1, z_2)$ ein Integral dritter Gattung bedeuten
soll,
so folgt
%-----File: 072.png------------------------------
\[
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( \Pi_{a_\nu} J_{b_\nu} - \Pi_{b_\nu} J_{a_\nu} \right)
= A_2 \int_{z_1}^{z_2} dJ(z),
\]
oder wenn $\Pi(z, z_1, z_2)$ ein Hauptintegral dritter Gattung vorstellt,
also $A_2 = -1$ ist,
\[
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( H_{a_\nu} J_{b_\nu} - H_{b_\nu} J_{a_\nu} \right)
= -\int_{z_1}^{z_2} dJ(z).
\]

Soll nun $H(z, z_1, z_2)$ wieder ein solches Hauptintegral sein, für
welches alle Periodicitätsmoduln an den $a$-Querschnitten verschwinden,
so bleibt
\[
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  H_{b_\nu} J_{a_\nu}
= \int_{z_1}^{z_2} dJ(z),
\]
und bestimmen wir nunmehr ein erstes Integral $J_r(z)$ dergestalt,
dass die Periodicitätsmoduln desselben an allen $a$-Querschnitten
verschwinden
ausser an dem Querschnitte $a_r$, an welchem der Periodicitätsmodul
$2\pi i$ sein soll (wie ein solches zu bestimmen, ergiebt
sich aus dem Früheren, indem man nur die $p$ Fundamentalintegrale
erster Gattung mit solchen Constanten zu multipliciren braucht, dass
diese Bedingungen erfüllt werden, wodurch sich ebensoviele lineare
Gleichungen als zu bestimmende Constanten ergeben), so geht die
obige Gleichung in
\[
  H_{b_r} = \int_{z_1}^{z_2} dJ_r(z)
\]
über, und es drücken sich somit die nicht verschwindenden
Periodicitätsmoduln
des Hauptintegrals an den Querschnitten $b$ durch Integrale
erster Gattung aus, welche zwischen den Unstetigkeitspunkten
$z_1$ und $z_2$ als Gränzen genommen sind, und für welche alle
Periodicitätsmoduln an den $a$-Querschnitten verschwinden, nur an einem
derselben den Werth $2\pi i$ haben.

\addtotoc{Specialisirung der Periodenrelation für Integrale erster und
zweiter
Gattung \ \ \ }
Eine weitere Specialisirung der oben gefundenen Beziehung (7)
für den Fall, dass $J(z, z_\alpha)$ und $J(z, \zeta_\alpha)$ Integrale
erster Gattung
von der Form
\[
  J^{(\alpha)}(z) = \int\frac{z^{p-\alpha-1}dz}{\sqrt{R(z)}}, \quad
  J^{(\beta )}(z) = \int\frac{z^{p-\beta -1}dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
bedeuten, in denen $\alpha$ und $\beta$ Zahlen aus der Reihe
$0$, $1$, $2$, $\dotsc$ $p-1$
vorstellen, ergiebt, wenn die Periodicitätsmoduln dieser Integrale an
den Querschnitten $a_\nu$ und $b_\nu$ resp.\ mit
\[
  J_{a_\nu}^{(\alpha)},\quad  J_{b_\nu}^{(\alpha)}, \quad
  J_{a_\nu}^{(\beta)}, \quad  J_{b_\nu}^{(\beta)}
\]
bezeichnet werden, die Beziehung
%-----File: 073.png------------------------------
\[
\tag{12}
  \sum_{\nu=1}^p \left( J_{a_\nu}^{(\alpha)} J_{b_\nu}^{(\beta)}
                      - J_{b_\nu}^{(\alpha)} J_{a_\nu}^{(\beta)}
                 \right) = 0,
\]
von der bei der Einführung der $\vartheta$-Functionen in die Theorie der
hyperelliptischen Integrale weiterer Gebrauch gemacht wird.

Betrachten wir ferner noch den speciellen Fall, in welchem ein
Integral erster Gattung
\[
  J^{(\beta)} (z) = \int \frac{z^{p-\beta-1}dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
mit einem Integrale von der Form
\[
  E^{(\alpha)} (z) = \int \frac{z^{p+\alpha}dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
zusammengestellt wird, in welchem $\alpha = 0$, $1$, $2$, $\dotsc$ $p-1$,
und
welches, wie wir früher gesehen haben, in dem Verzweigungspunkte
$z = \infty$ und nur in diesem Punkte von der ${2\alpha + 1}^{\text{ten}}$

Ordnung unendlich wird. Für diesen Fall wird, wenn die Perioden der
Integrale
an den Querschnitten $a_\nu$ und $b_\nu$ resp.\ mit
\[
  J_{a_\nu}^{(\beta)}, \quad J_{b_\nu}^{(\beta)}, \quad
  E_{a_\nu}^{(\alpha)},\quad E_{b_\nu}^{(\alpha)}
\]
bezeichnet werden, die Gleichung (7) eine leicht zu übersehende Form
annehmen; es folgt unmittelbar mit Hülfe der oben für die
Entwicklungscoefficienten in der Umgebung des unendlich entfernten
Punktes gebrauchten Bezeichnungen
\begin{align*}
  E^{(\alpha)}(z)
=&M_{2\alpha+1} z^{\frac{2\alpha+1}{2}}
+ M_{2\alpha-1} z^{\frac{2\alpha-1}{2}}
+ M_{2\alpha-3} z^{\frac{2\alpha-3}{2}} + \dotsb
+ M_{ 1} z^{\frac{ 1}{2}} + \dotsb
\\
  J^{(\beta)}(z)
=&P'_{2\beta+1} z^{\frac{-2\beta-1}{2}}
+ P'_{2\beta+3} z^{\frac{-2\beta-3}{2}}
+ P'_{2\beta+5} z^{\frac{-2\beta-5}{2}} + \dotsb,
\end{align*}
worin, wenn die Entwicklung von
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(z)}}
\]
in der Umgebung des unendlich entfernten Punktes mit
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(z)}}
= z^{-p-\frac{1}{2}}
  \left\{ f_0 + f_1 z^{-1} + f_2 z^{-2} + \dotsb \right\}.
\]
bezeichnet wird,
\[
  M_{2\alpha+1} = \frac{2f_0}{2\alpha+1},\quad
  M_{2\alpha-1} = \frac{2f_1}{2\alpha-1},\quad
  M_{2\alpha-3} = \frac{2f_2}{2\alpha-3},\dotsc
\]
und
\[
  P'_{2\beta+1} = -\frac{2f_0}{2\beta+1},\quad
  P'_{2\beta+3} = -\frac{2f_1}{2\beta+3},\quad
  P'_{2\beta+5} = -\frac{2f_2}{2\beta+5},\dotsc
\]
sind, und hieraus ergiebt sich, dass, wenn \\
I. $\alpha \geqq \beta,$
\begin{gather*}
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( E_{a_\nu}^{(\alpha)} J_{b_\nu}^{(\beta)}
       - E_{b_\nu}^{(\alpha)} J_{a_\nu}^{(\beta)} \right)
\\
= (2\beta+1) P'_{2\beta+1} M_{2\beta+1}
+ (2\beta+3) P'_{2\beta+3} M_{2\beta+3} + \dotsb
+ (2\alpha+1) P'_{2\alpha+1} M_{2\alpha+1}
\end{gather*}
%-----File: 074.png------------------------------
und wenn\\
II. $\alpha < \beta;$
\begin{gather*}
  \sum_{\nu=1}^p
  \left( E_{a_\nu}^{(\alpha)} J_{b_\nu}^{(\beta)}
       - E_{b_\nu}^{(\alpha)} J_{a_\nu}^{(\beta)} \right) = 0
\end{gather*}
ist.

\addtotoc{Determinante aus den Periodicitätsmoduln der Integrale erster
und
zweiter Gattung}
Es mag endlich noch eine Beziehung zwischen den Periodicitätsmoduln
von mehr als zwei zu derselben Irrationalität gehörigen
hyperelliptischen Integralen entwickelt werden und zwar eine solche,
welche die Perioden der in der Reductionsformel des allgemeinen
hyperelliptischen Integrales vorkommenden Integrale erster und
zweiter Gattung mit einander verbindet, aus der in Vereinigung mit
den früheren sich weitere Relationen herstellen lassen.

Legt man die Integrale erster Gattung in der Form
\[
  J^{(\varrho)}(z) = \int \frac{z^\varrho dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
zu Grunde, worin $\varrho = 0,\, 1,\, 2,\, \dotsc\, p-1$ sein soll,
und bezeichnet deren Periodicitätsmoduln mit
\[
  J_{a_k}^{(\varrho)} \quad\text{und}\quad J_{b_k}^{(\varrho)},
\]
so dass
\begin{align*}
   J_{a_k}^{(\varrho)}
&= -2\int_{\alpha_{2k  }}^{\alpha_{2k+1}} dJ^{(\varrho)}(z)
 -  2\int_{\alpha_{2k+2}}^{\alpha_{2k+3}} dJ^{(\varrho)}(z) - \dotsb
 -  2\int_{\alpha_{2p  }}^{\alpha_{2p+1}} dJ^{(\varrho)}(z)
\\
   J_{b_k}^{(\varrho)}
&= -2\int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k  }} dJ^{(\varrho)}(z),
\end{align*}
worin die in $J_{a_k}^{(\varrho)}$ vorkommende Grösse
\[
  dJ^{(\varrho)}(z)
\]
für die gradlinigen Integrale die im oberen Blatte genommenen
Werthe, die in $J_{b_k}^{(\varrho)}$ vorkommende die auf der oberen
Seite des Verzweigungsschnittes in eben diesem Blatte genommenen
Werthe dieser Function annehmen soll; setzt man ferner die Integrale
zweiter Gattung, wie sie in erweiterter Bedeutung in die
Reductionsformel des allgemeinen hyperelliptischen Integrales in der
vorigen Vorlesung eingeführt worden, in die Form
\[
  E^{(\sigma)}(z) = \int \frac{z^\sigma dz}{\sqrt{R(z)}},
\]
worin $\sigma = p,\, p + 1,\, \dotsc\, 2p-1$ sein soll, und
bezeichnet deren Periodicitätsmoduln mit
\[
  E_{a_k}^{(\sigma)} \text{ und } E_{b_k}^{(\sigma)}
\]
so dass wie oben
%-----File: 075.png------------------------------
\begin{align*}
  E_{a_k}^{(\sigma)}
&= -2\int_{\alpha_{2k  }}^{\alpha_{2k+1}} dE^{(\sigma)}(z)
 -  2\int_{\alpha_{2k+2}}^{\alpha_{2k+3}} dE^{(\sigma)}(z) - \dotsb
 -  2\int_{\alpha_{2p  }}^{\alpha_{2p+1}} dE^{(\sigma)}(z)
\\
  E_{b_k}^{(\sigma)}
&= -2\int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k  }} dE^{(\sigma)}(z),
\end{align*}
worin
\[
  dE^{(\sigma)}(z)
\]
genau in der für die Integrale erster Gattung angegebenen Weise zu
bestimmen ist, so sieht man unmittelbar, dass die Determinante
\[
  \begin{vmatrix}
    J_{b_1}^{( 0  )} & J_{a_1}^{( 0  )}
  & J_{b_2}^{( 0  )} & J_{a_2}^{( 0  )} & \dots
  & J_{b_p}^{( 0  )} & J_{a_p}^{( 0  )}
\\[1ex]
    J_{b_1}^{( 1  )} & J_{a_1}^{( 1  )}
  & J_{b_2}^{( 1  )} & J_{a_2}^{( 1  )} & \dots
  & J_{b_p}^{( 1  )} & J_{a_p}^{( 1  )}
\\
  \hdotsfor[3]{7}
\\[1ex]
    J_{b_1}^{( p-1)} & J_{a_1}^{( p-1)}
  & J_{b_2}^{( p-1)} & J_{a_2}^{( p-1)} & \dots
  & J_{b_p}^{( p-1)} & J_{a_p}^{( p-1)}
\\[1ex]
    E_{b_1}^{( p  )} & E_{a_1}^{( p  )}
  & E_{b_2}^{( p  )} & E_{a_2}^{( p  )} & \dots
  & E_{b_p}^{( p  )} & E_{a_p}^{( p  )}
\\[1ex]
    E_{b_1}^{( p+1)} & E_{a_1}^{( p+1)}
  & E_{b_2}^{( p+1)} & E_{a_2}^{( p+1)} & \dots
  & E_{b_p}^{( p+1)} & E_{a_p}^{( p+1)}
\\
  \hdotsfor[3]{7}
\\[1ex]
    E_{b_1}^{(2p-1)} & E_{a_1}^{(2p-1)}
  & E_{b_2}^{(2p-1)} & E_{a_2}^{(2p-1)} & \dots
  & E_{b_p}^{(2p-1)} & E_{a_p}^{(2p-1)}
  \end{vmatrix} = D
\]
mit Hülfe der eben angegebenen Werthe der Periodicitätsmoduln in
\[
  D = 2^{2p}
  \begin{vmatrix}
    \ds\int_{\alpha_{ 1}}^{\alpha_{ 2  }} \frac{dz}{\sqrt{R(z)}}

  & \ds\int_{\alpha_{ 2}}^{\alpha_{ 3  }} \frac{dz}{\sqrt{R(z)}}
  & \dots
  & \ds\int_{\alpha_{2p}}^{\alpha_{2p+1}} \frac{dz}{\sqrt{R(z)}}

\\[4ex]
    \ds\int_{\alpha_{ 1}}^{\alpha_{ 2  }} \frac{z
    \,dz}{\sqrt{R(z)}}
  & \ds\int_{\alpha_{ 2}}^{\alpha_{ 3  }} \frac{z
  \,dz}{\sqrt{R(z)}}
  & \dots
  & \ds\int_{\alpha_{2p}}^{\alpha_{2p+1}} \frac{z
  \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[2ex]
  \hdotsfor[3]{4}
\\[1ex]
    \ds\int_{\alpha_{ 1}}^{\alpha_{ 2  }}
    \frac{z^{2p-1}dz}{\sqrt{R(z)}}
  & \ds\int_{\alpha_{ 2}}^{\alpha_{ 3  }}
  \frac{z^{2p-1}dz}{\sqrt{R(z)}}
  & \dots
  & \ds\int_{\alpha_{2p}}^{\alpha_{2p+1}}
  \frac{z^{2p-1}dz}{\sqrt{R(z)}}
  \end{vmatrix}
\]
übergeht.

Wir wollen uns nun mit der Ermittelung des Werthes dieser
letzteren Determinante beschäftigen und zuerst nachweisen,
\begin{quote}
\emph{dass dieselbe als Function der Lösungen}
\[
  \alpha_1,\ \alpha_2,\ \dotsc\ \alpha_{2p+1}
\]
\emph{aufgefasst für \so{alle} Werthe derselben eine eindeutige
Function dieser Grössen ist.}
\end{quote}
%-----File: 076.png------------------------------

Betrachten wir \zB\ die Determinante als Function von $\alpha_1$ und
untersuchen die Eigenschaften der einzelnen in derselben vorkommenden
Integrale als Functionen dieser Grösse, oder fragen, welche Aenderung
\[
  J
= \int_{\alpha_r}^{\alpha_{r+1}}
  \frac{z^3\, dz}
       {\sqrt{(z-\alpha_1) (z-\alpha_2)\dotsm (z-\alpha_{2p+1})}}
\]
erleiden wird, wenn $\alpha_1$ einen unendlich kleinen Umkreis an einer
beliebigen Stelle der Ebene beschreibt. Sei zuerst dieser Umkreis
\emph{nicht}
um einen der Verzweigungspunkte
\[
  \alpha_2,\ \alpha_3,\ \dotsc\ \alpha_{2p+1}
\]
gezogen, so beachte man, dass jeder andern Lage von $\alpha_1$ auf der
unendlich kleinen geschlossenen Curve eine andere \so{Riemann}'sche
Fläche entspricht, die sich von der gegebenen nur durch eine unendlich
\begin{figure}[hbt]
\centering
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=12cm]{images/fig04}
\end{figure}
wenig veränderte Lage des ersten Verzweigungsschnittes unterscheidet,
so dass wir also auch alle Querschnitte unverändert beibehalten
können, und da das gradlinig genommene Integral $J$ sich
bei der stetigen Bewegung des Punktes $\alpha_1$ wie unmittelbar zu
sehen,
immer nur um unendlich wenig von seinem anfänglichen Werthe
unterscheiden kann, so wird der Werth des Integrales nach einem
ganzen Umlaufe unverändert geblieben sein, so dass also $J$ seinen
Werth wieder erreicht, wenn $\alpha_1$ einen unendlich kleinen Umlauf um
einen beliebigen Punkt in der Ebene beschreibt, der nicht einer der
andern Verzweigungspunkte ist.

\begin{figure}[hbt]
\centering
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=8cm]{images/fig05}
\end{figure}
Liegt dagegen $\alpha_1$ in der Nähe eines Verzweigungspunktes $\alpha_\lambda$,
so denke man sich die Construction der \so{Riemann}'schen Fläche und
die Verwandlung derselben in eine einfach zusammenhängende derart
ausgeführt, dass man $\alpha_\lambda$ als zweiten Verzweigungspunkt
betrachtet
und also $\alpha_1 \alpha_\lambda$ als ersten Verzweigungsschnitt ansieht;
es wird dies
für die Betrachtung des absoluten Werthes der oben charakterisirten
Determinante gleichgültig sein, weil wir nur mehrere Verticalreihen
der Determinante zu vertauschen und mit einander additiv zu
verbinden
%-----File: 077.png------------------------------
haben. Dann ist aber unmittelbar aus der Figur zu ersehen, dass,
wenn $\alpha_1$ einen sehr kleinen Umkreis um $\alpha_\lambda$
beschreibt, und
die daraus hervorgehenden Integralwerthe durch einen Strich am
Integralzeichen markirt werden, wegen Aenderung des Wurzelzeichens
und Durchschneiden des Querschnittes $b_1$
\[
\tag{13}
  \Pint_{\alpha_1}^{\alpha_\lambda} \frac{z^3\,dz}{\sqrt{R(z)}}
=-\int_{\alpha_1}^{\alpha_\lambda}
\frac{z^3\,dz}{\sqrt{R(z)}}-J_{b_1} =
\int_{\alpha_1}^{\alpha_\lambda} \frac{z^3\,dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
\begin{figure}[hbt]
\centering
\caption{\hskip1pt }
\includegraphics*[width=8cm]{images/fig06}
\end{figure}
wird, und dass ferner, weil bei der Umkreisung von $\alpha_\lambda$
durch $\alpha_1$ auch
einmal die Figur die beistehende Gestalt hat, und der dem früheren
gradlinigen Wege auf der ersten \so{Riemann}'schen Fläche
entsprechende
%-----File: 078.png------------------------------
Weg auf der dieser Lage von $\alpha_1$ entsprechenden \so{Riemann}'schen
Fläche den Querschnitt $b_1$ schneidet,
\[
\tag{14}
  \Pint_{\alpha_\lambda}^{\alpha_2} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}}
 = \int_{\alpha_\lambda}^{\alpha_2} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}} - J_{b_1}
 = \int_{\alpha_\lambda}^{\alpha_2} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}}
 +2\int_{\alpha_1}^{\alpha_\lambda} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
ist; endlich lässt sich leicht erkennen, dass sich
\[
\tag{15}
  \Pint_{\alpha_r}^{\alpha_{r+1}} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}}
 = \int_{\alpha_r}^{\alpha_{r+1}} \frac{z^3 dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
ergiebt.

Aus den Beziehungen (13), (14), (15) sehen wir aber unmittelbar,
dass eine Umkreisung von $\alpha_\lambda$ für die Determinante, als
Function von
$\alpha_1$ aufgefasst, keine Veränderung der Function hervorbringt,
da die
einzelnen Integrale immer nur um die entsprechenden Integrale der
anderen Verticalreihen zunehmen oder auch unverändert bleiben, und
ebenso unmittelbar folgt, dass eine Umkreisung des unendlich entfernten
Punktes keine Veränderung des Werthes der Determinante
verursacht.

Somit ergiebt sich die obige Determinante als \emph{eindeutige} Function
der Grössen $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc$ $\alpha_{2p+1}$, und
\emph{muss daher nach einem bekannten
Satze der Functionentheorie auch einmal verschwinden, wenn sie nicht
etwa eine Constante, \dh\ eine von
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc$ $\alpha_{2p+1}$ unabhängige Grösse
ist. Dass aber diese Determinante nicht verschwinden kann}, sieht
man leicht aus folgender Ueberlegung. Wäre dies nämlich der Fall
für irgend ein Werthesystem der Grössen
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\dotsc$ $\alpha_{2p+1}$, so müsste
sich ein System von $2p$ constanten Grössen
\[
  l^{(0)},\ l^{(1)},\ \dotsc\ l^{(p-1)},
  k^{(p)},\ k^{(p+1)},\ \dotsc\ k^{(2p-1)}
\]
bestimmen lassen, welche das homogene lineare Gleichungssystem
\[%[ ** TN: Individual lines not broken]
\begin{array}{l}
   k^{(2p-1)} J_{a_1}^{( 0  )} + k^{(2p-2)} J_{a_1}^{(1)} + \dotsb
 + k^{( p  )} J_{a_1}^{( p-1)} + l^{( p-1)} E_{a_1}^{(p)}
 + l^{( p-2)} E_{a_1}^{( p+1)} + \dotsb
 + l^{( 0  )} E_{a_1}^{(2p-1)} = 0,
\\
   k^{(2p-1)} J_{b_1}^{( 0  )} + k^{(2p-2)} J_{b_1}^{(1)} + \dotsb
 + k^{( p  )} J_{b_1}^{( p-1)} + l^{( p-1)} E_{b_1}^{(p)}
 + l^{( p-2)} E_{b_1}^{( p+1)} + \dotsb
 + l^{( 0  )} E_{b_1}^{(2p-1)} = 0,
\\ \hdotsfor[3]{1} \\
   k^{(2p-1)} J_{a_p}^{( 0  )} + k^{(2p-2)} J_{a_p}^{(1)} + \dotsb
 + k^{( p  )} J_{a_p}^{( p-1)} + l^{( p-1)} E_{a_p}^{(p)}
 + l^{( p-2)} E_{a_p}^{( p+1)} + \dotsb
 + l^{( 0  )} E_{a_p}^{(2p-1)} = 0,
\\
   k^{(2p-1)} J_{b_p}^{( 0  )} + k^{(2p-2)} J_{b_p}^{(1)} + \dotsb
 + k^{( p  )} J_{b_p}^{( p-1)} + l^{( p-1)} E_{b_p}^{(p)}
 + l^{( p-2)} E_{b_p}^{( p+1)} + \dotsb
 + l^{( 0  )} E_{b_p}^{(2p-1)} = 0
\end{array}
\]
%-----File: 079.png------------------------------
befriedigen; dann würde aber das hyperelliptische Integral
\[
  \int\frac{ k^{(2p-1)} + k^{(2p-2)} z + \dotsb + k^{(p)} z^{p-1}
           + l^{(p-1)} z^p + l^{(p-2)} z^{p+1} + \dotsb
           + l^{(0)} z^{2p-1} }
           {\sqrt{R(z)}}\ dz
\]
an allen Querschnitten die Periodicitätsmoduln $0$ besitzen und somit
eine rationale Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$ sein müssen; und dies
kann
offenbar nicht der Fall sein. Denn wäre
\[
  \int\frac{f(z) dz}{\sqrt{R(z)}}
= \varphi_1(z) + \varphi_2(z) \sqrt{R(z)},
\]
worin $f(z)$ eine ganze, $\varphi_1(z)$ und $\varphi_2(z)$ rationale
Functionen von $z$
bedeuten, so ist zuerst ersichtlich, dass
\[
  \varphi_1(z) = 0
\]
sein muss, weil eine Veränderung des Zeichens von $\sqrt{R(z)}$ den
Integralwerth in den entgegengesetzten verwandelt, und dass ferner
$\varphi_2(z)$ eine ganze Function von $z$ sein wird, weil das Integral
der
linken Seite für keinen endlichen Werth von $z$ unendlich wird;
wenn dann
\[
  \frac{f(z)}{\sqrt{R(z)}}
= \frac{d}{dz}\left( \varphi_2(z)\sqrt{R(z)} \right)
= \frac{d\varphi_2(z)}{dz}\sqrt{R(z)}
+ \varphi_2(z) \frac{R'(z)}{2\sqrt{R(z)}}
\]
oder
\[
  f(z) = R(z)\frac{d\varphi_2(z)}{dz} + \frac{\varphi_2(z)}{2} R'(z)
\]
gesetzt wird, so folgt leicht, dass der Grad der rechten Seite mindestens
der ${2p}^{\text{te}}$ ist, weil, wenn
\begin{align*}
  R(z)         &= A z^{2p+1} + \dotsb   \\
  \varphi_2(z) &= a z^r + \dotsb
\end{align*}
ist, die höchsten Glieder von
\[
  R(z) \frac{d\varphi_2(z)}{dz}, \text{ nämlich }A a r z^{2p+r}
\]
und von
\[
  \frac{\varphi_2(z)}{2},\ R'(z), \text{ nämlich }
  \frac{a}{2} (2p+1) A z^{2p+r}
\]
sich nicht wegheben können, da sonst
\[
  A a r - A a\frac{2p+1}{2} = 0 \text{ oder } r = \frac{2p+1}{2}
\]
wäre; da aber $f(z)$ nur vom ${2p-1}^{\text{ten}}$ Grade ist, so ist
somit jene
Gleichung nicht möglich, und also auch die Voraussetzung unstatthaft,
dass es ein Werthesystem $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_{2p+1}$ giebt,
welches die
Determinante verschwinden lässt.
\begin{quote}
\emph{Somit wird die Determinante eine constante, von den
Verzweigungswerthen $\alpha_1,$ $\alpha_2$, $\dotsc$ $\alpha_{2p+1}$
unabhängige Grösse sein,}
\end{quote}
die wir also durch ein specielles Werthesystem derselben bestimmen
können.
%-----File: 080.png------------------------------

Wir wählen zu diesem Zwecke das Polynom
\[
  R(z) = z^{2p+1} - 1,
\]
dessen Lösungen, wenn $\alpha$ eine primitive Wurzel bedeutet, durch
\[
  \alpha^0,\ \alpha^1,\ \alpha^2,\ \dotsc\ \alpha^{2p}
\]
dargestellt werden, und es werden dann die einzelnen in der oben
behandelten Determinante $D$ enthaltenen Integrale von der Form sein
\[
  \int_{\alpha^r}^{\alpha^{r+1}} \frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1} - 1}},
\]
worin $r$ und $s$ eine der Zahlen 0, 1, 2, $\dotsc$ $2p-1$ bedeuten.

Da aber, wenn
\[
  z = \alpha^r x \text{ und } x = \alpha y
\]
gesetzt wird,
\begin{align*}
\tag{16}
  \int_{\alpha^r}^{\alpha^{r+1   }}\frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1} - 1}}
&=\alpha^{r(s+1)}\int_{1}^{\alpha}\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\\
&= \alpha^{r(s+1)}\int_{0}^{\alpha}\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
- \alpha^{r(s+1)}\int_{0}^{ 1    }\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\\
&=\alpha^{(r+1)(s+1)}\int_{0}^{1}\frac{y^s dy}{\sqrt{y^{2p+1} - 1}}
- \alpha^{ r   (s+1)}\int_{0}^{1}\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\\
&=\alpha^{r(s+1)}(\alpha^{s+1} - 1)
                     \int_{0}^{1}\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\end{align*}
wird, so geht die Determinante der zwischen den einzelnen
Verzweigungspunkten genommenen Integrale in
\[
\tag{17}
  \varDelta
= \begin{vmatrix}
    1 & \alpha      & \alpha^2    & \dots & \alpha^{  2p-1 }   \\
    1 & \alpha^2    & \alpha^4    & \dots & \alpha^{2(2p-1)}   \\
    1 & \alpha^3    & \alpha^6    & \dots & \alpha^{3(2p-1)}   \\
\hdotsfor[3]{5} \\
    1 & \alpha^{2p} & \alpha^{4p} & \dots & \alpha^{2p(2p-1)}
  \end{vmatrix}
   · \prod_{s= 0,1,2 \dotsc 2p-1} (\alpha^{s+1} - 1)
    \int_0^1 \frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\]
über.

Nun ist die Determinante bekanntlich die Quadratwurzel aus der
Discriminante der Gleichung
\[
\tag{18}
  \frac{x^{2p+1} - 1}{x - 1} = x^{2p} + x^{2p-1} + \dotsb + x + 1 = 0;
\]
wenn man daher das Product der Quadrate der Differenzen aller
Lösungen der Gleichung
\[
 x^{2p+1} - 1 = 0
\]
durch den bekannten Ausdruck in den Potenzsummen darstellt, für
welche
%-----File: 081.png------------------------------
\[
  s_k = 0,\quad s_{(2p+1)r} = 2p + 1
\]
ist, so ergiebt sich für dasselbe unmittelbar der Werth
\[
  (-1)^p \;(2p + 1)^{2p+1},
\]
und wenn dieses durch das Quadrat des aus (18) hervorgehenden
Ausdruckes
\[
  (1-\alpha )(1-\alpha^2)\dotsm (1-\alpha^{2p}) = 2p+ 1
\]
dividirt wird, so folgt als Werth jener Determinante
\[
  \sqrt{(-1)^p (2p + 1)^{2p-1}}.
\]

Um ferner das Product
\[
\prod_{s=0,1,\dotsc 2p-1}
\mspace{-22mu}
(\alpha^{s+1}-1)\int_0^1\!\frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1}-1}}
\]
zu ermitteln, kann man, um eine Anwendung der oben entwickelten
Beziehungen zu geben, die sich genau ebenso für viele andere Integrale
und ähnliche Untersuchungen durchführen lässt, unmittelbar
von der früher entwickelten Periodenrelation zwischen beliebigen zu
derselben Irrationalität gehörigen hyperelliptischen Integralen
erster
und zweiter Gattung, in der dort gewählten, von der gegenwärtigen
verschiedenen Bezeichnungsweise derselben,
\begin{gather*}
  \frac{1}{2\pi i} \sum_{\nu=1}^p
  \left( E^{(\alpha)}_{a_{\nu}} J^{(\beta)}_{b_{\nu}}
       - E^{(\alpha)}_{b_{\nu}} J^{(\beta)}_{a_{\nu}} \right) =
\\
  (2\beta + 1) P'_{2\beta +1} M_{2\beta +1}
+ (2\beta + 3) P'_{2\beta +3} M_{2\beta +3} + \dotsb
+ (2\alpha +1) P'_{2\alpha +1}M_{2\alpha+1} \qquad (\alpha \geqq \beta)
\end{gather*}
Gebrauch machen, indem sich, wie oben gezeigt worden, jedes
zwischen zwei Verzweigungspunkten ausgedehnte Integral auf das
Integral zwischen den Grenzen 0 und l zurückführen lässt;
zur Vereinfachung der Rechnung wählen wir
\[
  \alpha =\beta  = p-s-1,
\]
in welchem Falle, nach der oben gegebenen Bestimmung der Grössen
$M$ und $P'$, sich
\[
  \frac{1}{2\pi i}\sum_{\nu=1}^p
  \left( E^{(\alpha)}_{a_{\nu}} J^{(\alpha)}_{b_{\nu}}
       - E^{(\alpha)}_{b_{\nu}} J^{(\alpha)}_{a_{\nu}} \right)
= -\frac{2}{p-s-1}
\]
ergiebt. Beachtet man, dass dann nach der Definition der Integrale
erster und zweiter Gattung und mit Berücksichtigung der Beziehung (16)
\begin{align*}
 J^{(\alpha)}_{a_{\nu}}
&=-2 \int_{\alpha^{2\nu-1}}^{\alpha^{2\nu}} \!
  \frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1}-1}}
- 2 \int_{\alpha^{2\nu+1}}^{\alpha^{2\nu+2}}
\mspace{-6mu}
  \frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1}-1}} - \dotsb
- 2 \int_{\alpha^{2p-1}}^{\alpha^{2p}} \!
  \frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1}-1}}
\\[1ex]
&= -2 (\alpha^{s+1}-1)
  \bigl[ \alpha^{(2\nu-1)(s+1) }
  \begin{aligned}[t]
    &+ \alpha^{(2\nu+1)(s+1) } + \dotsb \\
    &+ \alpha^{(2p-1)(s+1)} \bigr]
    \int_0^1\! \frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1}-1}}
  \end{aligned}
\end{align*}
%-----File: 082.png------------------------------
\[
  J_{b_\nu}^{(\alpha)}
= -2\int_{\alpha^{2\nu-2}}^{\alpha^{2\nu-1}}
    \frac{z^s dz}{\sqrt{z^{2p+1} - 1}}
= -2\alpha^{(2\nu-2)(s+1)} (\alpha^{s+1} - 1)
    \int_0^1 \frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}},
\]
ebenso
\begin{align*}
  E_{a_\nu}^{(\alpha)}
&=-2(\alpha^{2p-s} - 1)\bigl[ \alpha^{(2\nu-1)(2p-s)}
  \begin{aligned}[t]
    &+ \alpha^{(2\nu+1)(2p-s)} + \dotsb \\
    &+ \alpha^{(2p-1)(2p-s)} \bigr]
       \int_0^1 \frac{x^{2p-1-s} dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
  \end{aligned}
\\
  E_{b_\nu}^{(\alpha)}
&=-2\alpha^{(2\nu-2)(2p-s)} (\alpha^{2p-s} - 1)
  \int_0^1 \frac{x^{2p-1-s} dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
\end{align*}
wird, so folgt aus der obigen Periodenrelation, wenn ausserdem das
Product nach dem Index $s$ über die Zahlen 0, 1, 2, $\dotsc$ $p-1$
genommen wird,
\[
  \prod_{s=0, 1, \dotsc 2p-1}
\mspace{-20mu}
  (\alpha^{s+1} - 1)
  \int_0^1 \frac{x^s dx}{\sqrt{x^{2p+1} - 1}}
= \frac{(2\pi)^p \sqrt{2p+1}}{(2p+1)^p 1 · 3 \dotsm 2p-1},
\]
welche Beziehung auch direct durch einfache Integralbetrachtungen
hergeleitet werden kann, und daher für die Determinante der zwischen
den Verzweigungswerthen genommenen Integrale nach Gleichung~(17)
der Werth
\[
  \varDelta = \frac{(-1)^{\tfrac{p}{2}} (2\pi)}
                {1 · 3\dotsm (2p-1)},
\]
oder endlich für die oben zu Grunde gelegte \emph{Determinante aus den
Periodicitätsmoduln der zu einer beliebigen Irrationalität gehörigen
hyperelliptischen Integrale erster und zweiter Gattung der Ausdruck}
\[
  D = \frac{(-1)^{\tfrac{p}{2}} 2^{3p} \pi^p}
           {1 · 3\dotsm (2p-1)}.
\]
\eoc
%-----File: 083.png------------------------------


\Chapter{Sechste Vorlesung.}
{Das \so{Abel}'sche Theorem.}

\addtotoc{Das \so{Abel}'sche Theorem für die Integrale erster Gattung}

Nachdem die Relationen untersucht worden, welche zwischen
den Periodicitätsmoduln verschiedener, zu derselben
\so{Riemann}'schen
Fläche gehöriger hyperelliptischer Integrale bestehen, gehen
wir zu
den Beziehungen zwischen allgemeinen hyperelliptischen Integralen
über und besprechen zuerst den Satz von der Addition gleichartiger
Integrale oder das \emph{\so{Abel}'sche Theorem} in einer Form, wie wir
dasselbe
späteren Untersuchungen zu Grunde legen.

Sei $R(z)$ ein Polynom ${2p + 1}^{\text{ten}}$ Grades in $z$, und werde
die
Gleichung
\[
\tag{1}   s^2 - R(z) = 0
\]
mit einer beliebigen andern algebraischen Gleichung zwischen $s$ und $z$
\[
\tag{2}   f(s, z) = 0
\]
zusammengestellt, so wird die letztere, wenn immer nur die Punkte
$z$ aufgefasst werden, welche (1) und (2) gemeinsame $s$-Werthe
ertheilen, auf die Form
\[
\tag{3}   qs - p = 0
\]
gebracht werden können, in welcher $p$ und $q$ ganze Functionen von
$z$ sind, weil alle höheren Potenzen von $s$ als die erste vermöge der
Gleichung (1) fortgeschafft werden können; es werden die gemeinsamen
$z$-Werthe der Eliminationsgleichung von (1) und (3), \dh\
der Gleichung
\[
\tag{4}   p^2 - q^2 R(z) = 0
\]
genügen, und die entsprechenden $s$-Werthe sodann durch den Ausdruck
\[
\tag{5}   s = \frac{p}{q}
\]
eindeutig bestimmt sein.

Wird der Grad von $p$ mit $m$ bezeichnet, so werden sich $2m$
Lösungen der Gleichung (4) ergeben
\[
  z_1,\ z_2,\ \dotsc\ z_{2m},
\]
wenn wir annehmen, dass der Grad von $p^2$ nicht kleiner als der von
$q^2 R(z)$, \dh\ $q$ höchstens vom ${m - p - 1}^{\text{ten}}$ Grade
ist. Sei ferner
eine zweite Gleichung zwischen $s$ und $z$
%-----File: 084.png------------------------------
\[
\tag{6}   f_1(s, z) = 0,
\]
welche wieder, wenn nur der Gleichung (6) und (1) zugleich
angehörige $z$- und $s$-Werthe in Betracht kommen, in die Form
\[
\tag{7}   q_1 s - p_1 = 0,
\]
gebracht werden kann, und mit (1) verbunden die der Gleichung
\[
\tag{8}   p_1^2 - q_1^2 R(z) = 0
\]
angehörigen $z$ Werthe
\[
  z_1',\ z_2',\ \dotsc\ z_{2m}'
\]
liefert, wenn wiederum der Grad von $p_1$ der $m^{te}$ und der von $q_1$
höchstens der ${m - p - 1}^{te}$ sein soll, während die zugehörigen $s$
Werthe
durch den Ausdruck
\[
  s = \frac{p_1}{q_1}
\]
bestimmt sind. Bildet man endlich die Gleichung
\[
  qs - p + \lambda(q_1 s - p_1) = 0,
\]
und fasst die mit der Gleichung (1) gemeinsamen Lösungen dieser
Gleichung auf, so sind diese die Wurzeln der Gleichung
\[
\tag{11}
  (p + \lambda p_1)^2 - (q + \lambda q_1)^2 R(z) = 0,
\]
und man sieht unmittelbar, dass für $\lambda = 0$ die von dem Parameter
$\lambda$ abhängigen $z$-Werthe in $z_1$, $z_2$, $\dotsc$ $z_{2m}$,
für $\lambda = \infty$ in $z_1'$, $z_2'$  $\dotsc$ $z_{2m}'$
übergehen, während für eine continuirliche Reihe von $\lambda$-Werthen,
die von $\lambda = 0$ bis $\lambda = \infty$ führen, die $z$-Werthe
stetig von dem einen
System in das andere übergehen werden, und die zugehörigen $s$-Werthe
nach (9) durch den Ausdruck
\[
\tag{12}   s = \frac{p + \lambda p_1}{q + \lambda q_1}
\]
bestimmt sind, also auch an den Gränzen mit den durch (5) und (9)
gegebenen übereinstimmen. Setzt man nun der Kürze halber
\[
\tag{13}
  (p + \lambda p_1)^2 - (q + \lambda q_1)^2 R(z)
= \psi(z) = A(z - \zeta_1)(z - \zeta_2) \dotsm (z - \zeta_{2m}),
\]
worin $\zeta_1$, $\zeta_2$, $\dotsc$ $\zeta_{2m}$ von dem Parameter
$\lambda$ abhängige Grössen bedeuten,
so wird sich durch Differentiation der Gleichung (13) nach $\lambda$
\[%[** TN: Not breaking next four displays]
\tag{14}
  2(p + \lambda p_1)p_1 - 2(q + \lambda q_1)q_1 R(z)
= \psi(z)
  \Biggl\{ \frac{\tfrac{d\zeta_1}{d\lambda}}{\zeta_1-z}
         + \frac{\tfrac{d\zeta_2}{d\lambda}}{\zeta_2-z} + \dotsb
         + \frac{\tfrac{d\zeta_{2m}}{d\lambda}}{\zeta_{2m}-z}
         + \frac{\tfrac{dA}{d\lambda}}{A}
  \Biggr\}
\]
oder
\[\tag{15}
  \frac{ 2(p + \lambda p_1)}{q + \lambda q_1}
  \left\{ (q + \lambda q_1)p_1
        - \frac{(q + \lambda q_1)^2 q_1}{p + \lambda p_1} R(z)
  \right\}
= \psi(z)
  \Biggl\{ \frac{\tfrac{d\zeta_1}{d\lambda}}{\zeta_1-z} + \dotsb
         + \frac{\tfrac{d\zeta_{2m}}{d\lambda}}{\zeta_{2m}-z}
         + \frac{\tfrac{dA}{d\lambda}}{A}
  \Biggr\}
\]
%-----File: 085.png------------------------------
ergeben. Da aber nach (13)
\[
  (q + \lambda q_1)^2 R(z) = (p + \lambda p_1)^2 - \psi(z)
\]
ist, so geht (15) in
\[
  \frac{2(p + \lambda p_1)}{q + \lambda q_1}
  \Big\{
  (q + \lambda q_1)p_1 - (p + \lambda p_1)q_1
  \Big\}
+ \frac{2q_1 \psi(z)}{q + \lambda q_1}
= \psi(z)
  \Biggl\{ \frac{\tfrac{d\zeta_1   }{d\lambda}}{\zeta_1   -z}
         + \dotsb
         + \frac{\tfrac{d\zeta_{2m}}{d\lambda}}{\zeta_{2m}-z}
         + \frac{\tfrac{dA         }{d\lambda}}{A           }
  \Biggr\}
\]
oder in
\[
  \frac{2(p + \lambda p_1)}{q + \lambda q_1}
  (q p_1 - p q_1)
+ \frac{2q_1 \psi(z)}{q + \lambda q_1}
= \psi(z)
  \Biggl\{ \frac{\tfrac{d\zeta_1   }{d\lambda}}{\zeta_1   -z}
         + \dotsb
         + \frac{\tfrac{d\zeta_{2m}}{d\lambda}}{\zeta_{2m}-z}
         + \frac{\tfrac{dA         }{d\lambda}}{A           }
  \Biggr\}
\]
über, so dass, wenn $z = \zeta_\alpha$ gesetzt, die zugehörigen Werthe
von
$p$, $p_1$, $q$, $q_1$ für $z = \zeta_\alpha$ mit
\[
  p(\zeta_\alpha),\ p_1(\zeta_\alpha),\
  q(\zeta_\alpha),\ q_1(\zeta_\alpha)
\]
bezeichnet werden, ausserdem berücksichtigt wird, dass nach (11)
\[
  \sqrt{R(\zeta_\alpha)}
= \frac{p(\zeta_\alpha) + \lambda p_1(\zeta_\alpha)}
       {q(\zeta_\alpha) + \lambda q_1(\zeta_\alpha)}
\]
ist, und endlich mit $F(\zeta_\alpha)$, welches vom ${p-1}^{\text{ten}}$
Grade sein soll,
multiplicirt wird, sich
\[
\tag{17}
  \frac{F(\zeta_\alpha)\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
= 2F(\zeta_\alpha)
  \frac{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
       - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) }
       { \psi'(\zeta_\alpha) }
\]
ergiebt. Nimmt man nun über beide Seiten der Gleichung die
Summe nach $\alpha$ für $\alpha = 1,\ 2,\ \dotsc\ 2m$, so folgt
\[
\tag{18}
  \sum_{\alpha= 1}^{2m}
  \frac{F(\zeta_\alpha)\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
= 2\sum_{\alpha= 1}^{2m}
  \frac{ F(\zeta_\alpha)
         \big\{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
              - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) \big\} }
       { \psi'(\zeta_\alpha) }
\]
und wenn man berücksichtigt, dass $\psi(z)$ vom ${2m}^{\text{ten}}$
Grade, $p(z)$ vom
$m^{\text{ten}}$, $q(z)$ höchstens vom ${m-p-1}^{\text{ten}}$, $F(z)$
vom ${p-1}^{\text{ten}}$ Grade ist,
so wird
\[
  F(z) \big\{ p(z) q_1(z) - q(z) p_1(z) \big\}
\]
höchstens vom ${2m-2}^{\text{ten}}$ Grade, und daher nach einem bekannten
Satze
\[
  \sum_{\alpha= 1}^{2m}
  \frac{ F(\zeta_\alpha)
         \big\{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
              - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) \big\} }
       { \psi'(\zeta_\alpha) }
= 0,
\]
sein. Es wird somit
%-----File: 086.png------------------------------
\[
  \sum_{\alpha=1}^{2m}
  \frac{F(\zeta_\alpha)\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}=0,
\]
und daher, wenn mit $d\lambda$ multiplicirt und zwischen den Gränzen
$\infty$
und 0 für $\lambda$ integrirt wird,
\[
  \sum_{\alpha=1}^{2m}
  \int_\infty^0
  \frac{F(\zeta_\alpha)\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}d\lambda=0,
\]
oder nach den oben gemachten Auseinandersetzungen
\[
\tag{19}
\sum_{\alpha=1}^{2m}\int_{z'_\alpha}^{z_\alpha}
\frac{F(z)\,dz}{\sqrt{R(z)}}=0,
\]
worin der Integrationsweg durch den für $\lambda$ von 0 bis $\infty$
beliebig gewählten
Weg und die von $\lambda$ abhängigen Functionalausdrücke von
$\zeta_1$, $\zeta_2$, $\dotsc\ \zeta_{2m}$ bestimmt ist, während die zu
jedem $\zeta$ gehörigen
Werthe von $\sqrt{R(\zeta)}$ durch die Gleichung~(16) einander zugeordnet
sind; wir finden also, \emph{dass die Summe von $2m$ gleichartigen
Integralen
erster Gattung, deren obere Gränzen der Gleichung}
\[
p^2-q^2 R(z)=0,
\]
\emph{deren untere Gränzen}
\[
p_1^2-q_1^2 R(z)=0
\]
\emph{genügen, worin $p$ und $p_1$ beliebige Functionen vom
$m^{\text{ten}}$, $q$ und $q_1$ beliebige
Functionen höchstens vom ${m-p-1}^{\text{ten}}$ Grade sind, und deren
Integrationswege
in der oben bestimmten Weise ermittelt werden, den
Werth Null hat}.

Gehen wir wieder zur Gleichung (17) zurück, welche durch Weglassung
des Factors $F(\zeta_\alpha)$ in
\[
  \frac{ \dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda} }{\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
= \frac{2\bigl( p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
              - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) \bigr)}
       {\psi'(\zeta_\alpha)},
\]
übergeht, um aus derselben das Additionstheorem für die Integrale
dritter Gattung abzuleiten, welche in den Punkten $c_1$ und $c_2$ und
zwar auf je einem Blatte logarithmisch unendlich werden, und multipliciren
dieselbe mit
\[
\frac{\varepsilon_1R(c_1)^{\frac{1}{2}}}{(c_1-c_2)(\zeta_\alpha-c_1)},
\]
so ergiebt sich
\[
\frac{\varepsilon_1R(c_1)^{\frac{1}{2}}}{(c_1-c_2)(\zeta_\alpha-c_1)}
\frac{ \dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda} }{\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}=
\frac{2\varepsilon_1R(c_1)^{\frac{1}{2}}
      \bigl( p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
           - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) \bigr)}
     {\psi'(\zeta_\alpha) (c_1-c_2)(\zeta_\alpha-c_1)}
\]
%-----File: 087.png------------------------------
und ebenso
\[
  \frac{\varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}}}
       {(c_2-c_1) (\zeta_\alpha-c_2)}
  \frac{\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
= \frac{2\varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}}
        \bigl( p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
             - q(\zeta_\alpha) p_1(\zeta_\alpha) \bigr)}
       {\psi'(\zeta_\alpha) (c_2-c_1) (\zeta_\alpha-c_2)} ,
\]
so dass, wenn man die Summe der beiden letzten Gleichungen um
\[
  \frac{\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {(\zeta_\alpha-c_1) (\zeta_\alpha-c_2)}
\]
vermehrt, das Resultat mit einer willkürlichen Constanten $M$
multiplicirt und zu beiden Seiten
\[
  N \frac{F(\zeta_\alpha) \dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
         {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
\]
hinzuaddirt, worin $N$ wieder eine willkürliche Constante und
$F(\zeta_\alpha)$
eine Function ${p-1}^{\text{ten}}$ Grades bedeutet, aus der über $\alpha$
von $1$ bis
$2m$ genommenen Summation die Gleichung hervorgeht
\begin{gather*}
\tag{20}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \left[ M\Biggl\{
  \frac{\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
       {(\zeta_\alpha-c_1) (\zeta_\alpha-c_2)} \right.
\\
\left. + \frac{ \dfrac{\varepsilon_1 R(c_1)^{\frac{1}{2}}}
              {c_1 - c_2} (\zeta_\alpha-c_2)
      + \dfrac{\varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}}}
              {c_2 - c_1} (\zeta_\alpha-c_1)    }
       {(\zeta_\alpha-c_1) (\zeta_\alpha-c_2) \sqrt{R(\zeta_\alpha)}}
  \frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda} \Biggr\}
+ N \frac{ F(\zeta_\alpha) \dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda} }
         { \sqrt{R(\zeta_\alpha)} } \right]
\\
\begin{aligned}
&= \frac{ 2M\varepsilon_1 R(c_1)^{\frac{1}{2}} }{ c_1 - c_2 }
   \sum_{\alpha=1}^{2m}
   \frac{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
        - p_1(\zeta_\alpha) q(\zeta_\alpha)}
        {\psi'(\zeta_\alpha) (\zeta_\alpha-c_1)}
\\[1ex]
&+ \frac{ 2M\varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}} }{ c_2 - c_1 }
   \sum_{\alpha=1}^{2m}
   \frac{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
        - p_1(\zeta_\alpha) q(\zeta_\alpha) }
        {\psi'(\zeta_\alpha) (\zeta_\alpha-c_2)}
\\[1ex]
&+ M \sum_{\alpha=1}^{2m}
   \frac{\dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
        {(\zeta_\alpha-c_1) (\zeta_\alpha-c_2)}
 + N \sum_{\alpha=1}^{2m}
   \frac{F(\zeta_\alpha) \dfrac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}}
        {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}.
\end{aligned}
\end{gather*}

Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich aber noch weiter
vereinfachen. Denn, wenn man die Function
\[
  \frac{p(z) q_1(z) - p_1(z) q(z)}{\psi(z)}
\]
in Partialbrüche zerlegt, so ergiebt sich
\[
  \frac{p(z) q_1(z) - p_1(z) q(z)}{\psi(z)}
= \sum_{\alpha=1}^{2m}
  \frac{ p(\zeta_\alpha) q_1(\zeta_\alpha)
       - p_1(\zeta_\alpha) q(\zeta_\alpha) }
       { \psi'(\zeta_\alpha) }
  \frac{1}{z-\zeta_\alpha},
\]
und daher
%-----File: 088.png------------------------------
\[
\tag{21}
 -\frac{p(c_1)q_1(c_1)-p_1(c_1)q(c_1)}{\psi(c_1)}
= \sum_{\alpha=1}^{2m}
  \frac{ p  (\zeta_\alpha)q_1(\zeta_\alpha)
       - p_1(\zeta_\alpha)q  (\zeta_\alpha)}
       {\psi'(\zeta_\alpha)}
  \frac{1}{\zeta_\alpha-c_1},
\]
und ein ähnlicher Ausdruck, wenn $c_2$ statt $c_1$, gesetzt wird.

\addtotoc{Das \so{Abel}'sche Theorem für die Integrale dritter Gattung
und die Herleitung des allgemeinen Satzes}
Ferner ist nach der oben erhaltenen Beziehung
\[
  \sum_{\alpha=1}^{2m}
  \frac{F(\zeta_\alpha) \frac{d_{\zeta_\alpha}}{d\lambda}}
       {\sqrt{R(\zeta_\alpha)}}=0,
\]
und es geht somit Gleichung (20) mit Berücksichtigung aller dieser
Beziehungen, wenn ausserdem nach $\lambda$ zwischen $\infty$ und 0
integrirt,
und das in $c_1$ und $c_2$ auf je einem Blatte logarithmisch unendlich
werdende allgemeine Integral dritter Gattung zwischen den Gränzen
$z_\alpha'$ und $z_\alpha$ genommen mit
\[
\int_{z_\alpha'}^{z_\alpha} d\Pi(z,c_1,c_2)
\]
bezeichnet wird, in die folgende über:
\begin{align*}
\tag{22}
  \sum_{\alpha=1}^{2m}\int_{z_\alpha'}^{z_\alpha} d\Pi(z,c_1,c_2)
=&-\frac{2M \varepsilon_1 R(c_1)^{\frac{1}{2}}}{c_1-c_2}
  \int^0_{\infty}
  \frac{p(c_1)q_1(c_1) - p_1(c_1)q(c_1)}{\psi(c_1)}\,d\lambda
\\
& -\frac{2M \varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}}}{c_2-c_1}
  \int^0_{\infty}
  \frac{p(c_2)q_1(c_2) - p_1(c_2)q(c_2)}{\psi(c_2)}\,d\lambda
\\
&+M\sum_{\alpha=1}^{2m} \int^0_{\infty}
  \frac{\frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}\,d\lambda}
       {(\zeta_\alpha-c_1)(\zeta_\alpha-c_2)}.
\end{align*}

Nun ist aber
\begin{align*}
\int\frac{\frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}\,d\lambda}
         {(\zeta_\alpha-c_1)(\zeta_\alpha-c_2)}
&=\frac{1}{c_1-c_2}\int
  \frac{\frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}\,d\lambda}{\zeta_\alpha-c_1}
- \frac{1}{c_1-c_2}\int
  \frac{\frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}\,d\lambda}{\zeta_\alpha-c_2}
\\
&=\frac{1}{c_1-c_2}\log\frac{\zeta_\alpha-c_1}{\zeta_\alpha-c_2}
\end{align*}
also
\[
  \int\frac{\frac{d\zeta}{d\lambda}\,d\lambda}
           {(\zeta_\alpha-c_1)(\zeta_\alpha-c_2)}
= \frac{1}{c_1-c_2}
  \left[\log\frac{\zeta_\alpha-c_1}{\zeta_\alpha-c_2}
  \right]^{z_\alpha}_{z_\alpha'}
= \frac{1}{c_1-c_2}\log
  \frac{(z_\alpha-c_1)(z_\alpha'-c_2)}{(z_\alpha-c_2)(z_\alpha'-c_1)},
\]
und
\begin{gather*}
\tag{23}
  M\sum_{\alpha=1}^{2m}\int^0_{\infty}
  \frac{\frac{d\zeta_\alpha}{d\lambda}\,d\lambda}
       {(\zeta_\alpha-c_1)(\zeta_\alpha-c_2)}
\\
= \frac{M}{c_1-c_2}\log\left\{
  \frac{ (z_1 -c_1)(z_2 -c_1) \dotsm (z_{2m} -c_1)
         (z_1'-c_2)(z_2'-c_2) \dotsm (z_{2m}'-c_2)}
       { (z_1 -c_2)(z_2 -c_2) \dotsm (z_{2m} -c_2)
         (z_1'-c_1)(z_2'-c_1) \dotsm (z_{2m}'-c_1)} \right\}.
\end{gather*}
%-----File: 089.png------------------------------

Ferner ist, wie unmittelbar zu sehen,
\begin{gather*}
- \frac{2\big[p(c)q_1(c) -p_1(c)q(c)\big]}
       { \bigl(p(c) + \lambda p_1(c)\bigr)^2
       - \bigl(q(c) + \lambda q_1(c)\bigr)^2 R(c) }
 · \frac{ \varepsilon R(c)^{\frac{1}{2}} }{c_1 - c_2}
\\
= \frac{1}{c_1 - c_2} \frac{d}{d\lambda} \log
  \frac{ p(c) + \lambda p_1(c)
 - \bigl(q(c) + \lambda q_1(c)\bigr) \varepsilon \sqrt{R(c)} }
       { p(c) + \lambda p_1(c)
 + \bigl(q(c) + \lambda q_1(c)\bigr) \varepsilon \sqrt{R(c)} },
\end{gather*}
oder da
\[
  \psi(c) = \bigl(p(c) + \lambda p_1(c)\bigr)^2
          - \bigl(q(c) + \lambda q_1(c)\bigr)^2 R(c)
\]
ist,
\begin{align*}
\tag{24}
&- \frac{2M\varepsilon_1 R(c_1)^{\frac{1}{2}}}{c_1-c_2}
  \int_\infty^0
  \frac{ p(c_1)q_1(c_1) - p_1(c_1)q(c_1) }{ \psi(c_1)}d\lambda
\\
=&\frac{M}{c_1-c_2} \left[ \log
    \frac{ p(c_1) + \lambda p_1(c_1)
   - \bigl(q(c_1) + \lambda q_1(c_1)\bigr) \varepsilon \sqrt{R(c_1)} }
         { p(c_1) + \lambda p_1(c_1)
   + \bigl(q(c_1) + \lambda q_1(c_1)\bigr) \varepsilon \sqrt{R(c_1)} }
  \right]_\infty^0
\\
=&\frac{M}{c_1-c_2} \log \left\{
    \frac{ p(c_1)   - q(c_1)  \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
         { p(c_1)   + q(c_1)  \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
    \;
    \frac{ p_1(c_1) + q_1(c_1)\varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
         { p_1(c_1) - q_1(c_1)\varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \right\},
\\
\tag{25}
&- \frac{2M\varepsilon_2 R(c_2)^{\frac{1}{2}} }{c_2-c_1}
  \int_\infty^0
  \frac{ p(c_2)q_1(c_2) - p_1(c_2)q(c_2) }{ \psi(c_2)} d\lambda
\\
=&\frac{M}{c_2-c_1} \log \left\{
    \frac{ p(c_2)   - q(c_2)  \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
         { p(c_2)   + q(c_2)  \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }  ·
    \frac{ p_1(c_2) + q_1(c_2)\varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
         { p_1(c_2) - q_1(c_2)\varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} } \right\},
\end{align*}
so dass vermöge der Gleichungen (23), (24), (25) die Gleichung (22) in
\begin{align*}
\tag{26} & \hspace{9em} \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha}
d\Pi(z, c_1, c_2) &
\\
= &\frac{M}{c_1-c_2} \log \bigg\{
  \frac{ p(c_1) - q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
       { p(c_1) + q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \;
  \frac{ p(c_2) + q(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
       { p(c_2) - q(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} } &×
\\
 &\phantom{\frac{M}{c_1-c_2} \log \bigg\{ }
  \frac{ p_1(c_1) + q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
       { p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \:
  \frac{ p_1(c_2) - q_1(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
       { p_1(c_2) + q_1(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} } &×
\\
  &\frac{ (z_1 -c_1) (z_2 -c_1) \dotsm (z_{2m} -c_1)
         (z_1'-c_2) (z_2'-c_2) \dotsm (z_{2m}'-c_2) }
       { (z_1 -c_2) (z_2 -c_2) \dotsm (z_{2m} -c_2)
         (z_1'-c_1) (z_2'-c_1) \dotsm (z_{2m}'-c_1) }
   \bigg\}
\end{align*}
übergeht, worin $\varepsilon_1$ und $\varepsilon_2$ die positive oder
negative Einheit bedeuten, oder, weil nach (4) und (8)
\begin{align*}
  \frac{ p(c_1)^2 - q(c_1)^2 R(c_1) }
       { p(c_2)^2 - q(c_2)^2 R(c_2) }
= \frac{ (z_1 -c_1) (z_2 -c_1) \dotsm (z_{2m} -c_1) }
       { (z_1 -c_2) (z_2 -c_2) \dotsm (z_{2m} -c_2) }
\\
  \frac{ p_1(c_2)^2 - q_1(c_2)^2 R(c_2) }
       { p_1(c_1)^2 - q_1(c_1)^2 R(c_1) }
= \frac{ (z_1'-c_2) (z_2'-c_2) \dotsm (z_{2m}'-c_2) }
       { (z_1'-c_1) (z_2'-c_1) \dotsm (z_{2m}'-c_1) }
\end{align*}
ist,
%-----File: 090.png------------------------------
\begin{gather*}
\tag{27}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} d\Pi(z, c_1, c_2) \\
= \frac{2M}{c_1 - c_2} \log\left\{
  \frac{ p(c_1) - q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
       { p(c_2) - q(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
 ·
  \frac{ p_1(c_2) - q_1(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
       { p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \right\},
\end{gather*}
und \emph{es ist somit die Summe von $2m$ gleichartigen Integralen
dritter
Gattung, deren untere und obere Gränzen Lösungen der Gleichungen}
\[
  p^2 - q^2 R(z) = 0,\quad {p_1}^{\!2} - {q_1}^{\!2} R(z) = 0
\]
\emph{sind, durch einen Logarithmus ausgedrückt, dessen Argument aus den
Functionen $p(z)$, $p_1(z)$, $q(z)$, $q_1(z)$, $\sqrt{R(z)}$ für die
Punkte
$c_1$ und $c_2$
rational zusammengesetzt ist.}

Um nun die entsprechende Gleichung für die Integrale zweiter
Gattung herzuleiten, bemerke man, dass man aus der Gleichung
(27) für die Hauptintegrale dritter Gattung, die sich nach dem obigen
dadurch ergeben, dass man
\[
  M = \frac{c_1 - c_2}{2}
\]
setzt, die Beziehung erhält
\[
\tag{28}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dH(z, c_1, c_2)
= \log \left\{
  \frac{ p(c_1) - q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
       { p(c_2) - q(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
 ·
  \frac{ p_1(c_2) - q_1(c_2) \varepsilon_2 \sqrt{R(c_2)} }
       { p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \right\},
\]
und dass jedes im Punkte $c_1$ algebraisch von der ersten Ordnung auf
einem Blatte, wie $\frac{M'}{z-c_1}$ unendlich werdende hyperelliptische
Integral
zweiter Gattung sich in der Form darstellen lässt
\[
  -M' \frac{d}{dc_1} H(z, c_1, c_2) + N J(z),
\]
wenn $J(z)$ ein Integral erster Gattung bedeutet. Daraus folgt aber, da
\[
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dJ(z) = 0
\]
ist, für die zwischen den Gränzen $z'_\alpha$ und $z_\alpha$ genommenen
allgemeinen
Integrale zweiter Gattung
\[
\tag{29}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dE(z, c_1)
= -M' \frac{d}{dc_1} \log \left\{
  \frac{ p(c_1) - q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} }
       { p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)} } \right\},
\]
und \emph{daher die Summe dieser gleichartigen $2m$ hyperelliptischen
Integrale
zweiter Gattung, deren untere und obere Gränzen Lösungen
der Gleichungen}
\[
  p^2 - q^2 R(z) = 0,\quad {p_1}^{\!2} - {q_1}^{\!2} R(z) = 0
\]
%-----File: 091.png------------------------------
\emph{sind, rational zusammengesetzt aus den Functionen $p(z)$, $q(z)$,
$p_1(z)$,
$q_1(z)$, $\sqrt{R(z)}$ und deren erster Ableitung für den Punkt $c_1$.}

Da ferner früher gezeigt worden, dass man durch Differentiation
des Integrals zweiter Gattung nach dem Parameter $c_1$ ein
hyperelliptisches
Integral erhält, welches in $c_1$ von der zweiten Ordnung algebraisch
unendlich wird, so wird für eine Reihe gleichartiger Integrale
$E_1(z, c_1)$, welche in $z = c_1$ wie
\[
  \frac{M''}{(z - c_1)^2}
\]
unendlich werden, nach (29) die Beziehung bestehen
\[
\tag{30}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dE_1(z, c_1)
= -\frac{M''}{1} \frac{d^2}{{dc_1}^{\!2}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\};
\]
schliesst man so fort, so \emph{wird sich für hyperelliptische Integrale,
welche in $z = c_1$ algebraisch von der $k^{\text{ten}}$ Ordnung unendlich
werden wie}
\[
  \frac{M^{(k)}}{(z - c_1)^k},
\]
\emph{die Gleichung ergeben}
\[
\tag{31}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dE_{k-1}(z, c_1)
= -\frac{M^{(k)}}{1 · 2 \dotsm (k-1)} \frac{d^k}{{dc_1}^{\!k}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\}.
\]

Stellt man diese Resultate zusammen, so folgt unmittelbar, \emph{dass,
wenn ein hyperelliptisches Integral $J(z, c_1, a)$ in $z = c_1$ unendlich
wird wie}
\[
  A_1 \log(z-c_1) + B_1(z-c_1)^{-1} + C_1(z-c_1)^{-2} + \dotsb
+ M_1(z-c_1)^{-m_1}
\]
\emph{und in $z = a$ wie}
\[
  -A_1 \log(z-a),
\]
nach den vorher aufgestellten Gleichungen mit Berücksichtigung der
verschwindenden Summe der Integrale erster Gattung, \emph{das
\so{Abel}'sche
Theorem für $2m$ gleichartige Integrale folgendermassen lautet:}
\begin{gather*}
\tag{32}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dJ(z, c_1, a)
= A_1 \log
  \left\{ \frac{p(c_1) - q(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p(a)   - q(a)   \varepsilon_1 \sqrt{R(a)}}
 ·
          \frac{p_1(a)   - q_1(a)   \varepsilon_1 \sqrt{R(a)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\}
\displaybreak[1] \\
 -B_1 \frac{d}{{dc_1}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\}
- \frac{C_1}{1} \frac{d^2}{{dc_1}^{\!2}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\}
\displaybreak[1] \\
- \frac{D_1}{1 · 2} \frac{d^3}{{dc_1}^{\!3}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\} - \dotsb
\displaybreak[1] \\
- \frac{M_1}{1 · 2 · (m_1-1)} \frac{d^{m_1}}{{dc_1}^{\!m_1}} \log
  \left\{ \frac{p(c_1)   - q(c_1)   \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
               {p_1(c_1) - q_1(c_1) \varepsilon_1 \sqrt{R(c_1)}}
  \right\}.
\end{gather*}

Bezeichnet man nunmehr mit $J(z, c_1, c_2,\dotsc c_\nu)$ ein
hyperelliptisches Integral, welches in $c_1$ unendlich wird wie
%-----File: 092.png------------------------------
\[
  A_1 \log(z-c_1) + B_1(z-c_1)^{-1} + C_1(z-c_1)^{-2}
+ \dotsb + M_1(z-c_1)^{-m_1},
\]
in $c_2$ wie
\[
  A_2 \log(z-c_2) + B_2(z-c_2)^{-1} + C_2(z-c_2)^{-2}
+ \dotsb + M_2(z-c_2)^{-m_2},
\]
\usw, endlich in $c_\nu$ wie
\[
  A_\nu \log(z-c_\nu) + B_\nu(z-c_\nu)^{-1} + C_\nu(z-c_\nu)^{-2}
+ \dotsb + M_\nu(z-c_\nu)^{-m_\nu},
\]
so wird sich die Summe von $2m$ solchen gleichartigen hyperelliptischen
Integralen, deren obere Gränzen die Lösungen $z_1, z_2, \dotsc z_{2m}$
der
Gleichung
\[
  p^2 - q^2 R(z) = 0,
\]
und deren untere Gränzen $z'_1, z'_2, \dotsc z'_{2m}$ die Lösungen der
Gleichung
\[
  {p_1}^2 - {q_1}^2 R(z) = 0,
\]
sind, worin $p$ und $p_1$ beliebige ganze Polynome $m^{\text{ten}}$
Grades, $q$ und
$q_1$ beliebige ganze Polynome höchstens vom ${m-p-1}^{\text{ten}}$
Grade sind,
nach den früheren Auseinandersetzungen in der folgenden Form darstellen
\begin{align*}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha}
  dJ(z, c_1, c_2, \dotsc c_\nu)
= \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dJ(z, c_1, a)
&+ \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dJ(z, c_2, a)
+ \dotsb  \\
&+ \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha} dJ(z, c_\nu, a),
\end{align*}
wenn $a$ ein willkürlich gewählter Punkt ist, und $J(z, c_\varrho, a)$
ein
Integral bedeutet, welches in $c_\varrho$ unendlich wird wie
\[
  A_\varrho \log(z-c_\varrho) + B_\varrho(z-c_\varrho)^{-1}
+ C_\varrho(z-c_\varrho)^{-2}
+ \dotsb + M_\varrho(z-c_\varrho)^{-m_\varrho}
\]
und in $z = a$ wie
\[
  -A_\varrho \log(z - a).
\]

Wendet man nun die in Gleichung (32) gefundene Beziehung
auf die einzelnen Integrale an, so ergiebt sich die folgende Form
des \so{Abel}'schen Theorems:
\begin{align*}
\tag{33}
  \sum_{\alpha=1}^{2m} \int_{z'_\alpha}^{z_\alpha}
  dJ(z, c_1, c_2, \dotsc c_\nu)
&=\sum_{\varrho=1}^{\nu} A_\varrho
  \log \left\{
    \frac{ p(c_\varrho)
         - q(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
         { p_1(c_\varrho)
         - q_1(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
  \right\}
\\
&-\sum_{\varrho=1}^{\nu} B_\varrho \frac{d}{dc_\varrho}
  \log \left\{
    \frac{ p(c_\varrho)
         - q(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
         { p_1(c_\varrho)
         - q_1(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
  \right\}
\\
&-\sum_{\varrho=1}^{\nu} \frac{C_\varrho}{1}
  \frac{d^2}{dc_\varrho^2} \log \left\{
    \frac{ p(c_\varrho)
         - q(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
         { p_1(c_\varrho)
         - q_1(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
  \right\}\qquad\qquad\qquad
\\
- \dotsb
&-\sum_{\varrho=1}^{\nu} \frac{M_\varrho}{1 · 2\dotsm(m_\varrho-1)}
  \frac{d^{m_\varrho}}{dc_\varrho^{m_\varrho}} \log \rlap{$\left\{
    \dfrac{ p(c_\varrho)
         - q(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
         { p_1(c_\varrho)
         - q_1(c_\varrho) \varepsilon_\varrho \sqrt{R(c_\varrho)}}
  \right\}$,}
\end{align*}
%-----File: 093.png------------------------------
wobei zu beachten, dass der Werth der zu den einzelnen $z$-Werthen
gehörigen Irrationalität durch die Gleichung
\[
  \sqrt{R(\zeta_\alpha)}
= \frac{p(\zeta_\alpha) + \lambda p_1(\zeta_\alpha)}
       {q(\zeta_\alpha) + \lambda q_1(\zeta_\alpha)}
\]
fest bestimmt ist.

Für den Fall, dass die betrachteten Integrale in den Verzweigungspunkten
unendlich werden, sieht man, dass mit Hülfe der in der
dritten Vorlesung aufgestellten Normalformen solcher Integrale die
Resultate nur geringe Modificationen erleiden.

\addtotoc{Andere Interpretation des \so{Abel}'schen Theorems}
Die vorher gewonnenen Resultate lassen sich nun aber noch in
anderer Form aussprechen; wählt man nämlich $2m-p$ Werthe
\[
  z_1, z_2, \dotsc z_{2m-p}
\]
als obere Gränzen und
\[
  z'_1, z'_2, \dotsc z'_{2m-p}
\]
als untere Gränzen beliebig, und bestimmt die Constanten des Ausdruckes
\[
  p(z) - q(z) \sqrt{R(z)},
\]
deren Anzahl, wenn $p(z)$ vom $m^{\text{ten}}$ und $q(z)$ vom
${m-p-1}^{\text{ten}}$ Grade
ist, von der multiplicatorischen Constanten abgesehen $2m-p$ ist,
so, dass
\[
  p(z) - q(z) \sqrt{R(z)} = 0
\]
wird für $z = z_1, z_2, \dotsc z_{2m-p}$, und $\sqrt{R(z)}$ für jeden
dieser Werthe
ein beliebiges, aber fest bestimmtes Zeichen hat, ebenso $p_1(z)$ und
$q_1(z)$ so, dass
\[
  p_1(z) - q_1(z) \sqrt{R(z)} = 0
\]
ist für $z = z'_1, z'_2, \dotsc z'_{2m-p}$, wiederum mit beliebiger,
aber fester
Zuordnung des Wurzelwerthes, so werden die Gleichungen
\[
  p(z)^2 - q(z)^2 R(z) = 0
\]
und
\[
  p_1(z)^2 - q_1(z)^2 R(z) = 0
\]
ausser jenen $2m-p$ Grössen noch $p$ Wurzeln
\[
  z_{2m-p+1}, \dotsc z_{2m}, \text{ resp. }
  z'_{2m-p+1}, \dotsc z'_{2m}
\]
haben, und wenn den Bestimmungsgleichungen gemäss
\[
\tag{a}
  \sqrt{R(z_{2m-p+\alpha})}
= \frac{p(z_{2m-p+\alpha})}{q(z_{2m-p+\alpha})}, \quad
  \sqrt{R(z'_{2m-p+\alpha})}
= \frac{p(z'_{2m-p+\alpha})}{q(z'_{2m-p+\alpha})}
\]
gesetzt wird, so werden für diese $2m$ Werthepaare von $z$ und $z'$ mit
den zugehörigen Wurzelwerthen $\sqrt{R(z)}$ die oben für die
hyperelliptischen
Integrale gefundenen Relationen statthaben, \dh\ es werden
sich jene $2m-p$ gegebenen Integrale zu $p$ hyperelliptischen
Integralen zusammenfassen lassen von algebraisch-logarithmischen Theilen
%-----File: 094.png------------------------------
abgesehen; bemerkt man nun, dass sich die Coefficienten als Unbekannte
linearer Gleichungen rational aus den Werthen
\begin{align*}
  z_1, z_2, \dotsc z_{2m-p},
  \sqrt{R(z_1)}, \sqrt{R(z_2)}, \dotsc \sqrt{R(z_{2m-p})},
\\
  z'_1, z'_2, \dotsc z'_{2m-p},
  \sqrt{R(z'_1)}, \sqrt{R(z'_2)}, \dotsc \sqrt{R(z'_{2m-p})},
\end{align*}
zusammensetzen werden, und dass, wenn in den Gleichungen
\begin{align*}
  p(z)^2 - q(z)^2 R(z) &= C(z-z_1) (z-z_2) \dotsm
  (z-z_{2m-p}) (z-z_{2m-p+1}) \dotsm (z-z_{2m})
\\
  p_1(z)^2 - q_1(z)^2 R(z) &= C_1(z-z'_1) (z-z'_2) \dotsm
  (z-z'_{2m-p}) (z-z'_{2m-p+1}) \dotsm (z-z'_{2m})
\end{align*}
die linken Seiten derselben durch
\[
  (z-z_1) (z-z_2) \dotsm (z-z_{2m-p}) \text{ resp. }
  (z-z'_1) (z-z'_2) \dotsm (z-z'_{2m-p})
\]
dividirt werden, sich
\begin{align*}
  (z-z_{2m-p+1}) \dotsm (z-z_{2m})
= z^p + P_1 z^{p-1}+ \dotsb + P_p = 0
\\
  (z-z'_{2m-p+1}) \dotsm (z-z'_{2m})
= z^p + P'_1 z^{p-1}+ \dotsb + P'_p = 0
\end{align*}
ergiebt, worin vermöge eben dieser Eigenschaft der Coefficienten von
$p(z)$ und $q(z)$, $p_1(z)$ und $q_1(z)$ auch die Grössen
\begin{align*}
  P_1, P_2, \dotsc P_p    \\
  P'_1, P'_2, \dotsc P'_p
\end{align*}
rational aus
\[
  z_1, z_2, \dotsc z_{2m-p},
  \sqrt{R(z_1)}, \sqrt{R(z_2)},\dotsc \sqrt{R(z_{2m-p})},
\]
resp.
\[
  z'_1, z'_2, \dotsc z'_{2m-p},
  \sqrt{R(z'_1)}, \sqrt{R(z'_2)},\dotsc \sqrt{R(z'_{2m-p})},
\]
zusammengesetzt sind, so folgt, dass \emph{sich $2m-p$ gleichartige
hyperelliptische Integrale zu $p$ eben solchen Integralen vereinigen
lassen,
deren Gränzen Lösungen von Gleichungen $p^{\text{ten}}$ Grades sind,
deren
Coefficienten rational aus den eben bezeichneten Grössen zusammengesetzt
sind, und deren Irrationalitäten durch die Gleichungen } (a)
\emph{bestimmt werden, welche dieselben mit Hülfe der willkürlich
angenommenen
Gränzen und Irrationalitäten rational durch die entsprechende
Gränze ausdrücken.}

Ist $p$ eine ungrade Zahl, so sieht man, dass jede ungrade Anzahl
von Integralen auf die feste Zahl von $p$ solchen zurückgeführt werden
kann, und ist $p$ grade, so gilt dasselbe für jede grade Anzahl von
Integralen; ist jedoch $p$ ungrade oder grade, und es soll gezeigt
werden,
dass auch jede grade oder ungrade Anzahl von Integralen auf die
feste Zahl von $p$ solchen reducirt werden kann, so braucht man nur
ein neues Integral zu jener gegebenen graden oder ungraden Anzahl
von Integralen hinzuzunehmen, dessen obere und untere Gränze
derselbe im Endlichen gelegene Verzweigungspunkt von $\sqrt{R(z)}$ ist
\zB\ $\alpha_1$; dann wird einerseits das betreffende Integral wegen
der
Gleichheit der oberen und unteren Gränze herausfallen, andererseits
%-----File: 095.png------------------------------
$z-\alpha_1$ ein Factor von $p(z)$ sein müssen, weil er in $R(z)$
aufgeht,
und somit die obigen Gleichungen, wenn
\begin{alignat*}{2}
  p(z) &= (z-\alpha_1) P(z),&\quad q(z) &= Q(z)   \\
  p_1(z) &= (z-\alpha_1) P_1(z),&\quad q_1(z) &= Q_1(z)
\end{alignat*}
gesetzt wird, in
\begin{align*}
    (z-\alpha_1) P(z)^2 - Q(z)^2 \frac{R(z)}{z-\alpha_1}
&= C (z-z_1) \dotsm (z-z_{2m-p-1}) (z-z_{2m-p+1}) \dotsm
   (z-z_{2m})
\\
    (z-\alpha_1) P_1(z)^2 - Q_1(z)^2 \frac{R(z)}{z-\alpha_1}
&= C_1 (z-z'_1) \dotsm (z-z'_{2m-p-1}) (z-z'_{2m-p+1}) \dotsm
   (z-z'_{2m})
\end{align*}
übergehen, so dass die weiteren oben gemachten Schlüsse dieselben
bleiben, und der Satz daher bestehen bleibt.

Die oben ausgeführte Bestimmung der Coefficienten von $p(z)$
und $q(z)$ bleibt jedoch nur so lange möglich, als die Grössen
\[
  z_1,\; z_2,\; \dotsc\; z_{2m-p}, \text{ resp. }
  z'_1,\; z'_2,\; \dotsc\; z'_{2m-p}
\]
unter einander verschieden waren, da nur dann so viel verschiedene
lineare Gleichungen sich ergeben, als unbestimmte Coefficienten in
$p(z)$ und $q(z)$ eintreten. Sind jedoch $\mu_1$ der $z$-Grössen gleich
$z_1$, $\mu_2$
gleich $z_2, \dotsc \mu_r$ gleich $z_r$, so dass
\[
  \mu_1 + \mu_2 + \dotsb + \mu_r = 2m - p,
\]
ebenso $\mu'_1$ der $z'$-Grössen gleich $z'_1$, $\mu'_2$ gleich $z'_2,
\dotsc \mu'_s$ gleich $z'_s$
(wobei wir voraussetzen wollen, dass keiner der vielfachen $z$-Werthe
ein Nullwerth des Polynoms $R(z)$ ist), so dass auch
\[
  \mu'_1 + \mu'_2 + \dotsb + \mu'_s = 2m - p
\]
ist, so kann man entweder nach der in der ersten Vorlesung
angegebenen Methode verfahren oder auch in folgender Weise: man
bestimme eine ganze Function $f(z)$ vom ${2m-p-1}^{\text{ten}}$ Grade so,
dass für
\[
  z = z_1,\; z = z_2,\; \dotsc\; z = z_r
\]
die Function sowohl als ihre
\[
  \mu_1 - 1,\; \mu_2 - 1,\; \dotsc\; \mu_r - 1
\]
ersten Ableitungen dieselben Werthe haben als für eben diese Argumente
die Function $\sqrt{R(z)}$ und die eben so hohen Ableitungen dieser
Grösse. Diese Aufgabe ist vollständig bestimmt, da der Werth von
$\sqrt{R(z)}$ also auch der aller Ableitungen für jene Specialwerthe als
fest gegeben vorausgesetzt wird, und die Function $f(z)2m-p$ Constanten
besitzt, welche sich durch die vermöge der Identificirung
jener Functionalwerthe und ihrer Ableitungen sich ergebenden
\[
  \mu_1 + \mu_2 + \dotsb + \mu_r = 2m - p
\]
Gleichungen, welche linear in jenen $2m-p$ Constanten sind,
eindeutig bestimmen lassen. Ist nun jene Function $f(z)$ gefunden, wobei
wieder zu bemerken, dass die Coefficienten derselben rational aus
%-----File: 096.png------------------------------
\[
  z_1,\; z_2,\; \dotsc\; z_r,\; \sqrt{R(z_1)},\; \sqrt{R(z_2)},\;
  \dotsc\;
  \sqrt{R(z_r)}
\]
zusammengesetzt sind, so wird die Function
\[
  \Bigl[f(z) - \sqrt{R(z)}\Bigr] \Bigl[f(z) + \sqrt{R(z)}\Bigr] = f(z)^2 -
  R(z)
\]
durch
\[
  (z-z_1)^{\mu_1} (z-z_2)^{\mu_2} \dotsm (z-z_r)^{\mu_r} = \psi(z)
\]
theilbar sein, und sich somit
\[
\tag{34}
  f(z)^2 - R(z) = \psi(z) \psi_1(z)
\]
ergeben. Ist nun $p(z)$ eine Function $m^{\text{ten}}$ und $q(z)$ eine
Function
${m-p-1}^{\text{ten}}$ Grades, die zusammen $2m-p+1$ Constanten haben,
so wird man die Function
\[
  p(z) - q(z) f(z)
\]
so bestimmen können, dass dieselbe für $z = z_1$ nebst ihren $\mu_1-1$
ersten Ableitungen, für $z = z_2$ nebst ihren $\mu_2-1$ ersten
Ableitungen,
endlich für $z = z_r$ mit ihren $\mu_r-1$ ersten Ableitungen verschwindet,

welche Bestimmung wieder $2m-p$ Gleichungen liefert, deren rechte
Seiten Null sind, so dass wieder von der multiplicatorischen
Constanten abgesehen die Functionen $p(z)$ und $q(z)$ vollständig
bestimmt
sind, und
\[
\tag{35}
  p(z) - q(z) f(z) = \psi(z) \psi_2(z)
\]
oder
\[
  \bigl[p(z) - q(z) f(z)\bigr] \bigl[p(z) + q(z) f(z)\bigr] = \psi(z)
  \psi_3(z)
\]
oder
\[
  p(z)^2 - q(z)^2 f(z)^2 = \psi(z) \psi_3(z)
\]
wird, welche Gleichung vermöge (34) in
\[
\tag{36}
  p(z)^2 - q(z)^2 R(z)^2 = \psi(z) \chi(z)
\]
übergeht, worin $\chi(z)$ eine ganze Function von $z$ bedeutet; da aber
$p(z)^2$ von ${2m}^{\text{ten}}$, $q(z)^2 R(z)$ vom
$2m-2p-2 + 2p+1 = {2m-1}^{\text{ten}}$
Grade ist, so folgt, dass $\chi(z)$ vom $p^{\text{ten}}$ Grade sein wird,
und es wird
daher, wenn
\[
  \chi(z) = C(z-z_{2m-p+1}) \dotsm (z-z_{2m})
\]
gesetzt wird, die Gleichung (36) in
\[
\tag{37}
  p(z)^2 -q(z)^2 R(z)
= C (z-z_1)^{\mu_1} \dotsm (z-z_r)^{\mu_r} (z-z_{2m-p+1}) \dotsm
  (z-z_{2m})
\]
übergehen. Ausserdem war aber
\[
  f(z_\alpha) = \sqrt{R(z_\alpha)}
\]
und
\[
  p(z_\alpha) - q(z_\alpha) f(z_\alpha) = 0,
\]
\dh\ es wird
\[
\tag{\DPtypo{30}{38}}
  \sqrt{R(z_\alpha)} = \frac{p(z_\alpha)}{q(z_\alpha)};
\]
ebenso wird man eine Function $m^{\text{ten}}$ Grades $p_1(z)$ und eine
Function
${m-p-1}^{\text{ten}}$ Grades $q_1(z)$ bestimmen können, welche den
Gleichungen
%-----File: 097.png------------------------------
\begin{gather*}
\tag{39}
  p_1(z)^2 - q_1(z)^2 R(z)    \\
= C_1 (z-z'_1)^{\mu'_1} (z-z'_2)^{\mu'_2} \dotsm (z-z'_s)^{\mu'_s}
  (z-z'_{2m-p+1}) \dotsm (z-z'_{2m})
\end{gather*}
und
\[
\tag{40}
  \sqrt{R(z'_\alpha)} = \frac{p_1(z'_\alpha)}{q_1(z'_\alpha)}
\]
genügen, und dies sind wieder die hinreichenden Bedingungen für
das Bestehen der Integralrelationen, so dass sich ebenfalls die $2m-p$
Integrale mit zum Theil gleichen oberen und unteren Gränzen von
einem algebraisch-logarithmischen Theile abgesehen zu $p$ neuen
gleichartigen Integralen zusammensetzen, deren Gränzen wiederum
Lösungen einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades sind, deren Coefficienten
rational
aus den gegebenen Gränzen und Irrationalitäten zusammengesetzt
sind, während ihre Irrationalitäten von eben diesen Grössen und
den zugehörigen Gränzen rational abhängen; es ist zu bemerken,
dass der hinzukommende algebraische Theil, wie früher allgemein
gezeigt worden, eine rationale Function der Gränzen und Irrationalitäten
der gegebenen $2m-p$ Integrale ist, und der Logarithmus
als Argument eine ebensolche Function enthält.
\eoc
%-----File: 098.png------------------------------


\Chapter[Das allgemeine Transformationsproblem etc.]
{Siebente Vorlesung.}
{Das allgemeine Transformationsproblem der hyperelliptischen Integrale.}

\addtotoc{Reduction der allgemeinsten algebraischen Beziehung zwischen
hyperelliptischen Integralen auf eine lineare}

Nachdem wir erwiesen haben, dass einer additiven Verbindung
gleichartiger hyperelliptischer Integrale eine algebraische Beziehung
zwischen den oberen Gränzen dieser Integrale entsprechen kann,
wollen wir unsere Betrachtung auf die allgemeinsten algebraischen
Beziehungen ausdehnen, welche zwischen hyperelliptischen Integralen
überhaupt bestehen können, sie mögen gleichartig oder ungleichartig
sein \dh\ zu derselben oder zu verschiedenen Irrationalitäten gehören,
wenn auch zwischen den Gränzen dieser Integrale algebraische
Beziehungen stattfinden sollen.

Sei
\[
\tag{a}
  F(J_1, J_2, J_3, \dotsc J_n) = 0
\]
irgend ein algebraischer Zusammenhang zwischen einer Reihe im
Allgemeinen verschiedenartiger hyperelliptischer Integrale, deren
Gränzen $z_1, z_2, z_3, \dotsc$ auch wieder algebraisch mit einander
verbunden sein mögen, und nehmen wir an, dass nicht schon zwischen
weniger als $n$ jener Integrale ein algebraischer Zusammenhang mit
ebenfalls algebraisch unter einander verbundenen Gränzen bestehe,
da wir sonst \emph{diesen} Zusammenhang der weiteren Untersuchung zur
Aufstellung der allgemeinsten Form eines solchen zu Grunde legen
würden.

Greifen wir zwei jener in (a) vorkommenden Integrale $J_\alpha$ und
$J_\beta$ heraus und bezeichnen eben jene Relation kurz durch
\[
\tag{b}
  J_\alpha = \varphi(z_1, J_\beta),
\]
wobei in $\varphi$ alle andern Integrale enthalten, nur nicht explicite
angegeben sind, und $z_1$ eine der in der Relation als unabhängige
Variable vorkommenden Gränzen bedeutet, dann folgt durch
Differentiation nach $z_1$
\[
\tag{c}
  \frac{dJ_\alpha}{dz_1}
= \frac{\partial \varphi(z_1, J_\beta)}{\partial z_1}
+ \frac{\partial \varphi(z_1, J_\beta)}{\partial J_\beta}
  \frac{dJ_\beta}{dz_1},
\]
worin sich die erste Differentiation der $\varphi$-Function auf alle
von $z_1$
abhängigen Grössen ausser $J_\beta$ bezieht; bemerkt man nun, dass
\[
  \frac{dJ_\alpha}{dz_1} \text{ und } \frac{dJ_\beta}{dz_1}
\]
nach der Natur der hyperelliptischen Integrale und in Folge der
%-----File: 099.png------------------------------
Annahme, dass die Gränzen in algebraischem Zusammenhange stehen
sollen, algebraische Functionen der unabhängigen Veränderlichen
sind, während auf der rechten Seite der Gleichung (c) im Allgemeinen
sämmtliche Integrale mit Ausnahme von $J_\alpha$ vorkommen, so muss
man, weil angenommen wurde, dass ein algebraischer Zusammenhang
zwischen weniger als $n$ jener Integrale nicht bestehe, schliessen,
dass die Beziehung (c) für jeden beliebigen Werth von $J_\beta$ existirt,
weil sie eine in allen diesen Integralen identische Gleichung
darstellen muss. Setzt man sodann, was hiernach gestattet ist, in diese
Gleichung
\[
  J_\beta + \mu \text{ statt } J_\beta,
\]
worin $\mu$ eine Constante bedeutet, so folgt
\[
\tag{d}
  \frac{dJ_\alpha}{dz_1}
= \frac{\partial \varphi(z_1, J_\beta+\mu)}{\partial z_1}
+ \frac{\partial \varphi(z_1, J_\beta+\mu)}{\partial (J_\beta+\mu)}
  \frac{d(J_\beta+\mu)}{dz_1},
\]
und daher durch Vergleichung von (c) mit (d), da (b) das Integral
von (c) war, als Integral der Gleichung (d)
\[
\tag{e}
  J_\alpha + m = \varphi(z_1, J_\beta+\mu)
\]
worin $m$ eine Constante und zugleich bestimmte Function von $\mu$ ist;
es wird somit, wenn zur Abkürzung
\[
  \varphi(z_1, J_\beta) = \psi(J_\beta)
\]
gesetzt wird,
\[
\tag{f}
  \psi(J_\beta+\mu) = \psi(J_\beta) + m
\]
sein müssen für jeden Werth von $J_\beta$ und für jeden Werth von $\mu$
mit dem zugehörigen Werthe von $m$.

Um zuerst die Art der Abhängigkeit von $m$ und $\mu$ festzustellen,
setzen wir $J_\beta = 0$ und erhalten
\[
  m = \psi(\mu) - \psi(0),
\]
so dass (f) in
\[
  \psi(J_\beta + \mu) = \psi(J_\beta) + \psi(\mu) - \psi(0)
\]
übergeht; differentiirt man diese Gleichung nach $J_\beta$ und $\mu$,
so folgt
\begin{align*}
  \psi'(J_\beta + \mu) &= \psi'(J_\beta)
\\
  \psi'(J_\beta + \mu) &= \psi'(\mu),
\end{align*}
und daher
\[
  \psi'(J_\beta) = \psi'(\mu) \text{ \dh\ } \psi'(J_\beta) = c,
\]
worin $c$ von $z_1$ und den andern Integralen, aber nicht von $J_\beta$
abhängen kann, man findet somit
\[
  \psi(J_\beta) = c J_\beta + c_1,
\]
\dh\ $\psi(J_\beta)$ ist in Bezug auf $J_\beta$ linear. Setzen wir
diesen Werth
in die Gleichung (f) ein, so folgt
\begin{align*}
  c(J_\beta + \mu) + c_1 &= c J_\beta + c_1 + m  \\
\intertext{oder}
                   c \mu &= m,
\end{align*}
\dh\ es ist $c$ eine Constante, und
%-----File: 100.png------------------------------
\begin{quote}
\textit{es wird daher die allgemeinste Form jener algebraischen
Beziehung eine lineare Function der Integrale}
\[
  J_1, J_2, \dotsc J_n
\]
\textit{sein, deren Coefficienten constante, von der Variabeln $z_1$
unabhängige Grössen sind, vermehrt um eine Grösse $u$,
welche von den Integralen frei ist, aber von der Variabeln
$z_1$ (und also auch von den von dieser algebraisch abhängigen
Gränzen der verschiedenen Integrale) algebraisch abhängen
wird, und welche also die Gestalt hat}
\end{quote}
\[
  a_1 J_1 + a_2 J_2 + \dotsb + a_n J_n + u = 0.
\]

\addtotoc{Zurückführung des algebraischen Transformationsproblems auf
das
rationale}
Wir gehen nunmehr auf eine weitere Untersuchung dieser allgemeinen
linearen Beziehung zwischen hyperelliptischen Integralen
ein und sondern in dieser noch diejenigen Integrale aus, welche auf
die logarithmische Transcendente führen, so dass das niedrigste, in
der Relation vorkommende Integral das elliptische sein wird.

Setzen wir
\[
\tag{1} \hspace{\fill}
\begin{array}{l}
  R_{2p+1}^{(\varrho)}(z)
= (z-\alpha_1^{(\varrho)}) (z-\alpha_2^{(\varrho)}) \dotsm
  (z-\alpha_{2p+1}^{(\varrho)}),
\\
  R_{2p-1}^{(\varrho)}(z)
= (z-\beta_1^{(\varrho)}) (z-\beta_2^{(\varrho)}) \dotsm
   (z-\beta_{2p-1}^{(\varrho)}),
\\
\hdotsfor[3]{1}
\end{array}
\]
und verstehen unter
\[
  F\bigl(z, \sqrt{R(z)}\,\bigr)
\]
eine rationale Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$, so sei die zwischen
den
hyperelliptischen Integralen bestehende Relation
\[
\tag{2}
\begin{array}{rllll}
  &\dint^{z_{2p+1}^{(1)}} F_{2p+1}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z)} \right) dz\;
&+&
  \dint^{z_{2p+1}^{(2)}} F_{2p+1}^{(2)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p+1}^{(2)}(z)} \right) dz\; &+ \dotsb \\
&&+&
  \dint^{z_{2p+1}^{(a)}} F_{2p+1}^{(a)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p+1}^{(a)}(z)} \right) dz
\\
+ &\dint^{z_{2p-1}^{(1)}} F_{2p-1}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p-1}^{(1)}(z)} \right) dz
&+&
  \dint^{z_{2p-1}^{(2)}} F_{2p-1}^{(2)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p-1}^{(2)}(z)} \right) dz &+ \dotsb  \\
&&+&
  \dint^{z_{2p-1}^{(b)}} F_{2p-1}^{(b)}
  \left( z, \sqrt{R_{2p-1}^{(b)}(z)} \right) dz
\\
\hdotsfor[3]{5}
\\
+  &\dint^{z_{3}^{(1)}} F_{3}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{R_{3}^{(1)}(z)} \right) dz
&+&
  \dint^{z_{3}^{(2)}} F_{3}^{(2)}
  \left( z, \sqrt{R_{3}^{(2)}(z)} \right) dz &+ \dotsb  \\
&&+&
  \dint^{z_{3}^{(r)}} F_{3}^{(r)}
  \left( z, \sqrt{R_{3}^{(r)}(z)} \right) dz
\end{array}
\]

\[
 = u + A_1 \log v_1 + A_2 \log v_2 + \dotsb + A_\nu \log v_\nu,
\]
%-----File: 101.png------------------------------
worin
\[
  u, v_1, v_2,\dotsc v_\nu
\]
algebraische Functionen von
\[
  z_{2p+1}^{(1)} \dotsc z_{2p+1}^{(a)}, \quad
  z_{2p-1}^{(1)} \dotsc z_{2p-1}^{(b)}, \quad
  \dotsc z_{3   }^{(1)} \dotsc z_{3   }^{(r)},
\]
und
\[
  A_1, A_2, \dotsc A_\nu
\]
Constanten bedeuten; wir nehmen an, dass zwischen den $z$-Grössen
so viel algebraische Beziehungen stattfinden, dass nur
\[
  z_{2p+1}^{(1)} \dotsc z_{2p+1}^{(a)}, \quad
  z_{2p-1}^{(1)} \dotsc z_{2p-1}^{(b)}, \quad
  \dotsc z_{2p-2h+1}^{(1)} \dotsc z_{2p-2h+1}^{(g)},
\]
von einander unabhängig bleiben, und bringen dann die obige
Gleichung auf die Form
\[
\tag{3}
\begin{array}[t]{rl}
  & \dint^{z_{2p+1}^{(1)}} F_{2p+1}^{(1)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z)} \right) dz + \dotsb
\\
+ & \dint^{z_{2p+1}^{(a)}} F_{2p+1}^{(a)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p+1}^{(a)}(z)} \right) dz
\\
+ & \dint^{z_{2p-1}^{(1)}} F_{2p-1}^{(1)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-1}^{(1)}(z)} \right) dz + \dotsb
\\
+ & \dint^{z_{2p-1}^{(b)}} F_{2p-1}^{(b)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-1}^{(b)}(z)} \right) dz
\\
&\hdotsfor[3]{1}
\\
+ & \dint^{z_{2p-2h+1}^{(1)}} F_{2p-2h+1}^{(1)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(1)}(z)} \right) dz + \dotsb
\\
+ & \dint^{z_{2p-2h+1}^{(g)}} F_{2p-2h+1}^{(g)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(g)}(z)} \right) dz
\\
= - & \dint^{z_{2p-2h+1}^{(g+1)}} F_{2p-2h+1}^{(g+1)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(g+1)}(z)} \right) dz - \dotsb
\\
- & \dint^{z_{2p-2h+1}^{(k)}} F_{2p-2h+1}^{(k)}
    \left( z, \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(k)}(z)} \right)dz
\\
&\hdotsfor[3]{1}
\\
- & \dint^{z_{3}^{(1)}} F_{3}^{(1)}
    \left( z, \sqrt{R_{3}^{(1)}(z)} \right) dz - \dotsb
\\
- & \dint^{z_{3}^{(r)}} F_{3}^{(r)}
    \left( z, \sqrt{R_{3}^{(r)}(z)} \right) dz
\\
+ & u + A_1 \log v_1 + \dotsb + A_\nu \log v_\nu,
\end{array}
\]
%-----File: 102.png------------------------------
worin
\[
  z_{2p-2h+1}^{(g+1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(k)}, \dotsc
  z_{3}^{(1)}, \dotsc z_{3}^{(r)}, \;\;u, v_1, v_2, \dotsc v_\nu
\]
algebraische Functionen der oben bezeichneten unabhängigen Variablen
sind.

Es ist leicht zu sehen, dass es eine algebraische Function $t$ der
Grössen
\[
  z_{2p+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p+1}^{(a)},
  z_{2p-1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-1}^{(b)}, \dotsc
  z_{2p-2h+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(g)}
\]
giebt, so beschaffen, dass
\begin{gather*}
  z_{2p-2h+1}^{(g+1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(k)}, \dotsc
  z_{3}^{(1)}, \dotsc z_{3}^{(r)},
\displaybreak[1] \\
\tag{$\alpha$}
  \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g+1)}( z_{2p-2h+1}^{(g+1)}) }, \dotsc
  \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(k  )}( z_{2p-2h+1}^{(k  )}) }, \dotsc
\displaybreak[1] \\
  \sqrt{ R_{3}^{(1)}( z_{3}^{(1)}) }, \dotsc
  \sqrt{ R_{3}^{(r)}( z_{3}^{(r)}) },
  \;\;u, v_1, v_2, \dotsc v_\nu
\end{gather*}
rationale Functionen von
\[
  t, z_{2p+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(g)},
  \sqrt{ R_{2p+1}^{(1)}( z_{2p+1}^{(1)}) }, \dotsc
  \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g)}( z_{2p-2h+1}^{(g)}) }
\]
sind; denn bildet man
\[
\tag{4}
\begin{array}[t]{rll}
  t
& = a_{2p-2h+1}^{(g+1)} z_{2p-2h+1}^{(g+1)} + \dotfill
& + a_{2p-2h+1}^{(k)} z_{2p-2h+1}^{(k)}
\\
& \hdotsfor[3]{2}
\\
& + a_3^{(1)} z_3^{(1)} + \dotfill & + a_3^{(r)} z_3^{(r)}
\\
& + b_{2p-2h+1}^{(g+1)}
    \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g+1)}(z_{2p-2h+1}^{(g+1)}) } + \dotsb
& + b_{2p-2h+1}^{(k)}
    \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(k)}(z_{2p-2h+1}^{(k)}) }
\\
& \hdotsfor[3]{2}
\\
& + b_3^{(1)} \sqrt{ R_3^{(1)}(z_3^{(1)}) } + \dotfill
& + b_3^{(r)} \sqrt{ R_3^{(r)}(z_3^{(r)}) }
\\
& + cu + d_1 v_1 + d_2 v_2 + \dotfill & + d_\nu v_\nu,
\end{array}
\]
worin die $a$, $b$, $c$, $d$ allgemeine Constanten bedeuten, so kann man
diese Grösse als lineare Function der Lösungen einer algebraischen
Gleichung auffassen, deren Coefficienten rationale Functionen von
\[
\tag{$\beta$}
  z_{2p+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p+1}^{(a)},
  z_{2p-1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-1}^{(b)},
  z_{2p-2h+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(g)}
\]
sind, und die man erhält, wenn man alle algebraischen Gleichungen
mit einander multiplicirt, deren Lösungen die Grössen $(\alpha)$ sind,
welche
als algebraische Functionen der Grössen $(\beta)$ vorausgesetzt wurden.
Bildet man nun eine Reihe anderer linearer Functionen von der Form
(4), so kann man bekanntlich alle diese rationalen ähnlichen
Functionen rational durch
\[
\tag{$\gamma$}
  z_{2p+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p+1}^{(a)},
  z_{2p-1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-1}^{(b)},
  \dotsc z_{2p-2h+1}^{(1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(g)}, t
\]
ausdrücken, und wenn man somit soviel lineare Ausdrücke herstellt
als die Anzahl der Grössen $(\alpha)$ beträgt, so wird man mit Hülfe
dieser
%-----File: 103.png------------------------------
linearen Gleichungen jede einzelne dieser Grössen rational durch
die Grössen $(\gamma)$ ausdrücken können. Man denke sich ferner die
die algebraische Function $t$ definirende Gleichung, welche aus der
Form der Grösse $t$ nach (4) bekanntlich durch Permutation aller
Lösungen der oben gebildeten algebraischen Gleichung, deren Lösungen
auch die Grössen $(\alpha)$ sind, leicht hergestellt werden kann, in
Factoren zerlegt, deren Coefficienten nicht bloss rational die Grössen
$(\beta)$ sondern auch die dazu gehörigen Irrationalitäten
\begin{align*}
\tag{$\delta$}
  \sqrt{ R_{2p   +1}^{(1)} (z_{2p   +1}^{(1)}) },  \dotsc
  \sqrt{ R_{2p   +1}^{(a)} (z_{2p   +1}^{(a)}) },  \dotsc
& \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(1)} (z_{2p-2h+1}^{(1)}) },  \dotsc   \\
 \dotsc &\sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g)} (z_{2p-2h+1}^{(g)}) }
\end{align*}
enthalten dürfen, und den irreductiblen Factor herausgewählt und
gleich Null gesetzt, der $t$ zu einer seiner Lösungen hat,
\[
\tag{5}
   V = 0,
\]
so dass $t$ nicht mehr die Lösung einer Gleichung niederen Grades
sein kann, deren Coefficienten ebenfalls rational aus den Grössen
$(\beta)$
und $(\delta)$ zusammengesetzt sind. Differentiirt man nunmehr die
Gleichung (2) total, indem man die Grössen $(\beta)$ als unabhängige
Variablen
betrachtet, so wird man eine Gleichung von der Form
\begin{align*}
\tag{6}
  P_{2p   +1}^{(1)} dz_{2p   +1}^{(1)} + \dotsb
+ P_{2p   +1}^{(a)} dz_{2p   +1}^{(a)} + \dotsb
&+ P_{2p-2h+1}^{(1)} dz_{2p-2h+1}^{(1)} + \dotsb    \\
&+ P_{2p-2h+1}^{(g)} dz_{2p-2h+1}^{(g)} = 0
\end{align*}
erhalten, in welcher nach dem Obigen die Grössen $P$ als rationale
Functionen der Grössen $(\gamma)$ und $(\delta)$ betrachtet werden dürfen,
und
es wird sich als unmittelbare Folge von (6)
\[
\tag{7}
  P_{2p   +1}^{(1)} = 0, \dotsc
 P_{2p   +1}^{(a)} = 0, \dotsc
 P_{2p-2h+1}^{(1)} = 0, \dotsc
 P_{2p-2h+1}^{(g)} = 0
\]
ergeben. Da nun die einzelnen Gleichungen in (7) als Gleichungen
in $t$ aufgefasst werden dürfen, deren Coefficienten rationale Funktionen
der Grössen $(\beta)$ und $(\delta)$ sind, und die Gleichung (5)
irreductibel
war, so müssen sämmtliche Lösungen der Gleichung (5), welche wir
jetzt mit
\[
  t_1, t_2, \dotsc t_\delta
\]
bezeichnen wollen, und unter welchen das frühere $t$ mit enthalten ist,
den Gleichungen (7) genügen. Da nun aber aus den Gleichungen (7)
die Beziehung (6) unmittelbar folgt, so wird auch, wenn man die zu
$t_\alpha$ gehörigen Werthe der Grössen $(\alpha)$ mit
\begin{gather*}
  \tern{z}{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1}, \dotsc
  \tern{z}{(\alpha)}{(k)}{2p-2h+1}, \dotsc
  \tern{z}{(\alpha)}{(1)}{3}, \dotsc
  \tern{z}{(\alpha)}{(r)}{3},
\\
\tag{$\varepsilon$}
  \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g+1)}\tern{z}{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1})  } ,
  \dotsc
  \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(k)}
         (\tern{z}{(\alpha)}{(k)}{2p-2h+1})     }, \dotsc
  \sqrt{ R_{3}^{(1)} (\tern{z}{(\alpha)}{(1)}{3}) }, \dotsc
  \sqrt{ R_{3}^{(r)} (z_{(r)}) },
\\
  \tern{u}{(\alpha)}{}{\phantom1 }{},
  \tern{v}{(\alpha)}{}{1},
  \tern{v}{(\alpha)}{}{2}, \dotsc
  \tern{v}{(\alpha)}{}{\nu}
\end{gather*}
%-----File: 104.png------------------------------
bezeichnet, für diesen neuen Grössencomplex die Gleichung (3) gelten
müssen, und wenn man daher die so entstehenden $\delta$ Gleichungen
addirt, die Beziehung folgen
\[
\tag{8}
\begin{array}[t]{rl}
\delta &
\Biggl\{
  \ds\int^{z^{(1)}_{2p+1}} F^{(1)}_{2p+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(1)}_{2p+1}(z)} \right)dz + \dotsb
\\
&+\ds\int^{z^{(a)}_{2p+1}} F^{(a)}_{2p+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(a)}_{2p+1}(z)} \right)dz
\\
&\hdotsfor[3]{1}
\\
&+\ds\int^{z^{(1)}_{2p-2h+1}} F^{(1)}_{2p-2h+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(1)}_{2p-2h+1}(z)} \right)dz + \dotsb
\\
&+  \ds\int^{z^{(g)}_{2p-2h+1}} F^{(g)}_{2p-2h+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(g)}_{2p-2h+1}(z)} \right)dz\Biggr\}
\\
=&-\ds\sum_{\alpha =1}^{\delta}
  \izzz{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1}{(g+1)}
  F^{(g+1)}_{2p-2h+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(g+1)}_{2p-2h+1}(z)} \right)dz -\dots
\\
&-\ds\sum_{\alpha =1}^{\delta}
  \izzz{(\alpha)}{(k)}{2p-2h+1}
  F^{(k)}_{2p-2h+1}
  \left( z,\sqrt{R^{(k)}_{2p-2h+1}(z)} \right)dz
\\
&\hdotsfor[3]{1}
\\
&-\ds\sum_{\alpha =1}^{\delta}
  \izzz{(\alpha)}{(1)}3
  F^{(1)}_{3}
  \left( z,\sqrt{R^{(1)}_{3}(z)} \right)dz - \dotsb
\\
&-\ds\sum_{\alpha =1}^{\delta}
  \izzz{(\alpha)}{(r)}3
  F^{(r)}_{3}
  \left(z,\sqrt{R^{(r)}_{3}(z)}\right)dz
\\
&+\dsum_{\alpha=1}^{\delta}\,  \overset{(\alpha)}{u}
+ A_1 \dsum_{\alpha=1}^{\delta}\log\tern{v}{(\alpha)}{}{1} + \dotsb
+
A_{\nu}\ds\sum_{\alpha=1}^{\delta}\log\tern{v}{(\alpha)}{}{\nu}.
 \end{array}
\]

Es ist klar, dass
\[   \sum_{\alpha =1}^{\delta}\,\overset{(\alpha)}{u}=u'\]
als symmetrische Function von
\[ t_1, t_2, \dotsc t_{\delta},\]
deren Coefficienten rationale Functionen der Grössen $(\beta)$ sind,
sich
rational durch die Coefficienten der Gleichung (5) ausdrücken lässt,
deren Lösungen jene Grössen vorstellen, und dass daher jene Summe
eine rationale Function der Grössen $(\beta)$ und $(\delta)$ sein wird;
dasselbe
gilt von der Grösse
\[
  \tern{v}{(1)}{}{\sigma}  ·
  \tern{v}{(2)}{}{\sigma} \dotsm
  \tern{v}{(\delta)}{}{\sigma}= v'_{\sigma}.
 \]

Was nun die auf der rechten Seite der obigen Gleichung befindlichen
%-----File: 105.png------------------------------
Summen gleichartiger hyperelliptischer Integrale betrifft, so
wollen wir die beiden Fälle unterscheiden, in denen in dem Ausdruck
\[
  \sum_{\alpha=1}^{\delta}
  \izzz{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1}
  F_{2p-2s+1}^{(m)} \left( z, \sqrt{R_{2p-2s+1}^{(m)}(z)} \right) dz
\]
$\delta > p-s$ oder $\delta \leqq p-s$ ist. Wenn das erstere der Fall,
so lässt
sich die Summe dieser Integrale mittels des \so{Abel}'schen Theorems
in die Summe von $p-s$ Integralen verwandeln, deren Gränzen die
Lösungen einer Gleichung vom $(p-s)^{\text{ten}}$ Grade sind, deren
Coefficienten
rational und symmetrisch aus den Grössen
\[
  \tern{z}{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1} \text{ und }
  \sqrt{R_{2p-2s+1}^{(m)} (\tern{z}{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1})},
\]
also auch nach dem Obigen rational und symmetrisch aus den Grössen
$(\beta)$ und
\[
  t_1,\ t_2,\ \dotsc\ t_\delta
\]
zusammengesetzt sind und sich daher vermöge der Gleichung~(5)
rational durch die Grössen $(\beta)$ und $(\delta)$ ausdrücken lassen,
während
die zugehörigen Irrationalitäten mit Hülfe dieser Grössen rational mit
den entsprechenden oberen Gränzen zusammenhängen. Ist dagegen
$\delta \leqq p-s$, so kann man jedenfalls die Grössen
\[
  \tern{z}{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1}
\]
als Lösungen einer Gleichung des $\delta^{\text{ten}}$ Grades betrachten,
deren
Coefficienten rational und symmetrisch aus den Grössen $(\beta)$ und
$t_1$, $t_2$, $\dotsc\ t_\delta$ zusammengesetzt sind und sich daher
wieder rational
durch die Grössen $(\beta)$ und $(\delta)$ ausdrücken lassen, während
\[
  \tern{z}{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1}
  \text{ und }
  \sqrt{R_{2p-2s+1}^{(m)} (\tern{z}{(\alpha)}{(m)}{2p-2s+1})}
\]
als ähnliche rationale Functionen der Lösungen der Gleichung~(5)
aufgefasst werden können, da jede Vertauschung der $t$-Lösungen eine
gemeinsame Aenderung der beiden Grössen hervorbringt, und somit
die zweite der beiden Grössen sich mit Hülfe der Grössen $(\beta)$ und
$(\delta)$ rational durch die erste ausdrücken lassen wird. In allen
Fällen
also (indem wir die Gleichung niederen Grades als eine höheren
Grades mit verschwindenden Coefficienten betrachten) wird sich je
eine Summe der rechten Seite in eine Summe von $p-s$ gleichartigen
hyperelliptischen Integralen verwandeln lassen, deren Gränzen Lösungen
einer Gleichung $(p-s)^{\text{ten}}$ Grades sind, deren Coefficienten
rational
aus den Grössen $(\beta)$ und $(\delta)$ zusammengesetzt sind, und deren
Irrationalitäten mit Hülfe eben dieser Grössen durch die resp.\ Gränzen
rational ausdrückbar sind. Es folgt somit, dass, \emph{wenn man die
Gleichung~$(3)$ dadurch befriedigen kann, dass die Grössen}
%-----File: 106.png------------------------------
\[
  z_{2p-2h+1}^{(g+1)}, \dotsc z_{2p-2h+1}^{(k)}, \dotsc
  z_{3}^{(1)}, \dotsc z_{3}^{(r)},
  \;\;u,\ v_1,\ \dotsc v_\nu
\]
\emph{algebraische Functionen der Grössen $(\beta)$ sind, man die
Gleichung}
\[
\tag{9}
\begin{array}[t]{rl}
 &\delta \Biggl\{
  \dint^{ z_{2p+1}^{(1)} } F_{2p+1}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p+1}^{(1)}(z) } \right) dz + \dotsb
\\
+&\dint^{ z_{2p+1}^{(a)} } F_{2p+1}^{(a)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p+1}^{(a)}(z) } \right) dz
\\ \hdotsfor[3]{2}  \\
+&\dint^{ z_{2p-2h+1}^{(1)} } F_{2p-2h+1}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(1)}(z) } \right) dz + \dotsb
\\
+&\dint^{ z_{2p-2h+1}^{(g)} } F_{2p-2h+1}^{(g)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g)}(z) } \right) dz \Biggr\}
\\
=-&\dsum_{\alpha=1}^{p-h}
  \izzz{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1}
  F_{2p-2h+1}^{(g+1)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(g+1)}(z) } \right) dz - \dotsb
\\
-&\dsum_{\alpha=1}^{p-h}
  \izzz{(\alpha)}{(k)}{2p-2h+1}
  F_{2p-2h+1}^{(k)}
  \left( z, \sqrt{ R_{2p-2h+1}^{(k)}(z) } \right) dz \\
-&\dsum_{\alpha=1}^{1}
  \izzz{(\alpha)}{(1)}{3}
  F_{3}^{(1)}
  \left( z, \sqrt{ R_{3}^{(1)}(z) } \right) dz - \dotsb
\\
-&\dsum_{\alpha=1}^{1}
  \izzz{(\alpha)}{(r)}{3}
  F_{3}^{(r)}
  \left( z, \sqrt{ R_{3}^{(r)}(z) } \right) dz
\\
&+ U + B_1\log V_1 + B_2\log V_2 + \dotsb + B_\varrho \log V_\varrho,
\end{array}
\]
\emph{in welcher die von der Addition der hyperelliptischen Integrale
herrührenden algebraisch-logarithmischen Theile mit den $u'$ und $v'$
vereinigt sind, und deren linke Seite das $\delta$-fache der linken
Seite von $(3)$,
deren rechte Seite dieselben hyperelliptischen Integrale nur für andere
obere Gränzen enthält, dadurch muss befriedigen können, dass die zu
je einer Summe gehörigen $z$-Werthe Lösungen von Gleichungen des
durch die obere Gränze des Summationszeichens gegebenen Grades
sind, deren Coefficienten rational aus den Grössen $(\beta)$ und
$(\delta)$
zusammengesetzt sind, und dass die zugehörigen Irrationalitäten sich mit
Hülfe eben dieser Grössen durch die resp.\ $z$-Werthe rational
ausdrücken,
während}
\[
  U,\ V_1,\ V_2,\ \dotsc V_\varrho
\]
\emph{rationale Functionen eben dieser Grössen sind.}

Wir können die Reduction des Problems jedoch noch weiter
%-----File: 107.png------------------------------
führen. Zuerst ist nämlich ersichtlich, dass man von den unabhängigen
Variablen
\[
  z^{(1)}_{2p+1}, \dotsc z^{(\alpha)}_{2p+1}, \dotsc
  z^{(1)}_{2p-2h+1}, \dotsc z^{(g)}_{2p-2h+1}
\]
alle mit Ausnahme einer, \zB\ $z^{(1)}_{2p+1}$ den resp.\ unteren
Gränzen
gleichsetzen kann, so dass auf der linken Seite der Gleichung (9)
nur \emph{ein} solches Integral stehen bleibt, und dass umgekehrt, wenn
jedes der links stehenden Integrale sich in der verlangten Weise
transformirt, die Zusammensetzung aller dieser Beziehungen eine
Gleichung von der Form (9) liefern wird, wie aus dem \so{Abel}'schen
Theorem hervorgeht, so dass wir die Untersuchung nur auf den Fall
zu beschränken haben, dass
\[
\tag{10}
\begin{array}[t]{rl}
 &\delta \dint^{z^{(1)}_{2p+1}} F^{(1)}_{2p+1}
  \left( z, \sqrt{R^{(  1)}_{2p   +1}(z)} \right) dz
\\
=-&\dsum_{\alpha=1}^{p-h}
  \izeta{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1}
  F^{(g+1)}_{2p-2h+1}
  \left( z, \sqrt{R^{(g+1)}_{2p-2h+1}(z)} \right) dz - \dotsb
\\
 -&\dsum_{\alpha=1}^{p-h}
  \izeta{(\alpha)}{(k)}{2p-2h+1}
  F^{(k  )}_{2p-2h+1}
  \left( z, \sqrt{R^{(k  )}_{2p-2h+1}(z)} \right) dz
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 -&\dsum_{\alpha=1}^{1}
  \izeta{(\alpha)}{(1)}{3}
  F^{(1)}_{3} \left( z, \sqrt{R^{(1)}_{3}(z)} \right) dz - \dotsb
\\
 -&\dsum_{\alpha=1}^{1}
  \izeta{(\alpha)}{(r)}{3}
  F^{(r)}_{3} \left( z, \sqrt{R^{(r)}_{3}(z)} \right) dz
\\
 +& U' + B'_1 \log V'_1 + B'_2 \log V'_2 + \dotsb
  + B'_\varrho \log V'_\varrho
\end{array}
\]
ist, worin die zu je einer Summe gehörigen $\zeta$-Werthe Lösungen von
Gleichungen des durch die obere Gränze des Summationszeichens
gegebenen Grades sind, deren Coefficienten rational aus den Grössen
\[
z^{(1)}_{2p+1} \text{ und } \sqrt{R^{(1)}_{2p+1} (z^{(1)}_{2p+1})}
\]
zusammengesetzt sind, und die Irrationalitäten sich mit Hülfe eben
dieser Grössen rational durch die zugehörige $\zeta$-Grösse ausdrücken
lassen, während
\[
  U', V'_1, V'_2, \dotsc V'_\sigma
\]
rationale Functionen eben dieser Grössen sind.

Zur weiteren Behandlung des Transformationsproblems ist es
nöthig, die Eigenschaften solcher Werthereihen näher kennen zu
%-----File: 108.png------------------------------
lernen, welche wir der Kürze halber, wenn $R_1(y)$ ein Polynom
${(2\sigma+1)}^{\text{ten}}$ Grades in $y$ bedeutet, mit
\begin{align*}
  y_1, y_2 &\dotsc y_\sigma   \\
  \sqrt{R_1(y_1)}, \sqrt{R_1(y_2)}, &\dotsc \sqrt{R_1(y_\sigma)},
\end{align*}
bezeichnen, und von denen wir voraussetzen, dass die erste dieser
Reihen die Lösungen einer Gleichung des $\sigma^{\text{ten}}$ Grades
vorstellt, deren
Coefficienten rationale Functionen von
\[
  z_{2p+1}^{(1)} \text{ und } \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z_{2p+1}^{(1)})}
\]
sind, die wir hier der Kürze halber mit
\[
  z_1 \text{ und } \sqrt{R(z_1)}
\]
bezeichnen wollen, während die Glieder der zweiten Reihe sich mit
Hülfe eben dieser Grössen durch die resp.\ $y$ rational ausdrücken
lassen. Sei jene algebraische Gleichung
\[
\tag{11}
  y^\sigma
+ f_1         \big( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\big) y^{\sigma-1} + \dotsb
+ f_{\sigma-1}\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr) y
+ f_\sigma    \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr) = 0,
\]
in welcher
\[
  f_1      \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr),
  \;f_2      \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr), \;\dotsc
  f_\sigma \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr)
\]
rationale Functionen der in ihnen enthaltenen Grössen bedeuten, so
folgt durch Differentiation nach $z_1$, indem man $y$ successive
$y_1, y_2, \dotsc y_\sigma$
gleichsetzt,
\[
\tag{12}
\begin{array}{r}
  dy_1      = F\bigl( y_1,      z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr) \;dz_1, \\
  dy_2      = F\bigl( y_2,      z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr) \;dz_1, \\
  \hdotsfor[3]{1} \\
  dy_\sigma = F\bigl( y_\sigma, z_1, \sqrt{R(z_1)} \,\bigr) \;dz_1, \\
\end{array}
\]
worin $F$ eine rationale Function der in ihr enthaltenen Grössen
bedeutet, und in Folge dessen, wenn
\[
  a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + \dotsb + a_{\sigma-1} y^{\sigma-1} = f(y)
\]
gesetzt wird,
\[
\tag{13}
  \frac{f(y_1     )dy_1     }{\sqrt{R_1(y_1     )}}
+ \frac{f(y_2     )dy_2     }{\sqrt{R_1(y_2     )}} + \dotsb
+ \frac{f(y_\sigma)dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
= \sum_{\alpha=1}^\sigma
  \frac{f(y_\alpha) F\bigl( y_\alpha, z_1, \sqrt{R_1(z_1)} \,\bigr)}
       {\sqrt{R_1(y_\alpha)}}\ dz_1.
\]
Da nun der Voraussetzung nach $\sqrt{R_1(y_\alpha)}$ sich mit Hülfe der
Grössen
$z_1$ und $\sqrt{R(z_1)}$ rational durch $y_\alpha$ ausdrücken lässt,
so wird die rechte
Seite der Gleichung $(13)$ eine rationale symmetrische Function von
\[
  y_1, y_2, \dotsc y_\sigma
\]
sein und sich somit mit Hülfe von Gleichung~(11) rational durch $z_1$
und $\sqrt{R(z_1)}$ ausdrücken lassen, so dass sich
%-----File: 109.png------------------------------
\[
\tag{14}
  \frac{f(y_1) dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \frac{f(y_2) dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotsb
+ \frac{f(y_\sigma) dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
= \varphi\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) dz_1
\]
ergiebt, worin
\[
  \varphi\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr)
\]
eine rationale Function der in ihr enthaltenen Grössen bedeutet. Die
Integration der linken Seite wird nur Integrale erster Gattung liefern,
also nie einen unendlich grossen Werth annehmen können, dasselbe
muss also mit der rechten Seite der Fall sein und daher nach der
früher aufgestellten allgemeinen Form des Integrales erster Gattung,
da $R(z_1)$ vom ${(2p+1)}^{\text{ten}}$ Grade sein sollte, wenn
\[
  A_0 + A_1 z_1 + A_2 z_1^2 + \dotsb + A_{p-1} z_1^{p-1} = F(z_1)
\]
gesetzt wird,
\[
\tag{15}
  \dfrac{f(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{f(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotsb
+ \dfrac{f(y_\sigma) \,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
= \dfrac{F(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R_1(z_1)}}
\]
sein, oder durch Specialisirung der Constanten $a_0, a_1, \dotsc
a_{\sigma-1}$,
\[
\tag{16}
\begin{array}{rcccl}
  \dfrac{dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
&=& \dfrac{F_0(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}},
\\[10pt]
  \dfrac{y_1 dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{y_2 dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{y_\sigma dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
&=& \dfrac{F_1(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}},
\\   \hdotsfor[3]{5}   \\
  \dfrac{y_1^{\sigma-1} dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{y_2^{\sigma-1} dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{y_\sigma^{\sigma-1} dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
&=& \dfrac{F_{\sigma-1}(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}},
\end{array}
\]
und \emph{es ist somit das allgemeine Transformationsproblem auf die
Untersuchung solcher Gleichungen $(11)$ zurückgeführt, vermöge welcher
ein
Gleichungssystem von der Form $(16)$ erfüllt wird.}

\addtotoc{Reduction des allgemeinen Problems auf das rationale
Transformationsproblem der Integrale erster Gattung}
Bevor wir zur Untersuchung des allgemeinen Transformationsproblems
zurückkehren, mag die Reduction des Problems noch so
weit geführt werden, wie es wieder in der rationalen
Transformationstheorie aufzunehmen ist. Nehmen wir nämlich an, dass im
Allgemeinen $\sigma$ nicht kleiner als $p$ ist, \dh\ dass man es nicht
mit
einem hyperelliptischen Integrale zu thun hat, das auf Integrale
niederer Gattung reducirbar ist, so wird man, wie leicht zu sehen,
die Coefficienten $a_0, a_1,\dotsc a_{\sigma-1}$ so bestimmen können,
dass $F(z_1)$
successive die Werthe
\[
  1, z_1, z_1^2, \dotsc z_1^{p-1}
\]
annimmt, und wenn man die zugehörigen $f$-Functionen mit
\[
  f_0(y), f_1(y), \dotsc f_{p-1}(y)
\]
bezeichnet, so folgt
%-----File: 110.png------------------------------
\[
\tag{17}
\begin{array}{rcccl}
  \dfrac{dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&=& \dfrac{f_0(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}} + \dfrac{f_0(y_2)
\,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb +& \dfrac{f_0(y_\sigma)
\,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}} ,
\\[10pt]
  \dfrac{z_1 dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&=& \dfrac{f_1(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}} + \dfrac{f_1(y_2)
\,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb +& \dfrac{f_1(y_\sigma)
\,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}} ,
\\   \hdotsfor[3]{5}   \\
  \dfrac{z_1^{p-1} dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&=& \dfrac{f_{p-1}(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}} + \dfrac{f_{p-1}(y_2)
\,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb +& \dfrac{f_{p-1}(y_\sigma)
\,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}.
\end{array}
\]

Führt man nun $p-1$ neue Variable ein
\[
  z_2,\, z_3,\, \dotsc z_p,
\]
denen nach Gleichung (11) die Werthereihen
\[
\begin{array}{lll}
  y'_1,        & \quad y'_2,        & \quad \cdots\; y'_\sigma,   \\
  y''_1,       & \quad y''_2,       & \quad \cdots\; y''_\sigma,  \\
\hdotsfor[3]{3}   \\
  y_1^{(p-1)}, & \quad y_2^{(p-1)}, & \quad \cdots\; y_\sigma^{(p-1)}
\end{array}
\]
entsprechen mögen, während die zugehörigen Irrationalitäten aus den
früheren Ausdrücken nur durch Vertauschung der $y$ hergeleitet
werden, so werden wir $p-1$ dem Systeme (17) analoge
Gleichungssysteme aufstellen können, in denen die $f$-Functionen
dieselben sind. Addirt man der Reihe nach alle ersten, zweiten,
$\dotsc p^{\text{ten}}$ Gleichungen, so werden sich nach dem
\so{Abel}'schen Theorem für die rechten Seiten dieser Gleichungen
die folgenden Formen ergeben
\[
\begin{array}{rlll}
  & \dfrac{f_r(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
& + \dfrac{f_r(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotfill & +
\dfrac{f_r(y_\sigma) \,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
\\[15pt]
+ & \dfrac{f_r(y'_1) \,dy'_1}{\sqrt{R_1(y'_1)}} & + \dfrac{f_r(y'_2)
\,dy'_2}{\sqrt{R_1(y'_2)}} + \dotfill & + \dfrac{f_r(y'_\sigma)
\,dy'_\sigma}{\sqrt{R_1(y'_\sigma)}}
\\   \hdotsfor[3]{4}   \\
+ & \dfrac{       f_r\bigl( y_1^{(p-1)} \bigr) \,dy_1^{(p-1)} }
         { \sqrt{R_1\bigl( y_1^{(p-1)} \bigr)}             }
& + \dfrac{       f_r\bigl( y_2^{(p-1)} \bigr) \,dy_2^{(p-1)} }
         { \sqrt{R_1\bigl( y_2^{(p-1)} \bigr)}             } + \dotsb
& + \dfrac{       f_r\bigl( y_\sigma^{(p-1)} \bigr)
\,dy_\sigma^{(p-1)} }
         { \sqrt{R_1\bigl( y_\sigma^{(p-1)} \bigr)}                  }
\\[20pt]
= & \dfrac{f_r(Y_1) \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}} & + \dfrac{f_r(Y_2)
\,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} + \dotfill & + \dfrac{f_r(Y_\sigma)
\,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}} ,
\end{array}
\]
in denen
\[
  Y_1,\, Y_2,\, \dotsc Y_\sigma
\]
die Lösungen einer Gleichung $\sigma^{\text{ten}}$ Grades sind,
deren Coefficienten rational und symmetrisch aus allen Grössen $y$
und den dazu gehörigen Irrationalitäten zusammengesetzt sind und
sich daher nach dem Früheren rational und symmetrisch durch
\[
  z_1,\, z_2,\, \dotsc z_p,\, \sqrt{R(z_1)},\, \sqrt{R(z_2)},\,  \dotsc
  \sqrt{R(z_p)}
\]
ausdrücken lassen, während die zugehörigen Irrationalitäten mit
Hülfe eben dieser Grössen rational durch die $Y$ ausdrückbar sind.
%-----File: 111.png------------------------------

Fassen wir diese Resultate zusammen, so führt das allgemeine
Transformationsproblem auf die Differentialgleichungen:
\[
\tag{18}
\begin{array}{rccccl}
& \dfrac{dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&+& \dfrac{dz_2}{\sqrt{R(z_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{dz_p}{\sqrt{R(z_p)}}
\\[10pt]
=&\dfrac{f_0(Y_1) \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}}
&+& \dfrac{f_0(Y_2) \,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{f_0(Y_\sigma) \,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}} ,
\\[10pt]
 &\dfrac{z_1 \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&+& \dfrac{z_2 \,dz_2}{\sqrt{R(z_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{z_p \,dz_p}{\sqrt{R(z_p)}}
\\[10pt]
=&\dfrac{f_1(Y_1) \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}}
&+& \dfrac{f_1(Y_2) \,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{f_1(Y_\sigma) \,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}} ,
\\
 \hdotsfor[3]{6}
\\
 &\dfrac{z_1^{p-1} dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
&+& \dfrac{z_2^{p-1} dz_2}{\sqrt{R(z_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{z_p^{p-1} dz_p}{\sqrt{R(z_p)}}
\\[10pt]
=&\dfrac{f_{p-1}(Y_1) \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}}
&+& \dfrac{f_{p-1}(Y_2) \,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} &+ \dotsb
+& \dfrac{f_{p-1}(Y_\sigma) \,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}} ,
\end{array}
\]
\emph{in welchen}
\[
  Y_1, Y_2, \dotsc Y_\sigma
\]
\emph{die Lösungen einer Gleichung $\sigma^{\mathit{ten}}$ Grades sein
sollen, deren
Coefficienten rational und symmetrisch aus}
\[
  z_1, z_2, \dotsc z_p,
  \sqrt{R(z_1)}, \sqrt{R(z_2)}, \dotsc \sqrt{R(z_p)}
\]
\emph{zusammengesetzt sind, während die zugehörigen Irrationalitäten mit
Hülfe eben dieser Grössen rational mit den resp.\ $Y$ zusammenhängen.}

Endlich mag noch der folgenden Vereinfachung des durch die
Gleichungen (16) dargestellten Transformationsproblems Erwähnung
geschehen, welche die entsprechende Vereinfachung des durch die
Gleichungen (18) ausgedrückten nach sich zieht, und welche sowohl
für die allgemeine Transformationstheorie als auch für die
Behandlung der Frage der Integralrechnung, welche hyperelliptischen
Integrale
irgend einer Ordnung auf solche niederer Ordnung reducirbar sind,
von Wichtigkeit ist.

Greifen wir eine der Gleichungen des Systemes (16) heraus
\[
\tag{19}
  \frac{y_1^k \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \frac{y_2^k \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotsb
+ \frac{y_\sigma^k \,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
= \frac{F_k(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}},
\]
für welche die Grössen
\[
  y_1, y_2, \dotsc y_\sigma
\]
Lösungen der Gleichung
\[
\tag{20}
  y^\sigma
+ f_1     \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y^{\sigma-1} + \dotsb
+ f_\sigma\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) = 0
\]
sind, während die zu ihnen gehörigen Irrationalitäten durch die in
den angegebenen Grössen rationalen Functionalausdrücke von der Form
%-----File: 112.png------------------------------
\[
\tag{21}
  \sqrt{R_1(y_r)} = \varphi\bigl( y_r, z_1, \sqrt{R_1(z_1)} \bigr)
\]
bestimmt sind, so werden, wenn wir
\[
  -\sqrt{R_1(z_1)}\quad \text{statt}\quad \sqrt{R_1(z_1)}
\]
setzen, die Lösungen der Gleichung (20) $y_1, y_2, \dotsc y_\sigma$
in die
Lösungen der Gleichung
\[
\tag{22}
  \eta^\sigma + f_1\bigl( z_1, -\sqrt{R_1(z_1)} \bigr) \eta^{\sigma-1}
+ \dotsb + f^\sigma\bigl( z_1, -\sqrt{R_1(z_1)} \bigr) = 0
\]
übergehen, welche wir mit
\[
  \eta_1, \eta_2, \dotsc \eta_\sigma
\]
bezeichnen wollen, während die zugehörigen Irrationalitäten durch
die Gleichung
\[
\tag{23}
  \sqrt{R(\eta_r)}
= \varphi\bigl( \eta_r, z_1, -\sqrt{R_1(z_1)} \bigr)
\]
bestimmt sein werden, und wenn wir die so entstehende
Differentialgleichung
\[
\tag{24}
  \frac{\eta_1^k \,d\eta_1}{\sqrt{R_1(\eta_1)}}
+ \frac{\eta_2^k \,d\eta_2}{\sqrt{R_1(\eta_2)}} + \dotsb
+ \frac{\eta_\sigma^k \,d\eta_\sigma}{\sqrt{R_1(\eta_\sigma)}}
=-\frac{F_k(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
\]
durch Subtraction mit der Gleichung (19) verbinden, so folgt die
Beziehung
\[
\tag{25}
\begin{aligned}
 &\frac{y_1^k \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \frac{y_2^k \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotsb
+ \frac{y_\sigma^k \,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_\sigma)}}
\\
-&\frac{\eta_1^k \,d\eta_1}{\sqrt{R_1(\eta_1)}}
- \frac{\eta_2^k \,d\eta_2}{\sqrt{R_1(\eta_2)}} - \dotsb
- \frac{\eta_\sigma^k \,d\eta_\sigma}{\sqrt{R_1(\eta_\sigma)}}
\end{aligned}
=2\frac{F_k(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R_1(z_1)}} ,
\]
die nunmehr genauer untersucht werden soll.

Ist $\sigma$ eine \emph{grade} Zahl, so setze man
\[
  m = \frac{3\sigma}{2},
\]
bezeichne mit $p(y)$ eine ganze Function $m^{\text{ten}}$ Grades von $y$,
mit $q(y)$
eine ganze Function ${m-\sigma-1}^{\text{ten}}$ Grades derselben
Variabeln, und
bestimme in der Gleichung
\[
  p(y) - q(y)\sqrt{R_1(y)},
\]
oder in
\[
\tag{26}
\begin{split}
  a_m y^m + a_{m-1} y^{m-1} + \dotsb + a_1 y + a_0
- b_{m-\sigma-1} y^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(y)}
\\
- b_{m-\sigma-2} y^{m-\sigma-2} \sqrt{R_1(y)} - \dotsb - b_0 \sqrt{R_1(y)}
= 0
\end{split}
\]
die
\[
  2m - \sigma + 1 = 2\sigma + 1
\]
Constanten
\[
  a_m, a_{m-1}, \dotsc a_1, a_0,
  b_{m-\sigma-1}, b_{m-\sigma-2}, \dotsc b_1, b_0
\]
so, dass dieselbe durch die $2\sigma$ Werthe
\[
\tag{$\alpha$}
  y_1, y_2, \dotsc y_\sigma, \eta_1, \eta_2, \dotsc \eta_\sigma
\]
%-----File: 113.png------------------------------
und die dazugehörigen Irrationalitäten
\[
\tag{$\beta$}
  \sqrt{R_1(y_1)},\sqrt{R_1(y_2)},\dotsc \sqrt{R_1(y_{\sigma})},
 -\sqrt{R_1(\eta_1)},-\sqrt{R_1(\eta_2)},\dotsc
 -\sqrt{R_1(\eta_{\sigma})}
\]
befriedigt wird; dann weiss man nach dem \so{Abel}'schen Theorem,
dass die Gleichung
\[
\tag{27}
  p(y)^2-q(y)^2 R_1(y) = 0,
\]
welche vom $2m = 3 \sigma^{\text{ten}}$ Grade ist, ausser den Lösungen
$(\alpha)$ noch
$\sigma$ andere Wurzeln
\[
\tag{$\gamma$}
  Y_1,  Y_2, \dotsc Y_{\sigma}
\]
besitzt, welche mit den Grössen $(\alpha)$ und $(\beta)$ durch die
transcendente
Beziehung verbunden sind
\begin{align*}
\tag{28}
 &\frac{y_1^k \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \frac{y_2^k \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} + \dotsb
+ \frac{y_{\sigma}^k \,dy_\sigma}{\sqrt{R_1(y_{\sigma})}}
\\
-&\frac{\eta_1^k \,d\eta_1}{\sqrt{R_1(\eta_1)}}
- \frac{\eta_2^k \,d\eta_2}{\sqrt{R_1(\eta_2)}} - \dotsb
- \frac{\eta_{\sigma}^k \,d\eta_\sigma}{\sqrt{R_1(\eta_{\sigma})}}
\\
=&\frac{Y_1^k \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}}
+ \frac{Y_2^k \,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} + \dotsb
+ \frac{Y_{\sigma}^k \,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_{\sigma})}},
\end{align*}
wenn die zu den Grössen $(\gamma)$ gehörigen Irrationalitäten durch
die
Gleichungen bestimmt sind
\begin{align*}
\tag{29}
  \sqrt{R_1(Y_1)} = \frac{p(Y_1)}{q(Y_1)}, \dotsc
  \sqrt{R_1(Y_{\sigma})} = \frac{p(Y_{\sigma})}{q(Y_{\sigma})}.
\end{align*}

Gehen wir nunmehr auf die Form der Coefficienten der Gleichung (26)
näher ein;
das dieselben bestimmende Gleichungssystem
\[
\begin{array}{c}
  a_m y_1^m + a_{m-1} y_1^{m-1} + \dotsb + a_0
- b_{m-\sigma-1} y_1^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(y_1)} - \dotsb
- b_0 \sqrt{R_1(y_1)} = 0,
\\
  a_m y_2^m + a_{m-1} y_2^{m-1} + \dotsb + a_0
- b_{m-\sigma-1} y_2^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(y_2)} - \dotsb
- b_0 \sqrt{R_1(y_2)} = 0,
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  a_m y_{\sigma}^m + a_{m-1} y_{\sigma}^{m-1} + \dotsb + a_0
- b_{m-\sigma-1} y_{\sigma}^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(y_{\sigma})}
- \dotsb - b_0 \sqrt{R_1(y_{\sigma})} = 0,
\\
  a_m \eta_1^m + a_{m-1} \eta_1^{m-1} + \dotsb + a_0
+ b_{m-\sigma-1} \eta_1^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(\eta_1)} - \dotsb
- b_0 \sqrt{R_1(\eta_1)} = 0,
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  a_m \eta_{\sigma}^m + a_{m-1} \eta_{\sigma}^{m-1} + \dotsb + a_0
+ b_{m-\sigma-1} \eta_{\sigma}^{m-\sigma-1} \sqrt{R_1(\eta_{\sigma})}
+ \dotsb + b_0 \sqrt{R_1(\eta_{\sigma})} = 0,
\end{array}
\]
kann, wenn wir berücksichtigen, dass
\[ \sqrt{R_1(y_r)} \text{ und } \sqrt{R_1(\eta_r)},
\]
nach den Gleichungen (21) und (23) als rationale Functionen von
$y_r$ resp.\ $\eta_r$ und  $z_1$, $\sqrt{R(z_1)}$ darstellbar sind,
in die Form gebracht werden:
%-----File: 114.png------------------------------
\[
\tag{30}
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
 &a_m \bigl\{
  F_0\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_1^\varkappa
+ F_1\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_1^{\varkappa-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
-&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_1^\lambda
+ \varPhi_1\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_1^{\lambda-1} + \dotsb
  \bigr\} - \dotsb = 0,
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_\sigma^\varkappa
+ F_1\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_\sigma^{\varkappa-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
-&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_\sigma^\lambda
+ \varPhi_1\bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) y_\sigma^{\lambda-1} + \dotsb
  \bigr\} - \dotsb = 0,
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_1^\varkappa
+ F_1\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_1^{\varkappa-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
+&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_1^\lambda
+ \varPhi_1\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_1^{\lambda-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb = 0,
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_\sigma^\varkappa
+ F_1\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_\sigma^{\varkappa-1}
+ \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
+&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_\sigma^\lambda
+ \varPhi_1\bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) \eta_\sigma^{\lambda-1}
+ \dotsb
  \bigr\} + \dotsb = 0,
  \end{aligned}
\end{array}
\]
worin die Functionen
\[
  F_0, F_1, \dotsc, \varPhi_0, \varPhi_1, \dotsc
\]
ganze rationale Functionen der in ihnen enthaltenen Grössen bedeuten.

Addirt man jetzt die ersten $\sigma$ Gleichungen des Systems (30),
nachdem dieselben mit
\[
\begin{array}{ccrc}
  1,              & 1,              & \dotsc & 1                  \\
  y_1,            & y_2,            & \dotsc & y_\sigma            \\
  y_1^2,          & y_2^2,          & \dotsc & y_\sigma^2         \\
\hdotsfor[3]{4}                                                    \\
  y_1^{\sigma-1}, & y_2^{\sigma-1}, & \dotsc & y_\sigma^{\sigma-1}
\end{array}
\]
multiplicirt sind, verfährt ebenso mit den zweiten $\sigma$ Gleichungen
dieses
Systems, und setzt:
\[
  y_1^r + y_2^r + \dotsb + y_\sigma^r = s_r, \quad
  \eta_1^r + \eta_2^r + \dotsb + \eta_\sigma^r = S_r,
\]
so folgt:
\[
\tag{31}
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
 &a_m \bigl\{
  F_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_\varkappa
+ F_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\varkappa-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
-&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_\lambda
+ \varPhi_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\lambda-1} + \dotsb
  \bigr\} - \dotsb = 0,
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\varkappa+1}
+ F_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\varkappa  } + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
-&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\lambda+1}
+ \varPhi_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\lambda  } + \dotsb
  \bigr\} - \dotsb = 0,
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\varkappa+\sigma-1}
+ F_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\varkappa+\sigma-2} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
-&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\lambda+\sigma-1}
+ \varPhi_1 \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) s_{\lambda+\sigma-2}
+ \dotsb
  \bigr\} - \dotsb = 0,
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_\varkappa
+ F_1 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\varkappa-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
+&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_\lambda
+ \varPhi_1 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\lambda-1} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb = 0,
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 &a_m \bigl\{
  F_0 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\varkappa+\sigma-1}
+ F_1 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\varkappa+\sigma-2} + \dotsb
  \bigr\} + \dotsb
\\
+&b_{m-\sigma-1} \bigl\{
  \varPhi_0 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\lambda+\sigma-1}
+ \varPhi_1 \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr) S_{\lambda+\sigma-2}
+ \dotsb
  \bigr\} + \dotsb = 0.
  \end{aligned}
\end{array}
\]
%-----File: 115.png------------------------------

Da aber die Potenzsummen $s$ und $S$ der Lösungen der Gleichungen
(20) und (22) sich rational durch deren Coefficienten ausdrücken lassen,
und die beiden Gleichungen sich in den Coefficienten der zu
berechnenden $a$- und $b$-Grössen nur durch das verschiedene Zeichen
von $\sqrt{R(z_1)}$ unterscheiden, so werden wir das System (31) auch
in die Form bringen können:
\[
\tag{32}
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
  &a_m
  \left( A_{1m} + B_{1m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
- b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{1m} + Q_{1m}\sqrt{R(z_1)} \right) - \dotsb
= 0,
\\
  &a_m
  \left( A_{2m} + B_{2m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
- b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{2m} + Q_{2m}\sqrt{R(z_1)} \right) - \dotsb
= 0,
\\  \hdotsfor[3]{2}  \\
  &a_m
  \left( A_{\sigma m} + B_{\sigma m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
- b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{\sigma m} + Q_{\sigma m}\sqrt{R(z_1)} \right) - \dotsb
= 0,
\\
  &a_m
  \left( A_{1m} - B_{1m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
+ b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{1m} - Q_{1m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
= 0,
\\
  &a_m
  \left( A_{2m} - B_{2m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
+ b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{2m} - Q_{2m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
= 0,
\\  \hdotsfor[3]{2}  \\
  &a_m
  \left( A_{\sigma m} - B_{\sigma m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
+ b_{m-\sigma-1}
  \left( P_{\sigma m} - Q_{\sigma m}\sqrt{R(z_1)} \right) + \dotsb
= 0.
\end{aligned}
\end{array}
\]

Wenn man nun die entsprechenden Gleichungen, welche sich
nur durch das Zeichen von $\sqrt{R(z_1)}$ unterscheiden, durch Addition
und Subtraction mit einander verbindet, so erhält man \zB\ aus der
$1^{\text{ten}}$ und ${\sigma+1}^{\text{ten}}$ Gleichung des Systems
(32) die Gleichungen
\[
  \begin{array}{ll}
\begin{aligned}
  2 a_m A_{1m} + \dotsb\dotsb\dotsb             - 2 b_{m-\sigma-1} Q_{1m}
  \sqrt{R(z_1)}
- \dotsb   = 0,   \\
  2 a_m B_{1m} \sqrt{R(z_1)} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} P_{1m}
- \dotsb\dotsb\dotsb = 0,
\end{aligned}
\end{array}
\]
oder, wenn die zweite dieser Gleichungen durch $\sqrt{R(z_1)}$ dividirt
und
\[
  \frac{P_{1m}}{R(z_1)} = P'_{1m}, \dotsc
\]
gesetzt wird,
\[
\begin{array}{r}
\begin{aligned}
  &2 a_m A_{1m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} Q_{1m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb = 0,   \\
  &2 a_m B_{1m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} P'_{1m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb = 0,
\end{aligned}
\end{array}
\]
und es folgt somit aus (32) zur Bestimmung der $a$- und $b$-Constanten
das nachstehende Gleichungssystem:
\[
\tag{33}
\begin{array}{r}
\begin{aligned}
  &2 a_m A_{1m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} Q_{1m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb   = 0   \\
  &2 a_m A_{2m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} Q_{2m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb   = 0   \\
 \hdotsfor[3]{2}  \\
  &2 a_m A_{\sigma m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} Q_{\sigma m}
  \sqrt{R(z_1)} - \dotsb   = 0
\\
  &2 a_m B_{1m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} P'_{1m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb   = 0   \\
  &2 a_m B_{2m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} P'_{2m} \sqrt{R(z_1)} -
  \dotsb   = 0   \\
 \hdotsfor[3]{2}  \\
  &2 a_m B_{\sigma m} + \dotsb - 2 b_{m-\sigma-1} P'_{\sigma m}
  \sqrt{R(z_1)} - \dotsb   = 0.
\end{aligned}
\end{array}
\]

Beachtet man nun, dass nur für die $b$-Grössen die Determinante
des Zählers der Auflösung den Factor $\sqrt{R(z_1)}$ einmal weniger hat
%-----File: 116.png------------------------------
als die Determinante des Nenners, so ergiebt sich, wenn --- was
gestattet ist --- eine der $a$-Grössen \zB\ $a_m = 1$ gesetzt wird,
\begin{quote}
\emph{dass die $a$-Grössen sämmtlich rationale Functionen von $z_1$
sind, während die $b$-Grössen durch das Product von in $z_1$
rationalen Functionen in die Irrationalität $\sqrt{R(z_1)}$ dargestellt
werden, oder dass die Coefficienten der Function
$p(y)$ rational in $z_1$, die von $q(y)$ ebenso, jedoch mit dem
Factor $\sqrt{R(z_1)}$ behaftet, ausgedrückt sind.}
\end{quote}

Da nun aber die Gleichung (27) die Form hat
\[
\tag{34}
  p(y)^2 - q(y)^2 R_1(y)
= (y-y_1) (y-y_2) \dotsm (y-y_\sigma)
  (y-\eta_1) (y-\eta_2) \dotsm (y-\eta_\sigma)
\]
\[
× (y-Y_1) (y-Y_2) \dotsm (y-Y_\sigma),
\]
ferner
\[
  (y-y_1) (y-y_2) \dotsm (y-y_\sigma)
  (y-\eta_1) (y-\eta_2) \dotsm (y-\eta_\sigma)
\]
als Product der linken Seiten der Gleichungen (20) und (22), wie
unmittelbar daraus zu erkennen, dass
\[
\begin{split}
  f_{\varrho  } \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr)
+ f_{1        } \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr)
  f_{\varrho-1} \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr) + \dotsb
\\
+ f_{\varrho-1} \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr)
  f_{1        } \bigl( z_1, \sqrt{R(z_1)} \bigr)
+ f_{\varrho  } \bigl( z_1,-\sqrt{R(z_1)} \bigr)
\end{split}
\]
eine rationale Function von $z_1$ ist, in der Form darstellbar ist
\[
  y^{2\sigma} + \psi_1(z_1) y^{2\sigma-1} + \dotsb
+ \psi_{2\sigma-1}(z_1) y + \psi_{2\sigma}(z_1) = 0,
\]
worin
\[
  \psi_1(z_1), \dotsc \psi_{2\sigma-1}(z_1), \psi_{2\sigma}(z_1)
\]
rationale Functionen von $z_1$ sind, so werden nach (34)
\begin{quote}
\emph{die Coefficienten des Polynoms}
\end{quote}
\[
  (y-Y_1) (y-Y_2) \dotsm (y-Y_\sigma)
= y^\sigma + \chi_1(z_1) y^{\sigma-1} + \dotsb + \chi_\sigma(z_1)
\]
\begin{quote}
\emph{rationale Functionen von $z_1$ sein, während die zu den
Grössen $Y_1$, $Y_2 \dotsc Y_\sigma$ gehörigen Irrationalitäten nach
den Gleichungen $(29)$, wie aus der oben gefundenen
Eigenschaft der Coefficienten der Polynome $p(y)$ und $q(y)$
hervorgeht, rationale Functionen der zugehörigen Grössen $Y$ und
der Grösse $z_1$ multiplicirt mit der Irrationalität $\sqrt{R(z_1)}$
nein werden.}
\end{quote}

Es bedarf kaum einer weiteren Erläuterung, dass sich dasselbe
Resultat auch für den Fall des ungraden $\sigma$ ergiebt; denn setzt man
\[
  3\sigma = 2m - 1,
\]
und bildet, wenn $\alpha$ eine Lösung der Gleichung $R_1(y) = 0$
bezeichnet,
den Ausdruck
\[
\tag{$\delta$}
  (y-\alpha) P(y) - Q(y) \sqrt{R(y)},
\]
in welchem $P(y)$ ein Polynom
\[
  m - 1 = \frac{ 3\sigma - 1^{\text{ten}} }{2}
\]
Grades, $Q(y)$ vom
%-----File: 117.png------------------------------
\[
  m - \sigma - 1 = \frac{{\sigma-1}^{\text{ten}}}{2}
\]
Grade ist, so wird man wieder die
\[
  \frac{3\sigma-1}{2} + \frac{\sigma-1}{2} + 1 = 2\sigma
\]
Constantenquotienten so bestimmen können, dass der Ausdruck ($\delta$)
für die Werthecombinationen
\[
  y_1, \sqrt{R_1(y_1)}, \dotsc  y_\sigma, \sqrt{R_1(y_\sigma)},
  \eta_1, -\sqrt{R_1(\eta_1)}, \dotsc  \eta_\sigma,
  -\sqrt{R_1(\eta_\sigma)},
\]
verschwindet, und es werden nunmehr alle weiteren Schlüsse
dieselben bleiben, so dass sich wieder vermöge der Beziehung
\begin{gather*}
  (y-\alpha)^2 P(y)^2 - Q(y)^2 R_1(y) \\
= (y-\alpha)(y-y_1) \dotsm (y-y_\sigma)(y-\eta_1) \dotsm
  (y-\eta_\sigma)(y-Y_1) \dotsm (y-Y_\sigma)
\end{gather*}
die Grössen
\[
  Y_1, Y_2, \dotsc Y_\sigma
\]
als Lösungen einer Gleichung ergeben, deren Coefficienten rational
aus $z_1$ zusammengesetzt sind.

Hieraus folgt, dass
\begin{quote}
\emph{das oben aufgestellte System hyperelliptischer
Differentialgleichungen $(16)$ sich in allen Fällen durch das folgende:}
\end{quote}
\[
\tag{35}
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
  \frac{ dY_1     }{\sqrt{R_1(Y_1     )}}
+ \frac{ dY_2     }{\sqrt{R_1(Y_2     )}} + \dotsb
+ \frac{ dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}}
&= 2\frac{F_0(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
\\[10pt]
  \frac{Y_1      \,dY_1     }{\sqrt{R_1(Y_1     )}}
+ \frac{Y_2      \,dY_2     }{\sqrt{R_1(Y_2     )}} + \dotsb
+ \frac{Y_\sigma \,dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}}
&= 2\frac{F_1(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
\\  \hdotsfor[3]{2}  \\
  \frac{Y_1^{\sigma-1}      dY_1     }{\sqrt{R_1(Y_1     )}}
+ \frac{Y_2^{\sigma-1}      dY_2     }{\sqrt{R_1(Y_2     )}} + \dotsb
+ \frac{Y_\sigma^{\sigma-1} dY_\sigma}{\sqrt{R_1(Y_\sigma)}}
&= 2\frac{F_{\sigma-1}(z_1) \,dz_1}{\sqrt{R(z_1)}}
\end{aligned}
\end{array}
\]
\begin{quote}
\emph{ersetzen lässt, in welchem}
\end{quote}
\[
  Y_1, Y_2, \dotsc Y_\sigma
\]
\begin{quote}
\emph{die Lösungen einer algebraischen Gleichung}
\end{quote}
\[
\tag{36}
  y^\sigma + \chi_1(z_1) y^{\sigma-1} + \dotsb + \chi_\sigma(z_1) = 0
\]
\begin{quote}
\emph{darstellen, deren Coefficienten rationale Functionen von $z_1$,
sind, und,}
\end{quote}
\[
  \sqrt{R_1(Y_1)}, \sqrt{R_1(Y_2)}, \dotsc \sqrt{R_1(Y_\sigma)}
\]
\begin{quote}
\emph{sich als rationale Functionen der zugehörigen $Y$-Grössen
und $z_1$ ausdrücken lassen, multiplicirt mit $\sqrt{R(z_1)}$.}
\end{quote}

Um nun aus der eben gegebenen Vereinfachung des oben
ausgesprochenen Satzes von der Reduction der hyperelliptischen Integrale
die entsprechende Vereinfachung für den vorher angeführten Satz,
die allgemeine Transformation der hyperelliptischen Integrale betreffend,
herzuleiten, gehen wir, wie oben, indem wir nur
$\sigma = p$
%-----File: 118.png------------------------------
setzen und somit von dem Transformationsproblem eines
hyperelliptischen Systems in ein solches derselben Ordnung reden, von dem
Gleichungssysteme aus
\[
\begin{array}{rcl}
  \dfrac{         dz_1}{\sqrt{R  (z_1)}}
=&\dfrac{f_0(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{f_0(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+ \dfrac{f_0(y_p) \,dy_p}{\sqrt{R_1(y_p)}}
\\[20pt]
  \dfrac{    z_1  \,dz_1}{\sqrt{R  (z_1)}}
=&\dfrac{f_1(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{f_1(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+ \dfrac{f_1(y_p) \,dy_p}{\sqrt{R_1(y_p)}}
\\
\hdotsfor[3]{3}\\
  \dfrac{  z_1^{p-1}  dz_1}{\sqrt{R  (z_1)}}
=&\dfrac{f_{p-1}(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}}
+ \dfrac{f_{p-1}(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb
+ \dfrac{f_{p-1}(y_p) \,dy_p}{\sqrt{R_1(y_p)}},
\end{array}
\]
in welchem wir nach dem eben hergeleiteten Satze annehmen dürfen, dass
\[
  y_1, y_2, \dotsc y_p
\]
Lösungen einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades bedeuten, deren
Coefficienten
rationale Functionen von $z_1$ sind, während die zu den $y$-Grössen
gehörigen Irrationalitäten durch das Product einer in dem resp.\ $y$ und
$z_1$ rationalen Function in $\sqrt{R(z_1)}$ dargestellt werden. Führen
wir
weiter wie oben $p-1$ neue Variable ein
\[
  z_2, z_3, \dotsc z_p,
\]
denen die Werthereihen
\[
\begin{array}{lll}
\begin{aligned}
  &y_1^{(1)}  &y_2^{(1)}  &\dotsc y_p^{(1)}  \\
  &y_1^{(2)}  &y_2^{(2)}  &\dotsc y_p^{(2)}  \\
\hdotsfor[3]{4}  \\
  &y_1^{(p-1)}  &y_2^{(p-1)}  &\dotsc y_p^{(p-1)}
\end{aligned}
\end{array}
\]
entsprechen sollen, welche wieder Lösungen ähnlicher Gleichungen
sind, und für welche die Irrationalitäten ebenfalls die oben
hervorgehobene Eigenschaft haben, so werden nunmehr die durch die
Gleichung
\[
\begin{array}{rcl}
 &\dfrac{f_r(y_1) \,dy_1}{\sqrt{R_1(y_1)}} +
 \dfrac{f_r(y_2) \,dy_2}{\sqrt{R_1(y_2)}} &+ \dotsb +
 \dfrac{f_r(y_p) \,dy_p}{\sqrt{R_1(y_p)}}
\\[20pt]
+&\dfrac{f_r(y_1^{(1)}) \,dy_1^{(1)}}{\sqrt{ R_1(y_1^{(1)}) }} +
 \dfrac{f_r(y_2^{(1)}) \,dy_2^{(1)}}{\sqrt{ R_1(y_2^{(1)}) }} &+ \dotsb +
 \dfrac{f_r(y_p^{(1)}) \,dy_p^{(1)}}{\sqrt{ R_1(y_p^{(1)}) }}
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
+&\dfrac{f_r(y_1^{(p-1)}) \,dy_1^{(p-1)}}{\sqrt{ R_1(y_1^{(p-1)}) }} +
 \dfrac{f_r(y_2^{(p-1)}) \,dy_2^{(p-1)}}{\sqrt{ R_1(y_2^{(p-1)}) }} &+
 \dotsb +
 \dfrac{f_r(y_p^{(p-1)}) \,dy_p^{(p-1)}}{\sqrt{ R_1(y_p^{(p-1)}) }}
\\[20pt]
=&\dfrac{f_r(Y_1) \,dY_1}{\sqrt{R_1(Y_1)}} +
 \dfrac{f_r(Y_2) \,dY_2}{\sqrt{R_1(Y_2)}} &+ \dotsb +
 \dfrac{f_r(Y_p) \,dY_p}{\sqrt{R_1(Y_p)}}
\end{array}
\]
nach dem \so{Abel}'schen Theorem definirten Grössen
\[
  Y_1, Y_2, \dotsc Y_p
\]
%-----File: 119.png------------------------------
als Lösungen einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades sich ergeben,
für welche
die Eigenschaften ihrer Coefficienten näher zu untersuchen sind.

Nach dem Additionstheorem sind die Coefficienten der Function
\[
  p(y) - q(y)\sqrt{R_1(y)},
\]
in welcher
\[
  p(y) \text{ vom } \frac{p^2 + p^{\text{ten}}}{2},\quad
  q(y) \text{ vom } \frac{p^2-p}{2} - 1^{\text{ten}}
\]
Grade sind, derart zu bestimmen, dass dieselbe für jene $p$ Systeme
von $y$-Werthen und die dazugehörigen Irrationalitäten verschwindet,
und es werden somit, wenn man
\[
  \frac{p^2+p}{2} = \varrho
\]
setzt, die Gleichungen zu befriedigen sein
\begin{gather*}
\begin{array}{lccc}
   a_\varrho y_1^\varrho + a_{\varrho-1} y_1^{\varrho-1}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_1^{\varrho-p-1} \sqrt{R_1(y_1)}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0 \sqrt{R_1(y_1)} = 0$}
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{lccc}
   a_\varrho y_p^\varrho + a_{\varrho-1} y_p^{\varrho-1}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_p^{\varrho-p-1} \sqrt{R_1(y_p)}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0 \sqrt{R_1(y_p)} = 0$}
\\[10pt]
   a_\varrho y_1^{(1)^\varrho} + a_{\varrho-1} y_1^{(1)^{\varrho-1}}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_1^{(1)^{\varrho-p-1}}
    \sqrt{R_1(y_1^{(1)})}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0 \sqrt{R_1(y_1^{(1)})} = 0$}
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{lccc}
   a_\varrho y_p^{(1)^\varrho} + a_{\varrho-1} y_p^{(1)^{\varrho-1}}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_p^{(1)^{\varrho-p-1}}
    \sqrt{R_1(y_p^{(1)})}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0\sqrt{R_1(y_p^{(1)})} = 0$}
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{lccc}
   a_\varrho y_1^{(p-1)^\varrho} + a_{\varrho-1} y_1^{(p-1)^{\varrho-1}}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_1^{(p-1)^{\varrho-p-1}}
    \sqrt{R_1(y_1^{(p-1)})}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0 \sqrt{R_1(y_1^{(p-1)})} =
      0$}
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{lccc}
   a_\varrho y_p^{(p-1)^\varrho} + a_{\varrho-1} y_p^{(p-1)^{\varrho-1}}
    &+ \dotsb +& a_0 - b_{\varrho-p-1} y_p^{(p-1)^{\varrho-p-1}}
    \sqrt{R_1(y_p^{(p-1)})}
      &- \dotsb \\ \multispan{4}{\hfil $-b_0 \sqrt{R_1(y_p^{(p-1)})} =
      0,$}
\end{array}
\end{gather*}
welche, da die Irrationalitäten als ein Product von rationalen
Functionen der zugehörigen $y$- und $z$-Grössen in die Irrationalität
$\sqrt{R(z)}$
darstellbar sind, auch in die Form gebracht werden können:
\begin{gather*}
\begin{array}{l}
  a_\varrho \left[f_0(z_1) y_1^k + f_1(z_1) y_1^{k-1} + \dotsb \right]
  + \dotsb
+ b_{\varrho-p-1} \bigl[F_0(z_1) y_1^l + F_1(z_1) y_1^{l-1} + \dotsb
\bigr] \sqrt{R(z_1)} + \dotsb = 0
\\[5pt]
  a_\varrho \left[f_0(z_1) y_2^k + f_1(z_1) y_2^{k-1} + \dotsb \right]
  + \dotsb
+ b_{\varrho-p-1} \bigl[F_0(z_1) y_2^l + F_1(z_1) y_2^{l-1} + \dotsb
\bigr] \sqrt{R(z_1)} + \dotsb = 0
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{l}
  a_\varrho \bigl[
    f_0(z_p) y_1^{(p-1)^k} + f_1(z_p) y_1^{(p-1)^{k-1}} + \dotsb \bigr]
    + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
 + b_{\varrho-p-1} \bigl[ F_0(z_p) y_1^{(p-1)^l} + F_1(z_p)
 y_1^{(p-1)^{l-1}} + \dotsb \bigr]
   \sqrt{R(z_p)} + \dotsb = 0
\\[5pt]
  a_\varrho \bigl[
    f_0(z_p) y_2^{(p-1)^k} + f_1(z_p) y_2^{(p-1)^{k-1}} + \dotsb \bigr]
    + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
+ b_{\varrho-p-1} \bigl[ F_0(z_p) y_2^{(p-1)^l} + F_1(z_p)
y_2^{(p-1)^{l-1}} + \dotsb \bigr]
   \sqrt{R(z_p)} + \dotsb = 0
\\ \hdotsfor[3]{1},
\end{array}
\end{gather*}
%-----File: 120.png------------------------------
worin
\[
  f_0(z), f_1(z), \dotsc F_0(z), F_1(z), \dotsc
\]
rationale Functionen von $z$ bedeuten.

Fasst man wiederum ähnlich wie früher je $p$ Gleichungen
zusammen, die zu demselben $y$-System gehören, indem man dieselben,
nachdem sie mit
\[
\begin{array}{lll}
  1                      & 1\quad                  \dotfill &1  \\
  y_1^{(\alpha)}         & y_2^{(\alpha)}\     \dotfill &y_p^{(\alpha)}
  \\
  y_1^{(\alpha)^2}       & y_2^{(\alpha)^2}\   \dotfill &y_p^{(\alpha)^2}
  \\
\hdotsfor[3]{3}  \\
  y_1^{(\alpha)^{p-1}} & y_2^{(\alpha)^{p-1}} \dotsc\dotsc
  &y_p^{(\alpha)^{p-1}}
\end{array}
\]
multiplicirt sind, zu einander addirt, so ergiebt sich, wenn
\[
  y_1^{(\alpha)^\sigma} + y_2^{(\alpha)^\sigma} + \dotsb
+ y_p^{(\alpha)^\sigma} = s_\sigma^{(\alpha)}
\]
gesetzt wird, das Gleichungssystem
\begin{gather*}
\begin{array}{l}
  a_\varrho
\bigl[ f_0(z_1)s_k + f_1(z_1)s_{k-1} + \dotsb \bigr] + \dotsb
\\
+ b_{\varrho-p-1}
\bigl[ F_0(z_1)s_l + F_1(z_1)s_{l-1} + \dotsb \bigr]
  \sqrt{R(z_1)} + \dotsb = 0,
\\[5pt]
  a_\varrho
\bigl[ f_0(z_1)s_{k+1} + f_1(z_1)s_k + \dotsb \bigr] + \dotsb
\\
+ b_{\varrho-p-1}
\bigl[ F_0(z_1)s_{l+1} + F_1(z_1)s_l + \dotsb \bigr]
  \sqrt{R(z_1)} + \dotsb = 0,
\\  \hdotsfor[3]{1}  \\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{l}
  a_\varrho
\bigl[ f_0(z_p)s_k^{(p-1)} + f_1(z_p)s_{k-1}^{(p-1)}
       + \dotsb \bigr] + \dotsb
\\
+ b_{\varrho-p-1}
\bigl[ F_0(z_p)s_l^{(p-1)} + F_1(z_p)s_{l-1}^{(p-1)}
       + \dotsb \bigr]
  \sqrt{R(z_p)} + \dotsb = 0,
\\[5pt]
  a_\varrho
\bigl[ f_0(z_p)s_{k+1}^{(p-1)} + f_1(z_p)s_k^{(p-1)}
       + \dotsb \bigr] + \dotsb
\\
+ b_{\varrho-p-1}
\bigl[ F_0(z_p)s_{l+1}^{(p-1)} + F_1(z_p)s_l^{(p-1)}
       + \dotsb \bigr]
  \sqrt{R(z_p)} + \dotsb = 0,
\\  \hdotsfor[3]{1},
\end{array}
\end{gather*}
oder auch, da die Potenzsummen $s$ rational durch die die resp.\ $z$-Grösse
rational enthaltenden Coefficienten der einzelnen Gleichungen
ausdrückbar sind, das nachfolgende System von Bestimmungsgleichungen
für die Grössen
$a_0$, $a_1,\dotsc a_\varrho$, $b_0$, $b_1,\dotsc b_{\varrho-p-1}$:
\begin{gather*}
\begin{array}{l}
  a_\varrho \varphi_{0\,1}(z_1) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,1}(z_1)
+ b_{\varrho-p-1} \psi_{0\,1}(z_1) \sqrt{R(z_1)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
+ b_0   \psi_{\varrho-p-1\,1}(z_1) \sqrt{R(z_1)} = 0,
\\[5pt]
  a_\varrho \varphi_{0\,2}(z_1) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,2}(z_1)
+ b_{\varrho-p-1} \psi_{0\,2}(z_1) \sqrt{R(z_1)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
+ b_0   \psi_{\varrho-p-1\,2}(z_1) \sqrt{R(z_1)} = 0,
\\  \hdotsfor[3]{1}  \\
\end{array} \displaybreak[1] \\
\begin{array}{l}
  a_\varrho \varphi_{0\,p}(z_1) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,p}(z_1)
+ b_{\varrho-p-1} \psi_{0\,p}(z_1) \sqrt{R(z_1)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
+ b_0   \psi_{\varrho-p-1\,p}(z_1) \sqrt{R(z_1)} = 0,
\\  \hdotsfor[3]{1} \\
%-----File: 121.png------------------------------
  a_\varrho \varphi_{0\,1}(z_p) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,1}(z_p) +
  b_{\varrho-p-1}\psi_{0\,1}(z_p)\sqrt{R(z_p)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
+ b_0 \psi_{\varrho-p-1 \,1}(z_p)\sqrt{R(z_p)}  = 0,
\\[5pt]
  a_\varrho \varphi_{0\,2}(z_p) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,2}(z_p) +
  b_{\varrho-p-1}\psi_{0\,2}(z_p)\sqrt{R(z_p)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
  +b_0 \psi_{\varrho-p-1 \,2}(z_p)\sqrt{R(z_p)}  = 0,
\\
  \hdotsfor[3]{1}
\\
\end{array}\displaybreak[1] \\
\begin{array}{l}
  a_\varrho \varphi_{0\,p}(z_p) + \dotsb
+ a_0 \varphi_{\varrho\,p}(z_p) +
  b_{\varrho-p-1}\psi_{0\,p}(z_p)\sqrt{R(z_p)} + \dotsb
\\ \qquad\qquad\hfill
  +b_0 \psi_{\varrho-p-1 \,p}(z_p)\sqrt{R(z_p)}  = 0.
\end{array}
\end{gather*}

Das Charakteristische dieser Gleichungen ist dies, dass die Coefficienten
der Grössen $a$ sämmtlich rationale Functionen der einzelnen
Variablen $z_1, z_2, \dotsc z_p$ sind, während die Coefficienten der
$b$-Grössen
aus den Producten eben solcher Grössen in die zugehörige Irrationalität
$\sqrt{R(z)}$ bestehen; man schliesst hieraus \zB\ unmittelbar, dass
für
hyperelliptische Integrale erster Ordnung die Coefficienten der
Gleichung,
deren Lösungen die Grössen $Y_1$, $Y_2, \dotsc Y_p$ sind, die
Form haben
\[
  m + n \sqrt{R(z_1)}  · \sqrt{R(z_2)},
\]
worin $m$ und $n$ rationale symmetrische Functionen von $z_1$ und $z_2$
sind.

Gehen wir nun wieder zu dem ursprünglichen allgemeinen
Transformationsproblem
zurück, um zu sehen, ob die Gleichung (10) erfüllt
werden kann, und welche Form sie haben muss, so hat man
nur in dieser Gleichung aus den der Gleichung (11) analogen Gleichungen
für die Grössen $\zeta$ die für eben diese Grössen hervorgehenden
Werthe zu substituiren. Seien \zB
\[
  \tern\zeta{(1)}{(g+1)}{2p-2h+1}, \quad
  \tern\zeta{(2)}{(g+1)}{2p-2h+1}, \dots
  \tern\zeta{(p-h)}{(g+1)}{2p-2h+1}
\]
die Lösungen der Gleichung
\[%[** TN: Broken in original]
\tag{37}
  \zeta^{p-h}
+ \varphi_1 \Bigr(z_{2p+1}^{(1)},
 \sqrt{R_{2p+1}^{(1)} (z_{2p+1}^{(1)})}\Bigr)\zeta^{p-h-1} + \dotsb
  + \varphi_{p-h} \Bigr(z_{2p+1}^{(1)},
 \sqrt{R_{2p+1}^{(1)} (z_{2p+1}^{(1)})}\Bigr) = 0,
\]
in der die $\varphi$-Functionen rationale Functionen der in ihnen
enthaltenen
Grössen bedeuten, so wird durch Differentiation
\[
\begin{array}{rl}
  d\tern\zeta{(1)}{(g+1)}{2p-2h+1} & =
  F\Bigl(\tern\zeta{(1)}{(g+1)}{2p-2h+1}, z_{2p+1}^{(1)},
  \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z_{2p+1}^{(1)})}\Bigr)dz_{2p+1}^{(1)},
\\[5pt]
  d\tern\zeta{(2)}{(g+1)}{2p-2h+1} & =
  F\Bigl(\tern\zeta{(2)}{(g+1)}{2p-2h+1}, z_{2p+1}^{(1)},
  \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z_{2p+1}^{(1)})}\Bigr)dz_{2p+1}^{(1)},
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
  d\tern\zeta{(p-h)}{(g+1)}{2p-2h+1} & =
 F\Bigl(\tern\zeta{(p-h)}{(g+1)}{2p-2h+1}, z_{2p+1}^{(1)},
  \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z_{2p+1}^{(1)})}\Bigr)dz_{2p+1}^{(1)},
\end{array}
\]
wenn $F$ eine rationale Function der in ihr enthaltenen Grössen
bezeichnet,
und wenn diese Gleichungen der Reihe nach mit
%-----File: 122.png------------------------------
\[
\begin{aligned}
  &F_{2p-2h+1}^{(g+1)}
  \raisebox{0.5em}{$\Biggl($} \;\tern\zeta{(1)}{(g+1)}{2p-2h+1},
                         \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(g+1)}
        ( \tern\zeta{(1)}{(g+1)}{2p-2h+1} )}
        \,\raisebox{0.5em}{$\Biggr)$},
  \dotsc
\\
  &F_{2p-2h+1}^{(g+1)}
  \raisebox{0.5em}{$\Biggl($} \;\tern\zeta{(p-h)}{(g+1)}{2p-2h+1},
                         \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(g+1)}
        ( \tern\zeta{(p-h)}{(g+1)}{2p-2h+1} )}
        \,\raisebox{0.5em}{$\Biggr)$}
\end{aligned}
\]
multiplicirt und dann addirt werden, ausserdem aber beachtet wird,
dass die Irrationalitäten dieser Multiplicatoren der Voraussetzung
gemäss durch die entsprechenden $\zeta$-Grössen mit Hülfe von
\[
\tag{m}
  z_{2p+1}^{(1)} \text{ und } \sqrt{R_{2p+1}^{(1)} (z_{2p+1}^{(1)})}
\]
rational ausdrückbar sind, und somit das Resultat der Addition der
rechten Seiten als rationale symmetrische Function der $\zeta$-Grössen
sich
rational durch die Grössen (m) wird ausdrücken lassen, so ergiebt
sich, dass
\[
  \sum_{\alpha=1}^{p-h}
  F_{2p-2h+1}^{(g+1)}
  \raisebox{0.5em}{$\Biggl($} \;\tern\zeta{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1},
                            \sqrt{R_{2p-2h+1}^{(g+1)}
        ( \tern\zeta{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1} )}
        \,\raisebox{0.5em}{$\Biggr)$}
        d\tern\zeta{(\alpha)}{(g+1)}{2p-2h+1}
\]
eine rationale Function der Grössen (m) multiplicirt mit $dz_{2p+1}^{(1)}$
sein
wird, und dasselbe gilt von all' den einzelnen Summen der rechten
Seite der Gleichung (10). Bringt man nunmehr alle Integrale der
Gleichung (10) auf die linke Seite und giebt ihnen allen dieselbe
untere Gränze $\zeta_{2p+1}^{(1)}$ was nur eine Aenderung der Constanten
der
rechten Seite bedingt, so wird die linke Seite aus einem zwischen
den Gränzen $\zeta_{2p+1}^{(1)}$ und $z_{2p+1}^{(1)}$ genommenen
hyperelliptischen Integrale
mit der Irrationalität
\[
  \sqrt{R_{2p+1}^{(1)} (z^{(1)})}
\]
bestehen, und es wird sich fragen, wann ein solches hyperelliptisches
Integral mit der beliebig gegebenen Irrationalität $\sqrt{R_{2p+1}^{(1)}
(z^{(1)})}$ einer
algebraisch-logarithmischen Function gleich sein kann, welche selbst
oder für welche das Argument der Logarithmen rational aus
\[
  z_{2p+1}^{(1)} \text{ und } \sqrt{R_{2p+1}^{(1)} (z_{2p+1}^{(1)})}
\]
zusammengesetzt ist.

Ein solches hyperelliptisches Integral zerlegt sich nach den in
der vierten Vorlesung gemachten Auseinandersetzungen, von $p$
Integralen erster Gattung, $p$ Integralen zweiter Gattung und
algebraisch-logarithmischen Theilen der oben bezeichneten Art abgesehen,
in eine
Summe von Integralen der Form
\[
\tag{o}
  C_1\int_{\zeta_1}^{z_1}\frac{\sqrt{R(a_1 )}\;dz}{(z-a_1 )\sqrt{R(z)}}
+ C_2\int_{\zeta_1}^{z_1}\frac{\sqrt{R(a_2 )}\;dz}{(z-a_2 )\sqrt{R(z)}}
+ \cdots
+ C_n\int_{\zeta_1}^{z_1}\frac{\sqrt{R(a_n )}\;dz}{(z-a_n )\sqrt{R(z)}},
\]
%-----File: 123.png------------------------------
wenn der Kürze halber
\[
  \zeta_1, z_1, \sqrt{R(z)}
\]
statt
\[
  \zeta_{2p+1}^{(1)}, z_{2p+1}^{(1)}, \sqrt{R_{2p+1}^{(1)}(z)}
\]
geschrieben wird, und $a_1, a_2,\dotsc a_n$ Constanten bedeuten, für
welche
die unter dem Integrale befindliche rationale Function, welche nach
Absonderung einer rationalen Function mit
\[
  \frac{1}{\sqrt{R(z)}}
\]
multiplicirt ist, unendlich wird, soweit diese Werthe nicht
Verzweigungspunkte von $\sqrt{R(z)}$ sind; und diese Summe (o) soll mit
einem aus $p$ Integralen zweiter Gattung, $p$ Integralen erster Gattung
und einem algebraisch-logarithmischen Theile zusammengesetzten
Ausdruck identisch sein.

\addtotoc{Die allgemeinste Relation zwischen hyperelliptischen Integralen
und
algebraisch-logarithmischen Functionen}
Bezeichnet man mit
\[
  a_k^{+} \text{ und } a_k^{-}
\]
den auf dem positiven oder negativen Blatte der zu $\sqrt{R(z)}$
gehörigen
\so{Riemann}'schen Fläche gelegenen Punkt $a_k$, und setzt man
\[
\tag{p}
  \int\frac{\sqrt{R(a_k)} \;dz}{(z-a_k) \sqrt{R(z)}}
+ c_0 \int\frac{dz}{\sqrt{R(z)}}
+ c_1 \int\frac{z \,dz}{\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ c_{p-1}\int\frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
= H(z, a_k^{+}, a_k^{-}),
\]
so wird diese Function ein hyperelliptisches Hauptintegral dritter
Gattung sein, da der Coefficient des logarithmischen Gliedes in den
beiden Unstetigkeitspunkten
\[
  a_k, +\sqrt{R(a_k)}; \;a_k, -\sqrt{R(a_k)}
  \text{ oder } a_k^{+}, a_k^{-}
\]
die positive und negative Einheit ist, und ausserdem wird man, wie
früher gezeigt worden, die Constanten
\[
  c_0, c_1, c_2, \dotsc c_{p-1}
\]
so bestimmen können, dass die Periodicitätsmoduln jenes
Hauptintegrales an allen Querschnitten der einen oder der andern Art
verschwinden; bezeichnet man ferner ein in den Punkten $z_1$ und $\zeta_1$
auf
den bestimmten Blättern logarithmisch unendlich werdendes Hauptintegral
dritter Gattung mit an derselben Reihe der Querschnitte
verschwindenden Periodicitätsmoduln durch
\[
  H(z, z_1, \zeta_1),
\]
so wird nach dem früher erwiesenen Satze von der Vertauschung der
Gränzen und Unstetigkeitspunkte
\[
  \int_{\zeta_1}^{z_1} dH(z, a_k^{+}, a_k^{-})
= \int_{a_k^{-}}^{a_k^{+}} dH(z, z_1, \zeta_1)
\]
%-----File: 124.png------------------------------
sein, und es würde dann in Folge dieser Relation, indem die mit
den Constanten $c$ multiplicirten Integrale erster Gattung
hinzugenommen werden, die Gleichung zu untersuchen sein
\[
\tag{38}
\begin{array}[t]{rccccl}
&C_1 \dint_{a_1^{-}}^{a_1^{+}} dH(z, z_1, \zeta_1)
&+& C_2 \dint_{a_2^{-}}^{a_2^{+}} dH(z, z_1, \zeta_1) &+ \dotsb
+& C_n \dint_{a_n^{-}}^{a_n^{+}} dH(z, z_1, \zeta_1)
\\[10pt]
=& A_0    \dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{2p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
&+& A_1    \dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{2p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &+
\dotsb
+& A_{p-1}\dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{ p  } dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[10pt]
+& B_0    \dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
&+& B_1    \dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &+ \dotsb
+& B_{p-1}\dint_{\zeta_1}^{z_1} \frac{        dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[10pt]
+& U + D_1 \log V_1 &+& D_2 \log V_2 &+ \dotsb +& D_\mu \log V_\mu,
\end{array}
\]
in welcher die Grössen
\[
  U, V_1, V_2, \dotsb V_\mu
\]
rational aus
\[
  z_1 \text{ und } \sqrt{R(z_1)}
\]
zusammengesetzt sind, und wobei angenommen wird, dass nicht
zwischen einer geringeren Anzahl von denselben Integralen der linken
Seite dieser Gleichung eine ähnliche Beziehung besteht, indem wir
sonst diese unserer weiteren Betrachtung zu Grunde legen. Offenbar
darf ferner ohne Beschränkung der Allgemeinheit vorausgesetzt
werden, dass zwischen den Grössen
\[
  D_1, D_2, \dotsb D_\mu
\]
keine homogene lineare ganzzahlige Gleichung der Form
\[
  \lambda_1 D_1 + \lambda_2 D_2 + \dotsb + \lambda_\mu D_\mu = 0
\]
besteht, weil, wenn eine solche stattfände, der Ausdruck
\[
  D_1 \log V_1 + D_2 \log V_2 + \dotsb + D_\mu \log V_\mu
\]
in die Form
\[
  \frac{D_1}{\lambda_\mu}
  \log \frac{ V_1^{\lambda_\mu} }{ V_\mu^{\lambda_1} }
+ \frac{D_2}{\lambda_\mu}
  \log \frac{ V_2^{\lambda_\mu} }{ V_\mu^{\lambda_2} } + \dotsb
+ \frac{D_{\mu-1}}{\lambda_\mu}
  \log \frac{ V_{\mu-1}^{\lambda_\mu} }{ V_\mu^{\lambda_{\mu-1}} }
\]
übergehen würde, und man daher nur von vornherein die Anzahl
der Logarithmen auf der rechten Seite der Gleichung (38) auf die
kleinste reducirt anzunehmen brauchte. Sei nun \zB
\[
  V_\varrho = p_\varrho + q_\varrho \sqrt{R(z_1)},
\]
worin $p_\varrho$ und $q_\varrho$ rationale Functionen von $z_1$ bedeuten
sollen, oder
\[
  V_\varrho = \frac{f_\varrho + g_\varrho \sqrt{R(z_1)}}{h_\varrho},
\]
%-----File: 125.png------------------------------
wenn $f_\varrho$, $g_\varrho$, $h_\varrho$ ganze Functionen von $z_1$
sind, so verwandle man
in Gleichung (38) die Irrationalität in die entgegengesetzte und ziehe
die so erhaltene Gleichung von Gleichung (38) ab; man erhält offenbar
für alle Integrale das doppelte, also die Form der Gleichung (38)
unverändert, während die logarithmischen Glieder die Form annehmen
\[
  \log\frac{f_\varrho + g_\varrho \sqrt{R(z_1)}}
           {f_\varrho - g_\varrho \sqrt{R(z_1)}}.
\]
Wird nun
\[
\tag{39}
  f_\varrho^2 - g_\varrho^2 R(z_1)
= M(z_1 - \gamma_1)^{m_1}
   (z_1 - \gamma_2)^{m_2} \dotsm
   (z_1 - \gamma_r)^{m_r}
\]
gesetzt, so dass
\begin{multline*}
  \log\bigl( f_\varrho^2 - g_\varrho^2 R(z_1) \bigr)
= \log\bigl( f_\varrho + g_\varrho \sqrt{R(z_1)} \bigr)
+ \log\bigl( f_\varrho - g_\varrho \sqrt{R(z_1)} \bigr)
\\
= \log M + m_1\log(z_1 - \gamma_1) + m_2\log(z_1 - \gamma_2)
+ \dotsb + m_r\log(z_1 - \gamma_r)
\end{multline*}
ist, so sieht man, dass
\[
  \log\bigl( f_\varrho + g_\varrho \sqrt{R(z_1)} \bigr)
\]
für
\[
  \gamma_1,\gamma_2, \dotsc \gamma_r
\]
logarithmisch unendlich wird, wenn der zugehörige Werth der Irrationalität
aus der Gleichung
\[
  \sqrt{R(\gamma_s)}
= - \frac{f_\varrho(\gamma_s)}{g_\varrho(\gamma_s)}
\]
bestimmt wird, und keine dieser logarithmischen Unendlichkeiten
kann sich, da $f_\varrho$ und $g_\varrho$ ohne gemeinsamen Theiler
vorausgesetzt
werden können, auf der rechten Seite der Gleichung (38) gegen
andere wegheben, weil sonst eine ganzzahlige homogene lineare
Gleichung zwischen den Coefficienten der logarithmischen Glieder
statthaben müsste, welcher Fall oben ausdrücklich ausgeschlossen war.
Da aber die linke Seite der in der obigen Weise transformirten
Gleichung (38), wie man aus dem Umkehrungssatze von Gränzen und
Unstetigkeitspunkten unmittelbar erkennt, für
\begin{gather*}
\tag{k}
  a_1, +\sqrt{R(a_1)};\; a_1, -\sqrt{R(a_1)};\;
  a_2, +\sqrt{R(a_2)};\; a_2, -\sqrt{R(a_2)}; \dotsc \\
  a_n, +\sqrt{R(a_n)};\; a_n, -\sqrt{R(a_n)}
\end{gather*}
und nur für diese Werthe unendlich und zwar logarithmisch unendlich
wird, während die Integrale zweiter Gattung auf der rechten
Seite der Gleichung (38) nur für $z = \infty$ auf beiden Blättern
unendlich
werden, und die Integrale erster Gattung endlich sind, so folgt,
dass sämmtliche Werthe
\[
  \gamma_1,\gamma_2, \dotsc \gamma_r
\]
mit den zugehörigen Irrationalitäten zu den Werthen der Reihe (k)
gehören. Aus der Existenz der Gleichung (39) aber folgt nach dem
%-----File: 126.png------------------------------
\so{Abel}'schen Theorem, indem wir annehmen dürfen, dass der Grad
von $g_\varrho^2 R(z_1)$ den von $f_\varrho^2$ nicht übersteigt, dass
die $\gamma$-Werthe zu oberen
Gränzen von gleichartigen hyperelliptischen Integralen gemacht werden
können, deren Summe eine algebraisch-logarithmische Function ist,
während die Irrationalitäten aus der Gleichung
\[
  \sqrt{R(\gamma_s)}
= -\frac{f_\varrho(\gamma_s)}{g_\varrho(\gamma_s)}
\]
bestimmt werden, und dass sie ferner die unteren Gränzen solcher
Integrale bilden können, wenn die Irrationalitäten durch
\[
  \sqrt{R(\gamma_s)}
= \frac{f_\varrho(\gamma_s)}{g_\varrho(\gamma_s)}
\]
gegeben sind.

Nach der in der sechsten Vorlesung aufgestellten Beziehung für
die Addition von Hauptintegralen ergiebt sich, wenn die Werthe $\gamma$
den Grössen
\[
  a_1^{±}, a_2^{±}, \dotsc a_r^{±}
\]
gleichgesetzt werden, die folgende Beziehung:
\begin{gather*}
\tag{40}
  m_1 \int_{a_1^{±}}^{a_1^{\mp}} dH(z, z_1, \zeta_1)
+ m_2 \int_{a_2^{±}}^{a_2^{\mp}} dH(z, z_1, \zeta_1) + \dotsb
+ m_r \int_{a_r^{±}}^{a_r^{\mp}} dH(z, z_1, \zeta_1)
\\
= \log \left\{
  \frac{ f_\varrho(z_1) - g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }
       { f_\varrho(z_1) + g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }  ·
  \frac{ f_\varrho(\zeta_1) + g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
       { f_\varrho(\zeta_1) - g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
  \right\},
\end{gather*}
welche nothwendig die Form der Gleichung (38) sein muss, da der
Annahme nach keine der Gleichung (38) ähnliche existiren sollte,
welche von den dort enthaltenen Integralen eine geringere Anzahl
enthielte. Setzt man endlich in (40) die durch Vertauschung der Gränzen
und Unstetigkeitspunkte sich ergebenden Integrale, so folgt
\begin{gather*}
\tag{41}
  m_1 \int_{\zeta_1}^{z_1} dH( z, a_1^{±}, a_1^{\mp} )
+ m_2 \int_{\zeta_1}^{z_1} dH( z, a_2^{±}, a_2^{\mp} ) + \dotsb
+ m_r \int_{\zeta_1}^{z_1} dH( z, a_r^{±}, a_r^{\mp} )
\\
= \log \left\{
  \frac{ f_\varrho(z_1) - g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }
       { f_\varrho(z_1) + g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }  ·
  \frac{ f_\varrho(\zeta_1) + g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
       { f_\varrho(\zeta_1) - g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
  \right\}
\end{gather*}
als allgemeinste zwischen hyperelliptischen Integralen derselben
Ordnung und algebraisch-logarithmischen Functionen bestehende Relation,
oder wenn der oben durch die Gleichung (p) definirte Werth von
$H(z, a_k^{±}, a_k^{\mp})$ eingesetzt wird,
%-----File: 127.png------------------------------
\begin{gather*}
\tag{42}
  m_1 \int_{\zeta_1}^{z_1}
  \frac{±\sqrt{R(a_1)} \;dz}{(z-a_1)\sqrt{R(z)}}
+ m_2 \int_{\zeta_1}^{z_1}
  \frac{±\sqrt{R(a_2)} \;dz}{(z-a_2)\sqrt{R(z)}} + \dotsb
+ m_r \int_{\zeta_1}^{z_1}
  \frac{±\sqrt{R(a_r)} \;dz}{(z-a_r)\sqrt{R(z)}}
\\
+  \beta_0    \int_{\zeta_1}^{z_1} \frac{       dz}{\sqrt{R(z)}}
+  \beta_1    \int_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z      \;dz}{\sqrt{R(z)}}+\dotsb
+  \beta_{p-1}\int_{\zeta_1}^{z_1} \frac{z^{p-1}dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[1em]
= \log \left\{
  \frac{ f_\varrho(z_1) - g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }
       { f_\varrho(z_1) + g_\varrho(z_1) \sqrt{R(z_1)} }  ·
  \frac{ f_\varrho(\zeta_1) + g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
       { f_\varrho(\zeta_1) - g_\varrho(\zeta_1) \sqrt{R(\zeta_1)} }
  \right\},
\end{gather*}
worin $m_1$, $m_2, \dotsc m_r$ ganze Zahlen,
$\beta_0$, $\beta_1, \dotsc \beta_{p-1}$ Constanten vorstellen,
deren Bedeutung aus der oben gegebenen Bestimmung von
$c_0$, $c_1, \dotsc c_{p-1}$ unmittelbar zu ersehen ist.

\addtotoc{Ueber das Vorkommen der eindeutigen Umkehrungsfunctionen in den
algebraischen Relationen zwischen hyperelliptischen Integralen}
Man kann endlich noch die Frage auf werfen, ob in algebraische
Relationen zwischen hyperelliptischen Integralen auch jene eindeutigen
Umkehrungsfunctionen der Integrale niederer Gattung, also die
Exponentialfunctionen, die trigonometrischen und elliptischen Functionen
eintreten können, und zwar wollen wir diese Untersuchung auf Grund
eines allgemeinen Satzes über den algebraischen Zusammenhang
zwischen den Integralen verschiedener Differentialgleichungen
anstellen, den wir an dieser Stelle unter den Beschränkungen, wie sie die
Lösung der oben gestellten Aufgabe zulässt, aussprechen und herleiten.

Sei $Z$ ein Integral der irreductiblen Differentialgleichung erster
Ordnung
\[
\tag{43}
  f\left( x, z, \tfrac{dz}{dx} \right) = 0,
\]
in welcher $f$ eine ganze Function der darin enthaltenen Grössen
bedeuten soll, ferner
\[
  Z_1, Z_2, \dotsc, Z_r
\]
eine Reihe von $r$ andern Integralen der resp.\ irreductiblen
Differentialgleichungen erster Ordnung
\[
\tag{44}
\begin{array}{c}
                           \left( \dfrac{dz_1}{dx} \right)^{k_1}
+ \varphi_1       (x, z_1) \left( \dfrac{dz_1}{dx} \right)^{k_1 -1} +
\dotsb
+ \varphi_{k_1 -1}(x, z_1)        \dfrac{dz_1}{dx}
+ \varphi_{k_1}   (x, z_1) = 0,
\\[1em]
                        \left( \dfrac{dz_2}{dx} \right)^{k_2}
+ \psi_1       (x, z_2) \left( \dfrac{dz_2}{dx} \right)^{k_2 -1} + \dotsb
+ \psi_{k_2 -1}(x, z_2)        \dfrac{dz_2}{dx}
+ \psi_{k_2}   (x, z_2) = 0,
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
                        \left( \dfrac{dz_r}{dx} \right)^{k_r}
+ \chi_1       (x, z_r) \left( \dfrac{dz_r}{dx} \right)^{k_r -1} + \dotsb
+ \chi_{k_r -1}(x, z_r)        \dfrac{dz_r}{dx}
+ \chi_{k_r}   (x, z_r) = 0,
\end{array}
\]
in welchen
\[
  \varphi_\alpha(x, z_1), \psi_\alpha(x, z_2), \dotsc
  \chi_\alpha(x, z_r)
\]
rationale Functionen vorstellen, und werde von den Integralen
$Z_1, Z_2 \dotsc Z_r$ vorausgesetzt, dass sie weder selbst algebraische
Functionen von $x$ sind, noch zwischen ihnen eine algebraische Beziehung
besteht, dass dieselben jedoch mit $Z$ durch den algebraischen
Zusammenhang
%-----File: 128.png------------------------------
\[
\tag{45}
  F(x, Z, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r) = 0
\]
verbunden sind; wir wollen die Eigenschaft und Form der Gleichung
(45) untersuchen.

Differentiirt man diese letztere Gleichung nach $x$ und eliminirt
zwischen den drei Gleichungen
\[
  F(x, Z, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r) = 0, \quad
  \frac{dF}{dx} = 0, \quad
  f\left( x, Z, \frac{dZ}{dx} \right) = 0
\]
die beiden Grössen $Z$ und $\frac{dZ}{dx}$, so ergiebt sich eine Gleichung
von
der Form
\[
\tag{46}
  H\left( x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r,
          \frac{dZ_1}{dx}, \frac{dZ_2}{dx}, \dotsc \frac{dZ_r}{dx}
  \right) = 0,
\]
worin $H$ eine ganze Function der darin enthaltenen Grössen
bedeutet; und dieses in rationaler Form hergeleitete Eliminationsresultat
wird auch ersetzt werden können durch dasjenige, das man erhält,
wenn man vermittels Auflösung der Gleichung (45) nach $Z$, in
Bezug auf welche Variable sie vom $k^{\text{ten}}$ Grade sein mag,
\[
  Z = \omega_1(x, Z_1, \dotsc Z_r),\;
  Z = \omega_2(x, Z_1, \dotsc Z_r), \dotsc
  Z = \omega_k(x, Z_1, \dotsc Z_r),
\]
ermittelt, die Grössen
\begin{gather*}
  \frac{dZ}{dx} = \frac{d\omega_1(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx},\quad
  \frac{dZ}{dx} = \frac{d\omega_2(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx}, \dotsc
\\
  \frac{dZ}{dx} = \frac{d\omega_k(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx}
\end{gather*}
bildet und in die Gleichung (43) einsetzt, woraus als zweite Form
des Eliminationsresultates

\begin{align*}
\tag{47}
      &f\left( x, \omega_1(x, Z_1, \dotsc Z_r),
           \frac{d\omega_1(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx} \right)
\\
×&f\left( x, \omega_2(x, Z_1, \dotsc Z_r),
           \frac{d\omega_2(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx} \right) \dotsm
\\
×&f\left( x, \omega_k(x, Z_1, \dotsc Z_r),
           \frac{d\omega_k(x, Z_1, \dotsc Z_r)}{dx} \right) = 0
\end{align*}
folgt.

Denkt man sich nun aus den $r$ Gleichungen (44), wenn in dieselben
$Z_1$, $Z_2,\dotsc Z_r$ statt $z_1$, $z_2,\dotsc z_r$ gesetzt ist,
und der
Gleichung (46) die $r$ Grössen
\[
  \frac{dZ_1}{dx}, \frac{dZ_2}{dx}, \dotsc \frac{dZ_r}{dx}
\]
eliminirt, so würde sich eine algebraische Beziehung von der Form
\[
\tag{48}
  K(x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r) = 0
\]
zwischen den Grössen $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ ergeben, welche der oben
gemachten Voraussetzung gemäss nicht bestehen darf, und es wird
somit das Eliminationsresultat (48) für alle beliebigen Werthe der
%-----File: 129.png------------------------------
Grössen $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ identisch erfüllt sein müssen. Aber auch
diese eben ausgeführte Elimination und daher jene in den Grössen
$Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ identische Gleichung kann anders dargestellt
werden;
berechnet man nämlich aus den Differentialgleichungen (44) die
Werthe
\[
\begin{array}{c}
  \dfrac{dZ_1}{dx} = h_{1\,1  }(x, Z_1),\;
  \dfrac{dZ_1}{dx} = h_{1\,2  }(x, Z_1), \dotsb
  \dfrac{dZ_1}{dx} = h_{1\,k_1}(x, Z_1),
\\[1em]
  \dfrac{dZ_2}{dx} = h_{2\,1  }(x, Z_2),\;
  \dfrac{dZ_2}{dx} = h_{2\,2  }(x, Z_2), \dotsb
  \dfrac{dZ_2}{dx} = h_{2\,k_2}(x, Z_2),
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \dfrac{dZ_r}{dx} = h_{r\,1  }(x, Z_r),\;
  \dfrac{dZ_r}{dx} = h_{r\,2  }(x, Z_r), \dotsb
  \dfrac{dZ_r}{dx} = h_{r\,k_r}(x, Z_r),
\end{array}
\]
und setzt dieselben in all' ihren Verbindungen in (46) ein, so
folgt, dass
\[
  \prod_{\alpha, \beta \dotsc \varrho}
  H\bigl( x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r,
          \,h_{1\,\alpha}(x, Z_1), \,h_{2\,\beta}(x, Z_2), \dotsc
          h_{r\,\varrho}(x, Z_r)
  \bigr) = 0
\]
für alle beliebigen Werthe von $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ identisch
befriedigt,
oder dass in Folge der oben vorausgesetzten Irreductibilität der
Gleichungen (44) die Gleichung
\[
  H\bigl( x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r,
          \,h_{1\,\alpha}(x, Z_1), \,h_{2\,\beta}(x, Z_2), \dotsc
          h_{r\,\varrho}(x, Z_r)
  \bigr) = 0
\]
für eine beliebige Werthecombination von
$\alpha$, $\beta, \dotsc \varrho$ erfüllt sein
muss, wenn statt $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ beliebige andere Grössen
gesetzt
werden, oder dass endlich die Gleichung (46) ebenfalls stattfinden
muss, wenn statt $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ andere Integrale
\[
  Z'_1, Z'_2, \dotsc Z'_r
\]
der Differentialgleichungen (44) gesetzt werden.

Da aber die Gleichung (46) nur eine andere Form des Eliminationsresultates
als das durch (47) dargestellte angiebt, so wird also
auch die identische Beziehung bestehen
\begin{align*}
\tag{49}
      &f\left( x, \omega_1(x, Z'_1, \dotsc Z'_r),
           \frac{d\omega_1(x, Z'_1, \dotsc Z'_r)}{dx} \right)
\\
×&f\left( x, \omega_2(x, Z'_1, \dotsc Z'_r),
           \frac{d\omega_2(x, Z'_1, \dotsc Z'_r)}{dx} \right) \dotsm
\\
×&f\left( x, \omega_k(x, Z'_1, \dotsc Z'_r),
           \frac{d\omega_k(x, Z'_1, \dotsc Z'_r)}{dx} \right) = 0,
\end{align*}
welche wiederum nichts anderes aussagt, als dass die Gleichung (43)
auch die durch den Ausdruck
\[
\tag{50}
  Z' = \omega_\alpha(x, Z'_1, Z'_2, \dotsc Z'_r)
\]
gegebene Function zum Integral hat, wenn $\alpha$ einen der Indices
$1$, $2, \dotsc k$ bedeutet. Da sich nun aus (50) der Gleichung (45)
gemäss
\[
\tag{51}
  F(x, Z', Z'_1, Z'_2, \dotsc Z'_r) = 0
\]
%-----File: 130.png------------------------------
ergiebt, so folgt,
\begin{quote}
\emph{dass, wenn zwischen den Integralen}
\[
Z,  Z_1,  Z_2,  \dotsc Z_r
\]
\emph{der irreductiblen Differentialgleichungen $(43)$ und $(44)$ ein
algebraischer Zusammenhang stattfindet, und man setzt statt
der Grössen $Z_1$, $Z_2, \dotsc Z_r$ $r$ beliebige andere Integrale
der Differentialgleichungen $(44)$, so wird die algebraische
Beziehung noch fortbestehen, wenn für $Z$ ein gewisses anderes
Integral $Z^\prime$ der Differentialgleichung $(43)$ gesetzt wird}.
\end{quote}

Um diesen Satz auf das oben gestellte Problem anzuwenden,
nämlich zu untersuchen, ob in eine algebraische Beziehung zwischen
hyperelliptischen Integralen auch die Umkehrungsfunctionen der niederen
Integrale eintreten können, sei $Z$ die Lösung einer irreductiblen
Differentialgleichung
\[
\tag{52}
  f_0(x){\left( \frac{dz}{dx} \right)}^2 + f_1(x) \frac{dz}{dx}
+ f_2(x) = 0,
\]
in welcher
\[
f_0 (x),\ f_1 (x),\ f_2 (x)
\]
ganze Functionen von $x$ bedeuten, deren Integral also das allgemeine
hyperelliptische Integral sein wird, ferner seien
\[
  Z_2,\ Z_3, \dotsc Z_r
\]
Lösungen ähnlicher Differentialgleichungen, also wieder hyperelliptische
Integrale, und endlich $Z_1$, durch
\[
Z_1 = e^v
\]
definirt, worin $v$ eine algebraische Function von $x$ bedeuten soll,
also
ein Integral der Differentialgleichung
\[
\tag{53}
  \frac{dz_1}{dx} = z_1 \frac{dv}{dx} ,
\]
welche mit der algebraischen Gleichung in Verbindung gebracht,
welche $v$ als Function von $x$ definirt, die Form der
Differentialgleichungen
(44) annimmt.

Bestünde nun ein algebraischer Zusammenhang zwischen diesen
hyperelliptischen Integralen und der Exponentialfunction von der Form
\[
\tag{54}
  Z = \omega(x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_r),
\]
so würde man nach dem obigen Satze berechtigt sein, für $Z_1$ das
Integral $mZ_1$ der Gleichung (53) einzuführen, wenn nur für $Z$ ein
gewisses anderes Integral der Gleichung (52) gesetzt wird; da aber
alle Integrale der letztbezeichneten Gleichung in der Form
\[
Z+\mu
\]
enthalten sind, worin $\mu$ eine bestimmte Function von $m$ sein wird,
so folgt aus (54), wenn zur Abkürzung
\[
  \omega (x, Z_1,  Z_2, \dotsc Z_r) = \omega (Z_1)
\]
%-----File: 131.png------------------------------
gesetzt wird,
\[
\tag{55}
\omega (m Z_1) = \omega (Z_1) + \mu = \omega (Z_1) + \varphi (m),
\]
welche Gleichung für jedes $Z_1$ und jedes constante $m$ gültig ist.
Setzt man hierin $Z_1 = 1$, so folgt
\[
\varphi (m) = \omega (m) - \omega(0)
\]
und somit
\[
\tag{56}
\omega (m Z_1) = \omega (Z_1) + \omega (m) - \omega (0),
\]
woraus sich durch Differentiation nach $Z_1$ und $m$
\begin{align*}
    m \omega^\prime (m Z_1) &= \omega^\prime (Z_1)  \\
  Z_1 \omega^\prime (m Z_1) &= \omega^\prime (m)    \\
\intertext{also}
  Z_1 \omega^\prime (Z_1)   &= m \omega^\prime (m)  \\
\intertext{ergiebt; daraus folgt, dass}
  Z_1 \omega^\prime (Z_1)   &= P
\end{align*}
ist, worin $P$ eine von $Z_1$ unabhängige Grösse bedeutet, oder dass
\[
  \omega (Z_1)
= \omega (x, Z_1, Z_2, \dotsc Z_n)
= P\log Z_1 + Q = Pv + Q,
\]
\dh\ \emph{dass $e^\nu$ selbst in der Relation gar nicht enthalten
ist}.

Es mag endlich noch untersucht werden, ob in jener algebraischen
Beziehung zwischen hyperelliptischen Integralen etwa noch eine
elliptische
Function von der Form
\[
Z_1 = \sin \mathrm{am} (u,k),
\]
worin $u$ eine algebraische Function von $x$ bedeutet, enthalten sein
kann. Da diese Function der Differentialgleichung genügt
\[
\frac{dz_1}{dx} = \sqrt{(1-z_1^2)(1-k^2 z_1^2)} \frac{du}{dx},
\]
welche wiederum wie oben in eine algebraische Differentialgleichung
zwischen $z_1$, und $x$ transformirt werden kann, ferner zu jedem
particulären
Integrale
\[
Z_1^\prime = \sin \mathrm{am} (u + \alpha),
\]
in welchem $\alpha$ eine Constante bedeutet, ein anderes Integral
\[
Z_1^\prime
= \sin \mathrm{am} (u+c)
= \sin \mathrm{am} (u + \alpha + c - \alpha)
\]
gehört, in welchem $c$ eine willkürliche Constante ist, so wird sich
mit Hülfe des Additionstheorems, wenn
\[
\sin \mathrm{am} (c - \alpha) = m
\]
gesetzt wird,
\[
Z_1^\prime = \frac{Z_1 \sqrt{(1-m^2  )(1-k^2 m^2   )}
                   + m \sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)}}
                  {1-k^2 m^2 Z_1^2}
\]
ergeben, und was auch $\alpha$ sein mag, \dh\ welches der particulären
Integrale der obigen Form wir auch wählen, es wird für jeden beliebigen
Werth von $m$ auch $Z_1^\prime$ ein Integral sein. Genau dieselben
%-----File: 132.png------------------------------
Schlüsse wie vorher führen, wenn die analoge Bezeichnung gewählt
wird, auf die Gleichung
\[
  \omega \left( \frac{Z_1 \sqrt{(1-m^2)(1-k^2 m^2)}
                     + m \sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)}}
                     {1-k^2 m^2 Z_1^2} \right)
= \omega (Z_1) + \varphi (m)
\]
oder auch, wenn $Z_1 = 0$ gesetzt wird, auf
\[
  \omega \left( \frac{Z_1 \sqrt{(1-m^2)(1-k^2 m^2)}
                     + m \sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)}}
                     {1-k^2 m^2 Z_1^2} \right)
= \omega(Z_1) + \omega(m) - \omega(0).
\]

Differentiirt man nun diese Gleichung nach $Z_1$ und $m$, und setzt
die beiden so erhaltenen Gleichungen zusammen, so folgt
\[
\begin{aligned}
 &\frac{ \dfrac{\partial \omega (Z_1)}{\partial Z_1} }
       { \dfrac{\partial}{\partial Z_1}
         \left[\dfrac{ Z_1\sqrt{(1-m^2)(1-k^2 m^2)}
                    + m\sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)} }
                    { 1-k^2 m^2 Z_1^2 } \right] }
\\[1em]
=&\frac{ \dfrac{\partial \omega (m)  }{\partial m} }
       { \dfrac{\partial}{\partial m}
         \left[\dfrac{ Z_1\sqrt{(1-m^2)(1-k^2 m^2)}
                    + m\sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)} }
                    { 1-k^2 m^2 Z_1^2 } \right] }
\end{aligned}
\]
oder
\[
\tag{57}
  \frac{ \dfrac{\partial \omega (Z_1)}{\partial Z_1} }
       { \dfrac{\partial Z_1^{\prime}}{\partial Z_1} }
= \frac{ \dfrac{\partial \omega (m)  }{\partial m} }
       { \dfrac{\partial Z_1^{\prime}}{\partial m} }
\]
als Gleichung zur Bestimmung von $\omega$.

Da aber, wenn zur Abkürzung
\[
  Z_1 = \sin \text{ am } v,\ m = \sin \text{ am } w
\]
gesetzt wird,
\begin{align*}
  \frac{ \partial Z_1^{\prime} }{\partial Z_1}
= \frac{ \partial \sin \text{ am } (v + w) }
       { \partial \sin \text{ am } v }
=&\frac{ \partial \sin \text{ am } (v+w) }{\partial v }
  \frac{1}{ \dfrac{\partial \sin \text{ am } v}{\partial v} }
\\
=&\frac{ \partial \sin \text{ am } (v+w) }{\partial v }
  \frac{1}{ \sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)} }
\intertext{und ebenso}
  \frac{\partial Z_1^{\prime}}{\partial m}
= \frac{ \partial \sin \text{ am } (v + w) }
       { \partial \sin \text{ am } w }
=&\frac{ \partial \sin \text{ am } (v+w) }{ \partial w }
  \frac{ 1 }{ \dfrac{ \partial \sin \text{ am } w }{ \partial w } } \\
=&\frac{ \partial \sin \text{ am } (v + w) }{ \partial w }
  \frac{ 1 }{ \sqrt{ (1-m^2)(1-k^2 m^2) } }
\end{align*}
ist, so wird die obige Bestimmungsgleichung (57) in
\[
  \frac{ \partial \omega (Z_1)}{\partial Z_1 }
  \sqrt{ (1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2) }
= \frac{\partial \omega (m) }{\partial m }
  \sqrt{ (1-m^2)(1-k^2 m^2) }
\]
übergehen und daher
\[
  \frac{ \partial \omega (Z_1) }{ \partial Z_1 }
  \sqrt{ (1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2) } = g
\]
eine von $Z_1$ unabhängige Constante sein. Es folgt hieraus
%-----File: 133.png------------------------------
\begin{align*}
  \frac{\partial \omega (Z_1)}{\partial Z_1}
=&\frac{g}{\sqrt{(1-Z_1^2)(1-k^2 Z_1^2)}}
\intertext{oder wegen}
  Z_l =& \sin \text{ am } (u + \alpha )
\end{align*}
die Beziehung
\[
\omega ( Z_1 ) = gu + h;
\]
es ist somit wieder nachgewiesen, \emph{dass auch die elliptische
Umkehrungsfunction
nicht in jener algebraischen Verbindungsgleichung zwischen
hyperelliptischen Integralen vorkommen kann}.

Das oben erwähnte Princip reicht aus, um auch die Unmöglichkeit
des Vorkommens der hyperelliptischen Umkehrungsfunctionen
in einer algebraischen Relation zwischen hyperelliptischen Integralen
festzustellen.
\eoc
%-----File: 134.png------------------------------


\Chapter{Achte Vorlesung.}
{Reduction hyperelliptischer Integrale auf niedere Transcendente.}

\addtotoc{Hyperelliptische Integrale, welche auf algebraische Functionen
zurückführbar sind}

Es soll im Folgenden eine Anwendung der in den letzten
Vorlesungen entwickelten Theorie auf die Lösung des Problems gegeben
werden, die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür
aufzustellen, dass hyperelliptische Integrale auf
algebraisch-logarithmische
Functionen reducirbar sind.

Sei
\[
\tag{1}
  R(z) = A(z-\alpha_1)(z-\alpha_2) \dotsm (z-\alpha_{2p+1})
\]
und
\[
\tag{a}
  \int f\bigl( z, \sqrt{R(z)} \,\bigr) \,dz,
\]
worin $f$ eine rationale Function von $z$ und $\sqrt{R(z)}$ bedeutet, in
Betreff der Möglichkeit der Reduction auf algebraisch-logarithmische
Functionen zu untersuchen (der unpaare Grad des Polynoms $R(z)$
giebt bekanntlich keine Beschränkung der Allgemeinheit des
gestellten Problems), so ist ersichtlich, dass man sich nur mit einem
Integrale von der Form
\[
\tag{b}
  \int \frac{F(z) dz}{\sqrt{R(z)}},
\]
worin $F(z)$ eine rationale Function von $z$ bedeutet, wird zu
beschäftigen
haben, da sich das vorgelegte stets auf ein solches und ein Integral
einer rationalen Function von $z$ zurückführen lässt, welches
letztere durch eine algebraisch-logarithmische Function dargestellt
werden kann.

Fragen wir zuerst nach den nothwendigen und hinreichenden
Bedingungen dafür, dass ein Integral von der Form (b) auf eine
algebraische Function von $z$ oder mit Berücksichtigung des in der
letzten
Vorlesung bewiesenen Satzes auf eine rationale Function von $z$ und
$\sqrt{R(z)}$ reducirbar ist, so wird, wenn
\[
  z_1, z_2, \dotsc z_n
\]
die Werthe von $z$ bedeuten, für welche $F(z)$ unendlich wird, nach
der in der vierten Vorlesung gegebenen Zerlegung eines
hyperelliptischen Integrales die Gleichung statthaben müssen:
%-----File: 135.png------------------------------
\[
\tag{2}
\begin{array}[t]{rccccl}
  &C_1\dint \frac{ \sqrt{R(z_1)} \;dz}{(z-z_1) \sqrt{R(z)} }
&+&C_2\dint \frac{ \sqrt{R(z_2)} \;dz}{(z-z_2) \sqrt{R(z)} } &+ \dotsb
+& C_n\dint \frac{ \sqrt{R(z_n)} \;dz}{(z-z_n) \sqrt{R(z)} }
\\[10pt]
+& l^{(0)} \dint \frac{z^{2p-1} dz}{ \sqrt{R(z)} }
&+&l^{(1)} \dint \frac{z^{2p-2} dz}{ \sqrt{R(z)} } &+ \dotsb
+& l^{(p-1)} \dint \frac{z^p dz}{ \sqrt{R(z)} }
\\[10pt]
+& k^{(p)}  \dint \frac{z^{p-1} dz}{ \sqrt{R(z)} }
&+&k^{(p+1)} \dint \frac{z^{p-2} dz}{ \sqrt{R(z)} } &+ \dotsb
+& k^{(2p-1)} \dint \frac{ dz }{ \sqrt{R(z)} } + f(z)\sqrt{R(z)}
\\
&&&= q\sqrt{R(z)},
\end{array}
\]
worin die Grössen
\[
  C_1, C_2, \dotsc C_n,
  l^{(0)}, l^{(1)}, \dotsc l^{(p-1)},
  k^{(p)}, k^{(p+1)}, \dotsc k^{(2p-1)}, f(z)
\]
die dort näher angegebenen Werthe haben, und $q$ eine rationale
Function von $z$ bedeutet.

Da nun die Integrale dritter Gattung auf der linken Seite der
Gleichung (2) in $z_1$, $z_2, \dotsc z_n$ logarithmisch unendlich werden,
und
sonst logarithmische Unstetigkeiten in dieser Gleichung nicht vorkommen,
so müssen diese aus der in $z$ identischen Gleichung herausfallen,
und es ergeben sich somit zunächst als nothwendige Bedingungen
für die Reduction eines hyperelliptischen Integrales auf
eine algebraische Function
\[
  C_1 = C_2 = \dotsb = C_n = 0,
\]
da diese die Coefficienten der Unstetigkeitsfunctionen
\[
  \log(z-z_1),\ \log(z-z_2), \dotsc \log(z-z_n)
\]
sind.

Es würde nunmehr eine Summe von hyperelliptischen Normalintegralen
erster und zweiter Gattung und eines algebraischen Theiles
einer algebraischen oder vielmehr in $z$ und $\sqrt{R(z)}$ rationalen
Function
gleich sein müssen, was nach den Auseinandersetzungen der
fünften Vorlesung das Verschwinden der Coefficienten der einzelnen
Fundamentalintegrale der beiden Gattungen nach sich zieht, und umgekehrt
ist das Verschwinden sämmtlicher $k$, $l$, $C$ oder der Integrale
erster, zweiter und dritter Gattung für die Reduction eines
hyperelliptischen
Integrales auf eine algebraische Function hinreichend;
wenn wir somit die in der vierten Vorlesung hergeleiteten Werthe
der $k$, $l$, $C$ benutzen, so ergeben sich als nothwendige und
hinreichende
Bedingungen dafür, dass das Integral
\[
  \int \frac{F(z) \;dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
auf algebraische Functionen reducirbar ist, die folgenden:
\[
\tag{3}
  {\left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]}_{{(t-z_1)}^{-1}}
\mspace{-40 mu}
= 0, \quad
  {\left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]}_{{(t-z_2)}^{-1}}
\mspace{-40 mu}
= 0, \dotsc
  {\left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]}_{{(t-z_n)}^{-1}}
\mspace{-40 mu}
= 0,
\]
%-----File: 136.png------------------------------
\[
\tag{4}
  \sum_{\alpha=1}^n
  \left[ \frac{F  (t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
         \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
- \left[ \frac{F  (t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
         \frac{F_r(t)\;dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}\mspace{-20 mu} =0,
\]
wenn
\begin{align*}
  R(z) &= A z^{2p+1} + B_0 z^{2p} + B_1 z^{2p-1} + \dotsb
        + B_{2p-1} z + B_{2p},
\\
  F_r(t) &= \frac{2p-2r-1}{2} A t^r + \frac{2p-2r}{2} B_0 t^{r-1}
          + \frac{2p-2r+1}{2} B_1 t^{r-2} + \dotsb
\\
+ &\frac{2p-r-3}{2} B_{r-3} t^2 + \frac{2p-r-2}{2} B_{r-2} t
+ \frac{2p-r-1}{2} B_{r-1} ,
\end{align*}
und
\[
  r = 0, 1, 2, \dotsc p-1, p, \dotsc 2p-1
\]
gesetzt wird.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so ist auch der algebraische
Werth des vorgelegten hyperelliptischen Integrales gefunden, indem
derselbe, wie aus der Gleichung (2) zu ersehen,
\[
  f(z) \sqrt{R(z)},
\]
oder
\[
  \left\{ \sum_{\alpha=1}^n
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
         \frac{dt}{(t-z) \sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
- \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
         \frac{dt}{(t-z) \sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
  \right\} \sqrt{R(z)}
\]
ist.

\addtotoc{Hyperelliptische Integrale, welche auf
algebraisch-logarithmische
Functionen zurückführbar sind}
Wir werfen weiter die Frage nach den nothwendigen und
hinreichenden Bedingungen dafür auf, dass ein hyperelliptisches Integral
\[
  \int \frac{F(z)\;dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
auf algebraische und logarithmische Functionen von $z$ reducirbar ist
oder wiederum nach dem früheren Satze auf rationale Functionen von
$z$ und $\sqrt{R(z)}$ und auf Logarithmen eben solcher Functionen.

Setzt man in der hypothetisch angenommenen Gleichung $-\sqrt{R(z)}$
statt $\sqrt{R(z)}$ und zieht die so erhaltene Gleichung von der ersteren
ab, so ergiebt sich als zu befriedigende Gleichung die folgende:
\[
\tag{5}
\begin{array}[t]{rccccl}
 & C_1 \dint \frac{\sqrt{R(z_1)} \;dz}{(z-z_1) \sqrt{R(z)}}
&+& C_2 \dint \frac{\sqrt{R(z_2)} \;dz}{(z-z_2) \sqrt{R(z)}} &+ \dotsb
+&C_n \dint \frac{\sqrt{R(z_n)} \;dz}{(z-z_n) \sqrt{R(z)}}
\\[10pt]
+& l^{(0  )} \dint \frac{z^{2p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
&+& l^{(1  )} \dint \frac{z^{2p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &+ \dotsb
+&l^{(p-1)} \dint \frac{z^{ p  } dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[10pt]
+& k^{( p  )} \dint \frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
&+& k^{( p+1)} \dint \frac{z^{p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &+ \dotsb
+&k^{(2p-1)} \dint \frac{        dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
&&&+f(z) \sqrt{R(z)}
\\
\multispan{6}{$= A_1 \log \left( \dfrac{ p_1 - q_1 \sqrt{R(z)} }
                       { p_1 + q_1 \sqrt{R(z)} } \right)
+ A_2 \log \left( \dfrac{ p_2 - q_2 \sqrt{R(z)} }
                       { p_2 + q_2 \sqrt{R(z)} } \right) + \dotsb
+A_m \log \left( \dfrac{ p_m - q_m \sqrt{R(z)} }
                       { p_m + q_m \sqrt{R(z)} } \right)$\kern-12pt}
%[** TN: Kern to trick LaTeX into thinking the line is a bit narrower]
\\
&&&+q \sqrt{R(z)},
\end{array}
\]
%-----File: 137.png------------------------------
in welcher
\[
  p_1, q_1, p_2, q_2, \dotsc p_m, q_m, q
\]
rationale Functionen von $z$ bedeuten.

Vor Allem darf angenommen werden, dass zwischen den Grössen
\[
  A_1, A_2, \dotsc A_m
\]
nicht eine ganzzahlige homogene lineare Gleichung
\[
  r_1 A_1 + r_2 A_2 + \dotsb + r_m A_m = 0
\]
besteht, da man sonst
\[
  A_m = -\frac{r_1}{r_m} A_1 - \frac{r_2}{r_m} A_2 - \dotsb
       - \frac{r_{m-1}}{r_m} A_{m-1}
\]
setzen und die rechte Seite der Gleichung (5), wenn
\[
  \bigl( p_1 - q_1 \sqrt{R(z)} \,\bigr)^{r_m}
  \bigl( p_m + q_m \sqrt{R(z)} \,\bigr)^{r_1} = P_1 - Q_1 \sqrt{R(z)}
\]
gesetzt wird, in die Form
\begin{gather*}
  \frac{A_1}{r_m}
  \log\left( \frac{P_1 - Q_1 \sqrt{R(z)}}
                  {P_1 + Q_1 \sqrt{R(z)}} \right)
+ \frac{A_2}{r_m}
  \log\left( \frac{P_2 - Q_2 \sqrt{R(z)}}
                  {P_2 + Q_2 \sqrt{R(z)}} \right) + \dotsb
\\
+ \frac{A_{m-1}}{r_m}
  \log\left( \frac{P_{m-1} - Q_{m-1} \sqrt{R(z)}}
                  {P_{m-1} + Q_{m-1} \sqrt{R(z)}} \right)
+ q \sqrt{R(z)}
\end{gather*}
bringen kann, welche dann der weiteren Untersuchung zu Grunde
zu legen wäre.

Es war schon hervorgehoben worden, dass die linke Seite der
Gleichung (5) für die Werthe $z_1, z_2, \dotsc z_n$ und nur für diese
logarithmisch unendlich wird und zwar auf beiden Blättern mit den
logarithmischen Gliedern
\[
  ± C_1 \log (z-z_1), \;± C_2 \log (z-z_2), \dotsc
  ± C_n \log (z-z_n),
\]
und es wird somit auch die rechte Seite für diese Werthe logarithmisch
unendlich sein müssen und nur für diese. Untersucht man nun einen
einzelnen der logarithmischen Posten auf der rechten Seite der
Gleichung (5)
\[
  A_k
  \log\left( \frac{p_k - q_k \sqrt{R(z)}}
                  {p_k + q_k \sqrt{R(z)}} \right),
\]
so wird das Argument desselben nur und zwar stets Null oder unendlich,
also der Logarithmus in allen Fällen unendlich für Lösungen der
Gleichung:
\[
\tag{6}
  p_k^2 -q_k^2 R(z) = 0,
\]
wenn diese nicht zu den Verzweigungswerthen
$\alpha_1, \alpha_2, \dotsc \alpha_{2p+1}$ gehören,
oder wenn diese Gleichung nicht durch die den beiden Gleichungen
\[
  p_k = 0 \text{ und } R(z) = 0
\]
gemeinsamen Lösungen befriedigt wird, indem wir die gemeinsamen
Factoren von $p_k$ und $q_k$ bereits aus dem Logarithmanden
herausgeschafft
%-----File: 138.png------------------------------
denken. Alle übrigen Lösungen der Gleichung (6) nun
werden zu den oben angegebenen Werthen $z_1, z_2,\dotsc z_n$ gehören
müssen; denn wenn diese Gleichung \zB\ die Lösung $z'$ und zwar
$\tau_k$mal hat, so wird
\[
  \bigl(p_k-q_k\sqrt{R(z)}\,\bigr)
  \bigl(p_k+q_k\sqrt{R(Z)}\,\bigr)
= (z-z')^{\tau_k}\varphi(z)
\]
sein, worin $\varphi(z)$ für $z=z'$ endlich und von Null verschieden
ist, und
daher
\[
  \log \bigl(p_k-q_k\sqrt{R(z)}\,\bigr)
+ \log \bigl(p_k+q_k\sqrt{R(z)}\,\bigr)
= \tau_k\log(z-z') + \log\phi(z);
\]
somit wird, je nachdem die Irrationalität aus der einen oder andern
Beziehung
\[
  \sqrt{R(z')}= \frac{p_k}{q_k} \text{ oder }
  \sqrt{R(z')}=-\frac{p_k}{q_k}
\]
bestimmt wird, das durch jenen logarithmischen Posten gelieferte
logarithmische Unstetigkeitsglied
\[
  \tau_kA_k\log(z-z') \text{ oder }
 -\tau_kA_k\log(z-z')
\]
sein; da aber die rechte Seite der Gleichung (5) nur für die Werthe
$z_1, z_2, \dotsc z_n$ logarithmisch unendlich werden darf, so müsste
sich,
wenn $z'$ nicht zu dieser Werthereihe gehörte, das eben gefundene
Unstetigkeitsglied gegen andere mit derselben Unstetigkeit fortheben,
und es müsste dann eine Gleichung von der Form bestehen
\[
  ±\tau_1A_1±\tau_2A_2± \dotsb ±\tau_mA_m=0,
\]
was oben ausdrücklich ausgeschlossen war; man wird somit
\[
\tag{7}
\begin{array}{llll}
p^2_1-q^2_1R\left( z \right) &= M_1
\left( z-\zeta_{1\,1} \right)^{\tau_{1\,1}}
&\left( z-\zeta_{1\,2} \right)^{\tau_{1\,2}} &\dotsm
 \left( z-\zeta_{1\,h_1} \right)^{\tau_{1\,h_1}}
\\
p^2_2-q^2_2R\left( z \right) &= M_2
\left( z-\zeta_{2\,1} \right)^{\tau_{2\,1}}
&\left( z-\zeta_{2\,2} \right)^{\tau_{2\,2}} &\dotsm
 \left( z-\zeta_{2\,h_2} \right)^{\tau_{2\,h_2}}
\\
\hdotsfor[3]{4}
\\
p^2_m-q^2_mR\left( z \right) &= M_m
\left( z-\zeta_{m\,1} \right)^{\tau_{m\,1}}
&\left( z-\zeta_{m\,2} \right)^{\tau_{m\,2}} &\dotsm
 \left( z-\zeta_{m\,h_m} \right)^{\tau_{m\,h_m}}
\end{array}
\]
setzen dürfen, worin alle $\zeta$-Werthe, von den Verzweigungspunkten
abgesehen, zu den Werthen $z_1,z_2,\dotsc z_n$ gehören.

Machen wir nun allgemein die Annahme, dass in der oben hypothetisch
angesetzten Gleichung (5) zwischen den Grössen
\[
C_1,C_2,\dotsc C_n
\]
eine Anzahl von linearen homogenen ganzzahligen Relationen bestehe
von der Form
\[
\tag{8}
\begin{array}{llll}
T_{1\,1}C_1   &+ T_{1\,2}C_2   &+ \dotsb + T_{1\,n}C_n   &=0, \\
T_{2\,1}C_1   &+ T_{2\,2}C_2   &+ \dotsb + T_{2\,n}C_n   &=0, \\
\hdotsfor[3]{4}  \\
T_{n-k\,1}C_1 &+ T_{n-k\,2}C_2 &+ \dotsb + T_{n-k\,n}C_n &=0,
\end{array}
\]
%-----File: 139.png------------------------------
die von einander unabhängig sein sollen, so wird man $n-k$ der
Grössen $C$, \zB
\[
C_{k+1},\ C_{k+2},\ \dots\ C_n,
\]
durch
\[
\tag{k}  C_1,\ C_2,\ \dots\ C_k,
\]
homogen, linear mit rationalen Coefficienten ausdrücken und
annehmen können, dass zwischen den Grössen der Reihe ($k$) nicht mehr
eine lineare homogene ganzzahlige Relation stattfindet.

Stellt man diese Relationen in der Form dar:
\[
\tag{9}
\begin{array}{l @{\;=\;} *{2}{l @{\;+\;}} l}
D · C_{k+1} & \lambda_{1\,1}C_1   & \lambda_{1\,2}C_2   & \cdots +
\lambda_{1\,k}C_k,   \\
D · C_{k+2} & \lambda_{2\,1}C_1   & \lambda_{2\,2}C_2   & \cdots +
\lambda_{2\,k}C_k,   \\
\hdotsfor[4]{4}\\
D · C_n     & \lambda_{n-k\,1}C_1 & \lambda_{n-k\,2}C_2 & \cdots +
\lambda_{n-k\,k}C_k, \\
\end{array}
\]
worin die Grössen $D$ und $\lambda$ ganze Zahlen bedeuten, so geht die zu
befriedigende Gleichung~(5), aus deren Existenz wir nothwendige
Bedingungen herleiten wollen, in
\[
\tag{10}
\setlength{\TmpLen}{-12pt}
\begin{array}[t]{l@{} l@{\;+\;} l}
 &\ \dfrac{C_1}{D}
\left\{
D \dint
    \frac{\sqrt{R(z_1)}\;dz}      {(z-z_1)\sqrt{R(z)}}  \right.
&       \lambda_{1\,1} \dint
    \frac{\sqrt{R(z_{k+1})}\;dz}  {(z-z_{k+1})\sqrt{R(z)}}\kern\TmpLen
\\[1.3em]
&& \left. \lambda_{2\,1} \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_{k+2})}\;dz}  {(z-z_{k+2})\sqrt{R(z)}} + \cdots +
        \lambda_{n-k\,1} \int
    \frac{\sqrt{R(z_n)}\;dz}{(z-z_n)\sqrt{R(z)}} \right\}\kern\TmpLen
\\[1.3em]
\llap{$+$} &\ \dfrac{C_2}{D}
\left\{
D \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_2)}\;dz}      {(z-z_2)\sqrt{R(z)}} \right.
&       \lambda_{1\,2} \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_{k+1})}\;dz}{(z-z_{k+1})\sqrt{R(z)}}\kern\TmpLen
\\[1.3em]
&& \left. \lambda_{2\,2} \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_{k+2})}\;dz}  {(z-z_{k+2})\sqrt{R(z)}} + \cdots +
        \lambda_{n-k\,2} \int
    \frac{\sqrt{R(z_n)}\;dz}{(z-z_n)\sqrt{R(z)}} \right\}\kern\TmpLen
\\[0.75em]
\llap{$+$} & \hdotsfor[3]{2}
\\[0.75em]
\llap{$+$} &\ \dfrac{C_k}{D}
\left\{\ds
D \int
    \frac{\sqrt{R(z_k)}\;dz}      {(z-z_k)\sqrt{R(z)}} \right.
&       \lambda_{1\,k} \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_{k+1})}\;dz}  {(z-z_{k+1})\sqrt{R(z)}}\kern\TmpLen
\\[1.3em]
&& \left. \lambda_{2\,k} \ds\int
    \frac{\sqrt{R(z_{k+2})}\;dz}  {(z-z_{k+2})\sqrt{R(z)}} + \cdots +
        \lambda_{n-k\,k}\int
    \frac{\sqrt{R(z_n)}\;dz}      {(z-z_n)\sqrt{R(z)}} \right\}\kern\TmpLen
\\[1.3em]
\llap{$+$}
&\multicolumn{2}{l}{\ds
 l^{(0)} \int
    \frac{z^{2p-1}dz}{\sqrt{R(z)}} + l^{(1)}\int
    \frac{z^{2p-2}dz}{\sqrt{R(z)}} + \cdots + l^{(p-1)}\int
    \frac{z^pdz}{\sqrt{R(z)}}\kern\TmpLen
 }
\\[1.3em]
\llap{$+$}
&\multicolumn{2}{l}{\ds
 k^{(p)} \int
    \frac{z^{p-1}dz}{\sqrt{R(z)}} + k^{(p+1)} \int
    \frac{z^{p-2}dz}{\sqrt{R(z)}} + \cdots + k^{(2p-1)} \int
    \frac{dz}{\sqrt{R(z)}} + f(z)\sqrt{R(z)}\kern\TmpLen
 }
\\[1.3em]
\llap{$=$}
&\multicolumn{2}{l}{\ds
  A_1\log\left(
        \frac{p_1-q_1\sqrt{R(z)}}{p_1+q_1\sqrt{R(z)}}\right) +
  A_2\log\left(
        \frac{p_2-q_2\sqrt{R(z)}}{p_2+q_2\sqrt{R(z)}}\right) + \cdots

  A_m\log\left(
        \frac{p_m-q_m\sqrt{R(z)}}{p_m+q_m\sqrt{R(z)}}\right)\kern\TmpLen
 }
\\[1.3em]
\multicolumn{3}{r}{ {}+ q\sqrt{R(z)} \mspace{200mu}\ }
\end{array}
\]
über.
%-----File: 140.png------------------------------

Bezeichnet man mit $\tau_r^{(s)}$ die Zahl, welche angiebt, wie oft die
$r^{\text{te}}$ der Gleichungen (7) die Lösung $z_s$ enthält, so werden
in Folge
der Gleichheit der Coefficienten der logarithmischen Unstetigkeiten
in den Punkten $z_1, z_2, \dotsc z_k$ auf beiden Seiten der Gleichung
(10)
die Beziehungen statthaben müssen:
\[
\tag{11}
\begin{array}{rl}
  C_1 &= \tau_1^{(1)}A_1 + \tau_2^{(1)}A_2 + \dotsb + \tau_m^{(1)}A_m, \\
  C_2 &= \tau_1^{(2)}A_1 + \tau_2^{(2)}A_2 + \dotsb + \tau_m^{(2)}A_m,
  \\
\hdotsfor[3]{2}
\\
  C_k &= \tau_1^{(k)}A_1 + \tau_2^{(k)}A_2 + \dotsb + \tau_m^{(k)}A_m,
\end{array}
\]
aus denen zuerst unmittelbar ersichtlich ist, dass $m\geqq k$ sein muss,
weil sonst eine homogene lineare ganzzahlige Relation zwischen den
als von einander unabhängig vorausgesetzten Grössen
$C_1, C_2, \dotsc C_k$
sich ergeben würde. Ist aber $m\geqq k$, so können wir die Grössen
\[
  A_{m-k+1}, A_{m-k+2}, \dotsc A_m
\]
homogen linear und rational durch die Grössen
\[
  C_1, C_2, \dotsc C_k, \quad A_1, A_2, \dotsc A_{m-k}
\]
ausdrücken und die rechte Seite der Gleichung (10) würde sich in
die Form bringen lassen
\begin{align*}
 &\frac{C_1}{n_1} \log\left( \frac{P_1 - Q_1\sqrt{R(z)}}
                                  {P_1 + Q_1\sqrt{R(z)}} \right)
+ \frac{C_2}{n_2} \log\left( \frac{P_2 - Q_2\sqrt{R(z)}}
                                  {P_2 + Q_2\sqrt{R(z)}} \right)
+ \dotsb
\\
  \dotsb +
 &\frac{C_k}{n_k} \log\left( \frac{P_k - Q_k\sqrt{R(z)}}
                                  {P_k + Q_k\sqrt{R(z)}} \right)
+ \frac{A_1}{n_{k+1}} \log\left( \frac{P_{k+1} - Q_{k+1}\sqrt{R(z)}}
                                      {P_{k+1} + Q_{k+1}\sqrt{R(z)}}
                          \right)
+ \dotsb
\\
  \dotsb +
 &\frac{A_{m-k}}{n_m} \log\left( \frac{P_m - Q_m\sqrt{R(z)}}
                                      {P_m + Q_m\sqrt{R(z)}} \right),
\end{align*}
worin
\[
  n_1, n_2, \dotsc n_m
\]
ganze Zahlen bedeuten. Man sieht aber, dass sich hieraus wieder
durch Gleichsetzen der Coefficienten der Unstetigkeitsfunctionen in
den Punkten $z_1, z_2, \dotsc z_k$ auf beiden Seiten der jetzt auf der
rechten
Seite reducirten Gleichung (10) eine Reihe von homogenen,
linearen ganzzahligen Beziehungen von der Form
\[
\begin{array}{rl}
  \mu_1 C_1 &= \nu_{1\,1} A_1 + \nu_{1\,2} A_2 + \dotsb
+ \nu_{1\,m-k} A_{m-k}, \\
  \mu_2 C_2 &= \nu_{2\,1} A_1 + \nu_{2\,2} A_2 + \dotsb
+ \nu_{2\,m-k} A_{m-k},
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
  \mu_k C_k &= \nu_{k\,1} A_1 + \nu_{k\,2} A_2 + \dotsb
+ \nu_{k\,m-k} A_{m-k}
\end{array}
\]
ergeben wird, welche wiederum eine Reihe der $A$ durch die $C$ und
die übrig bleibenden $A$ auszudrücken erlaubt; fährt man so fort, so
%-----File: 141.png------------------------------
kann man in der hypothetisch angenommenen Gleichung allmählig
alle $A$ fortschaffen und wird schliesslich nur als Coefficienten der
logarithmischen Glieder der Gleichung (10) die Grössen
$C_1, C_2, \dotsc C_k$,
mit rationalen Coefficienten versehen, übrig behalten, so dass wir --- um
die ganze Gleichung (10) nicht noch einmal hinzuschreiben --- uns
die rechte Seite in die Form gesetzt denken können:
\[
\tag{$\varrho$}
\begin{aligned}
  \varrho_1 C_1 \log \left(
    \frac{ P^{(1)} - Q^{(1)} \sqrt{R(z)} }
         { P^{(1)} + Q^{(1)} \sqrt{R(z)} } \right)
&+ \varrho_2 C_2 \log \left(
    \frac{ P^{(2)} - Q^{(2)} \sqrt{R(z)} }
         { P^{(2)} + Q^{(2)} \sqrt{R(z)} } \right) + \dotsb
\\
  \dotsb
&+ \varrho_k C_k \log \left(
    \frac{ P^{(k)} - Q^{(k)} \sqrt{R(z)} }
         { P^{(k)} + Q^{(k)} \sqrt{R(z)} } \right) + q\sqrt{R(z)},
\end{aligned}
\]
worin
\[
  \varrho_1,\ \varrho_2, \dotsc  \varrho_k
\]
rationale Zahlen bedeuten, und die Gleichungen
\[
  P^{(1)^2} - Q^{(1)^2} R(z) = 0,\
  P^{(2)^2} - Q^{(2)^2} R(z) = 0, \dotsc
  P^{(k)^2} - Q^{(k)^2} R(z) = 0,
\]
von den Verzweigungswerthen abgesehen, nur die Werthe
$z_1$, $z_2, \dotsc z_n$
zu Lösungen haben, und zwar die Gleichung
\[
  P^{(i)^2} - Q^{(i)^2} R(z) = 0
\]
nur die Lösungen
\[
  z_i,\ z_{k+1},\ z_{k+2}, \dotsc z_n,
\]
und zwar
\[
  t_0^{(i)},\ t_1^{(i)},\ \dotsc t_{n-k}^{(i)} \text{-}
\]
-fach.

Endlich ist aus der Gleichung (10) mit der rechten Seite $(\varrho)$
unmittelbar zu sehen, dass
\[
  1 = \varrho_1 t_0^{(1)},\quad
  1 = \varrho_2 t_0^{(2)},\ \dotsc
  1 = \varrho_k t_0^{(k)},
\]
\[
  \frac{\lambda_{\sigma 1}}{D} C_1
+ \frac{\lambda_{\sigma 2}}{D} C_2 + \dotsb
+ \frac{\lambda_{\sigma k}}{D} C_k
= \varrho_1 t_\sigma^{(1)} C_1
+ \varrho_2 t_\sigma^{(2)} C_2 + \dotsb
+ \varrho_k t_\sigma^{(k)} C_k,
\]
woraus folgt, weil eine lineare homogene rationale Beziehung zwischen
den Grössen $C_1$, $C_2, \dotsc C_k$ nicht stattfinden darf, dass
\[
  \frac{\lambda_{\sigma\,1}}{D} = \frac{t_\sigma^{(1)}}{t_0^{(1)}},\quad
  \frac{\lambda_{\sigma\,2}}{D} = \frac{t_\sigma^{(2)}}{t_0^{(2)}},\
  \dotsc
  \frac{\lambda_{\sigma\,k}}{D} = \frac{t_\sigma^{(k)}}{t_0^{(k)}},
\]
sein muss.

Wir erhalten somit das folgende Resultat: wenn ein hyperelliptisches
Integral auf algebraisch-logarithmische Functionen
reducirbar sein soll, so muss nach Zerlegung desselben in die Integrale
der drei Gattungen und den algebraischen Theil nach der oben
angegebenen Methode und nach Reduction der Coefficienten der
Hauptintegrale dritter Gattung auf die von einander unabhängigen, die
hypothetisch vorausgesetzte Gleichung in die Form gebracht werden
können:
%-----File: 142.png------------------------------
\[
\tag{12}
\begin{array}[t]{l}
\begin{aligned}
  C_1 t_0^{(2)} t_0^{(3)} \dotsm t_0^{(k)}
  \left\{
    t_0^{(1)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_1    )} \;dz}{(z-z_1    ) \sqrt{R(z)}}
  \right.
 &+ t_1^{(1)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_{k+1})} \;dz}{(z-z_{k+1}) \sqrt{R(z)}}
  + \dotsb
\\
    \dotsb &+\left. t_{n-k}^{(1)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_n    )} \;dz}{(z-z_n    ) \sqrt{R(z)}}
  \right\}
\\
  C_2 t_0^{(1)} t_0^{(3)} \dotsm t_0^{(k)}
  \left\{
    t_0^{(2)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_2    )} \;dz}{(z-z_2    ) \sqrt{R(z)}}
 \right.
 &+ t_1^{(2)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_{k+1})} \;dz}{(z-z_{k+1}) \sqrt{R(z)}}
  + \dotsb
\\
  \dotsb & \left.+ t_{n-k}^{(2)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_n    )} \;dz}{(z-z_n    ) \sqrt{R(z)}}
  \right\}
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
 + C_k t_0^{(1)} t_0^{(2)} \dotsm t_0^{(k-1)}
  \left\{
    t_0^{(k)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_k    )} \;dz}{(z-z_k    ) \sqrt{R(z)}}
 \right.
 &+ t_1^{(k)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_{k+1})} \;dz}{(z-z_{k+1}) \sqrt{R(z)}}
  + \dotsb
\\
  \dotsb & \left.+ t_{n-k}^{(k)}
    \int \frac{\sqrt{R(z_n    )} \;dz}{(z-z_n    ) \sqrt{R(z)}}
  \right\}
\end{aligned}
\\[1em]
+ t_0^{(1)} t_0^{(2)} \dotsm t_0^{(k)}
  \left\{
  \begin{array}{rr}
  \begin{aligned}
    l^{( 0  )} \int \dfrac{z^{2p-1} dz}{\sqrt{R(z)}} +
    l^{( 1  )} \int \dfrac{z^{2p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &
	+ \dotsb +
    l^{( p-1)} \int \dfrac{z^{ p  } dz}{\sqrt{R(z)}}
\\[1em]
  + k^{( p  )} \int \dfrac{z^{ p-1} dz}{\sqrt{R(z)}} +
    k^{( p+1)} \int \dfrac{z^{ p-2} dz}{\sqrt{R(z)}} &
	+ \dotsb +
    k^{(2p-1)} \int \dfrac{	    dz}{\sqrt{R(z)}}
  \end{aligned}
  \end{array}
  \right\}
\\[2em]
+ t_0^{(1)} t_0^{(2)} \dotsm t_0^{(k)} f(z) \sqrt{R(z)}
\\
= C_1 t_0^{(2)} t_0^{(3)} \dotsm t_0^{(k)}
  \log \left( \dfrac{ P^{(1)} - Q^{(1)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(1)} + Q^{(1)} \sqrt{R(z)} } \right)
+ C_2 t_0^{(1)} t_0^{(3)} \dotsm t_0^{(k)}
  \log \left( \dfrac{ P^{(2)} - Q^{(2)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(2)} + Q^{(2)} \sqrt{R(z)} } \right)\kern-12pt
\\[1em]
+ \dotsb + C_k t_0^{(1)} t_0^{(2)} \dotsm t_0^{(k-1)}
  \log \left( \dfrac{ P^{(k)} - Q^{(k)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(k)} + Q^{(k)} \sqrt{R(z)} } \right)
+ t_0^{(1)} t_0^{(2)} \dotsm t_0^{(k)} q \sqrt{R(z)},
\end{array}
\]
worin die Gleichung
\[
  P^{(i)^2} - Q^{(i)^2} R(z) = 0,
\]
von den Verzweigungswerthen abgesehen, nur die Lösungen
\[
  z_i,\ z_{k+1},\ z_{k+2}, \dotsc z_n
\]
und zwar
\[
  t_0^{(i)},\ t_1^{(i)},\ t_2^{(i)}, \dotsc t_{n-k}^{(i)} \text{-}
\]
-fach hat, oder worin, wie aus dem \so{Abel}'schen Theorem für
hyperelliptische
Integrale hervorgeht, die Werthe
$z_i$, $z_{k+1}$, $z_{k+2}, \dotsc z_n$
bei bekannter Bestimmung der Irrationalität der Gleichung genügen
\[
\tag{13}
  t_{0	}^{(i)} \int_{z_{i  }^{-}}^{z_{i  }^{+}} dJ^{(\varrho)}(z)
+ t_{1	}^{(i)} \int_{z_{k+1}^{-}}^{z_{k+1}^{+}} dJ^{(\varrho)}(z)
+ \dotsb
+ t_{n-k}^{(i)} \int_{z_{n  }^{-}}^{z_{n  }^{+}} dJ^{(\varrho)}(z)
= 0,
\]
oder
%-----File: 143.png------------------------------
\[
  t_{0	}^{(i)} \int_{\alpha}^{z_i    } dJ^{(\varrho)}(z)
+ t_{1	}^{(i)} \int_{\alpha}^{z_{k+1}} dJ^{(\varrho)}(z) + \dotsb
+ t_{n-k}^{(i)} \int_{\alpha}^{z_n    } dJ^{(\varrho)}(z) = L,
\]
wenn $J^{(\varrho)}(z)$ irgend ein Integral erster Gattung, $L$ eine
Summe von
halben Periodicitätsmoduln dieses Integrales und $\alpha$ einen
Verzweigungswerth bezeichnet.

Greifen wir nunmehr eine der obigen Gleichungen
\[
  P^{(i)^2} - Q^{(i)^2} R(z) = 0
\]
heraus, so findet nach Gleichung (41) der letzten Vorlesung die
Beziehung statt:
\begin{gather*}
\tag{14}
  t_{0	}^{(i)} \int dH(z, z_{i  }^{+}, z_{i  }^{-})
+ t_{1	}^{(i)} \int dH(z, z_{k+1}^{+}, z_{k+1}^{-}) + \dotsb
+ t_{n-k}^{(i)} \int dH(z, z_{n  }^{+}, z_{n  }^{-})
\\
= \log\left( \frac{P^{(i)} -  Q^{(i)} \sqrt{R(z)}}
		  {P^{(i)} +  Q^{(i)} \sqrt{R(z)}} \right),
\end{gather*}
worin
\[
  H(z, z_r^{+}, z_r^{-})
\]
ein hyperelliptisches Hauptintegral dritter Gattung bedeutet, welches
im Punkte $z_r$ auf beiden Blättern logarithmisch unendlich wird mit
der positiven und negativen Einheit als Coefficienten der
Unstetigkeitsfunction, und dessen sämmtliche Periodicitätsmoduln an den
$a$-oder
an den $b$-Querschnitten --- wir wählen hier die letzteren --- verschwinden.

Nun ist aber auch, wie sofort zu sehen
\[
  \int \frac{\sqrt{R(z_r)} \;dz}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}
\]
ein Hauptintegral dritter Gattung, da es als Coefficienten der
logarithmischen Unstetigkeiten in $z_r^{+}$ und $z_r^{-}$ ebenfalls die
positive und
negative Einheit hat, und es wird somit nach bekannten Schlüssen
\[
\tag{15}
  \int dH(z, z_r^{+}, z_r^{-})
= \int \frac{\sqrt{R(z_r)} \;dz}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}
+ c_{r1} u_1 + c_{r2} u_2 + \dotsb + c_{rp} u_p
\]
sein, wenn $u_1$, $u_2, \dotsc u_p$ Integrale erster Gattung bedeuten,
welche
so beschaffen sind, dass $u_k$ an allen $b$-Querschnitten den
Stetigkeitssprung 0, nur am $b_k$-Querschnitte den Sprung 1 hat, und
\[
  c_{r1},\ c_{r2}, \dotsc c_{rp}
\]
so zu bestimmen sind, dass das Hauptintegral dritter Gattung auf
der linken Seite der Gleichung (15) an allen $b$-Querschnitten
verschwindende Stetigkeitssprünge hat. Setzt man dann wie früher
\[
  J^{(\varrho)}(z) = \int \frac{z^\varrho dz}{\sqrt{R(z)}},  \quad
  J_{b_k}^{(\varrho)}(z)
= -2\int_{\alpha_{2k-1}}^{\alpha_{2k}} dJ^{(\varrho)}(z),
\]
%-----File: 144.png------------------------------
so wird $u_k$ durch die Grössen $J^{(\varrho)}(z)$ linear in der Form
ausgedrückt sein
\[
\tag{16}
  u_k = d_{k\,0}J^{(0)}(z)
      + d_{k\,1}J^{(1)}(z) + \dotsb
      + d_{k\,p-1}J^{(p-1)}(z),
\]
und die $d$ müssen den Gleichungen genügen
\[
\tag{17}
\begin{array}{*{3}{l@{\:+\:}}c@{\;=\;}l}
  d_{k\,0}  J^{(  0)}_{b_1}
& d_{k\,1}  J^{(  1)}_{b_1}   & \dotsb
& d_{k\,p-1}J^{(p-1)}_{b_1}   & 0,
\\
\hdotsfor[3]{5}
\\
  d_{k\,0}  J^{(  0)}_{b_{k-1}}
& d_{k\,1}  J^{(  1)}_{b_{k-1}} & \dotsb
& d_{k\,p-1}J^{(p-1)}_{b_{k-1}} & 0,
\\[1em]
  d_{k\,0}  J^{(  0)}_{b_k}
& d_{k\,1}  J^{(  1)}_{b_k}   & \dotsb
& d_{k\,p-1}J^{(p-1)}_{b_k}   & 1,
\\[1em]
  d_{k\,0}  J^{(  0)}_{b_{k+1}}
& d_{k\,1}  J^{(  1)}_{b_{k+1}} & \dotsb
& d_{k\,p-1}J^{(p-1)}_{b_{k+1}} & 0,
\\
\hdotsfor[3]{5}
\\
  d_{k\,0}  J^{(  0)}_{b_p}
& d_{k\,1}  J^{(  1)}_{b_p}	& \dotsb
& d_{k\,p-1}J^{(p-1)}_{b_p}	& 0,
\end{array}
\]
so dass sich allgemein
\[
\tag{18}
  d_{k\,\sigma}=(-1)^{k+\sigma}
\begin{vmatrix}
  J^{(	     0)}_{b_1} & \dotsb & J^{(\sigma-1)}_{b_1}
& J^{(\sigma+1)}_{b_1} & \dotsb & J^{(	   p-1)}_{b_1}
\\
  \vdots &	  & \vdots & \vdots &	     & \vdots
\\
  J^{(	     0)}_{b_{k-1}} & \dotsb & J^{(\sigma-1)}_{b_{k-1}}
& J^{(\sigma+1)}_{b_{k-1}} & \dotsb & J^{(     p-1)}_{b_{k-1}}
\\[1em]
  J^{(	     0)}_{b_{k+1}} & \dotsb & J^{(\sigma-1)}_{b_{k+1}}
& J^{(\sigma+1)}_{b_{k+1}} & \dotsb & J^{(     p-1)}_{b_{k+1}}
\\
  \vdots &	  & \vdots & \vdots &	     & \vdots
\\
  J^{(	     0)}_{b_p}	   & \dotsb & J^{(\sigma-1)}_{b_p}
& J^{(\sigma+1)}_{b_p}	   & \dotsb & J^{(     p-1)}_{b_p}
\end{vmatrix}
 ·
\begin{vmatrix}
J^{(0)}_{b_1} & J^{(1)}_{b_1} & \dotsb & J^{(p-1)}_{b_1} \\[1em]
J^{(0)}_{b_2} & J^{(1)}_{b_2} & \dotsb & J^{(p-1)}_{b_2} \\
\vdots	      & \vdots	      &        & \vdots		 \\
\vdots	      & \vdots	      &        & \vdots		 \\
\vdots	      & \vdots	      &        & \vdots		 \\
J^{(0)}_{b_p} & J^{(1)}_{b_p} & \dotsb & J^{(p-1)}_{b_p} \\
\end{vmatrix}
\]
ergiebt.

Nach Bestimmung der Grössen $d_{k\sigma}$, also auch der $u_k$, folgen
für die $c$ die Gleichungen:
\begin{align*}
  \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}
  \frac{\sqrt{R(z_r)}\;dz}{(z-z_r)\sqrt{R(z)}} + c_{r1} = 0, \quad
& \int_{\alpha_3}^{\alpha_4}
  \frac{\sqrt{R(z_r)}\;dz}{(z-z_r)\sqrt{R(z)}} + c_{r2} = 0, \dotsc
\\
  \dotsc & \int_{\alpha_{2p-1}}^{\alpha_{2p}}
  \frac{\sqrt{R(z_r)}\;dz}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}+ c_{rp} = 0,
\end{align*}
so dass sich allgemein
\[
\tag{19}
 c_{r\,\sigma} = -\int_{\alpha_{2\sigma-1}}^{\alpha_{2\sigma}}
 \frac{\sqrt{R(z_r)}\;dz}{(z-z_r)\sqrt{R(z)}}
\]
ergiebt.

Mit Hülfe der nunmehr bestimmten Werthe der Grössen
$c_{r1}$, $c_{r2}$, $\dotsc c_{rp}$ geht die Gleichung (14), wenn die
ursprünglichen
%-----File: 145.png------------------------------
Hauptintegrale wieder eingeführt werden, in die folgende über:
\begin{gather*}
  t_0^{(i)}\int\frac{\sqrt{R(z_i    )} \,dz}{(z-z_i)\sqrt{R(z)}}
+ t_1^{(i)}\int\frac{\sqrt{R(z_{k+1})} \,dz}{(z-z_{k+1})\sqrt{R(z)}}
+ \cdots
+ t_{n-k}^{(i)}\int\frac{\sqrt{R(z_n)} \,dz}{(z-z_n)\sqrt{R(z)}}
\\
\tag{20}
\begin{split}
&+ \left\{\left( t_0^{(i)}c_{i	\,1}
	       + t_1^{(i)}c_{k+1\,1}
	       + t_2^{(i)}c_{k+2\,1} + \cdots
	       + t_{n-k}^{(i)}c_{n\,1} \right)u_1 \right.
\\
&+\phantom{\{} \left( t_0^{(i)}c_{i  \,2}
		    + t_1^{(i)}c_{k+1\,2}
		    + t_2^{(i)}c_{k+2\,2} + \cdots
		    + t_{n-k}^{(i)}c_{n\,2} \right)u_2 + \cdots
\\
\cdots &+\phantom{\{} \left.\left( t_0^{(i)}c_{i  \,p}
		      + t_1^{(i)}c_{k+1\,p}
		      + t_2^{(i)}c_{k+2\,p} + \cdots
		      + t_{n-k}^{(i)}c_{n\,p} \right)u_p \right\}
\\
&= \log\left( \frac{P^{(i)} - Q^{(i)}\sqrt{R(z)}}
		   {P^{(i)} + Q^{(i)}\sqrt{R(z)}} \right),
\end{split}
\end{gather*}
und es ergiebt sich somit aus (12), wenn in (20) der Reihe nach für
$i$ die Zahlen
\[
  1,\ 2, \dots\ k
\]
gesetzt, die so entstehenden Gleichungen der Reihe nach mit
\[
  C_1t^{(2)}_0 t^{(3)}_0\dots t^{(k  )}_0,\
  C_2t^{(1)}_0 t^{(3)}_0\dots t^{(k  )}_0,\ \dots\
  C_kt^{(1)}_0 t^{(2)}_0\dots t^{(k-1)}_0
\]
multiplicirt und sämmtliche Gleichungen addirt werden, ausserdem
\[
  \frac{C_i}{t^{(i)}_0}\left(
    t^{(i)}_0 c_{i\,\varrho}
  + t^{(i)}_1 c_{k+1\,\varrho}
  + t^{(i)}_2 c_{k+2\,\varrho} + \cdots
  + t^{(i)}_{n-k} c_{n\,\varrho} \right) = M_{i\,\varrho}
\]
gesetzt wird, die weiter zu erfüllende Gleichung
\[
\tag{21}
\begin{aligned}
&\quad\ l^{(0  )} \int\frac{z^{2p-1} \,dz}{\sqrt{R(z)}}
      + l^{(1  )} \int\frac{z^{2p-2} \,dz}{\sqrt{R(z)}} + \cdots
      + l^{(p-1)} \int\frac{z^p      \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
&     + k^{( p	)} \int\frac{z^{p-1} \,dz}{\sqrt{R(z)}}
      + k^{( p+1)} \int\frac{z^{p-2} \,dz}{\sqrt{R(z)}} + \cdots
      + k^{(2p-1)} \int\frac{	     \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
&+ (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \cdots + M_{k\,1})u_1
 + (M_{1\,2} + M_{2\,2} + \cdots + M_{k\,2})u_2 + \cdots
\\
&+ (M_{1\,p} + M_{2\,p} + \cdots + M_{k\,p})u_p
 + f(z)\sqrt{R(z)} = q\sqrt{R(z)}.
\end{aligned}
\]

Benutzt man jetzt die oben aufgestellte Beziehung~(16) zwischen
$u_k$ und den in der Reductionsformel des allgemeinen hyperelliptischen
Integrales vorkommenden Integralen erster Gattung
\[
  J^{(0)}(z),\ J^{(1)}(z),\ \dots\ J^{(p-1)}(z),
\]
so wird durch Zusammenfassen der entsprechenden Integrale die
Gleichung~(21) in
\begin{gather*}
\tag{22}
  l^{(0  )} \int\frac{z^{2p-1} \,dz}{\sqrt{R(z)}}
+ l^{(1  )} \int\frac{z^{2p-2} \,dz}{\sqrt{R(z)}} + \cdots
+ l^{(p-1)} \int\frac{z^p      \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
\begin{array}{c @{} r@{} l}
{}+{}&{} \bigl[ k^{(2p-1)}
	 + (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \cdots + M_{k\,1})d_{1\,0}
   {}&{} + (M_{1\,2} + M_{2\,2} + \cdots + M_{k\,2})d_{2\,0} + \cdots
\\
&    &{} + (M_{1\,p} + M_{2\,p} + \cdots + M_{k\,p})d_{p\,0} \bigr]
  \ds \int\frac{ \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
{}+{}&{} \bigl[ k^{(2p-2)}
	 + (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \cdots + M_{k\,1})d_{1\,1}
   {}&{} + (M_{1\,2} + M_{2\,2} + \cdots + M_{k\,2})d_{2\,1} + \cdots
\\
&    &{} + (M_{1\,p} + M_{2\,p} + \cdots + M_{k\,p})d_{p\,1} \bigr]
  \ds \int\frac{z \,dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
{}+{}& \hdotsfor[3]{2}
\end{array}
\end{gather*}
%-----File: 146.png------------------------------
\[
\begin{split}
+ \bigl[ k^{(p)}
+ (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \dotsb + M_{k\,1}) d_{1\,p-1}
+&(M_{1\,2} + M_{2\,2} + \dotsb + M_{k\,2}) d_{2\,p-1} + \dotsb
\\
+&(M_{1\,p} + M_{2\,p} + \dotsb + M_{k\,p}) d_{p\,p-1} \bigr]
  \int \frac{z^{p-1} dz}{\sqrt{R(z)}}
\\
+ f(z) \sqrt{R(z)} =& \;q \sqrt{R(z)}
\end{split}
\]
übergehen, und somit als nothwendige und hinreichende Bedingungen
für das Bestehen derselben nach dem früher ausgeführten die folgenden
liefern
\begin{gather*}
\tag{23}
  l^{(0)} = l^{(1)} = \dotsb = l^{(p-1)} = 0,
\\
\tag{24}
\begin{array}{l}
   k^{(2p-1)}
+ (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \dotsb + M_{k\,1}) d_{1\,0} + \dotsb
+ (M_{1\,p} + M_{2\,p} + \dotsb + M_{k\,p}) d_{p\,0} = 0,
\\  \hdotsfor[3]{1}  \\
   k^{(p)}
+ (M_{1\,1} + M_{2\,1} + \dotsb + M_{k\,1}) d_{1\,p-1} + \dotsb
+ (M_{1\,p} + M_{2\,p} + \dotsb + M_{k\,p}) d_{p\,p-1} = 0,
\end{array}
\end{gather*}
während der algebraische Werth $q \sqrt{R(z)}$ des nach Absonderung der
Logarithmen dann übrig bleibenden Integrales durch die Gleichung
\[
\tag{25} q = f(z)
\]
bestimmt ist.

Es erübrigt nur noch die Werthe der $M$ oder wenigstens die in
den Gleichungen (24) vorkommenden Verbindungen derselben mit
den $d$-Grössen zu ermitteln.

Geht man wieder von der oben aufgestellten Gleichung (15) aus
\[
  \int dH(z, z_r^{+}, z_r^{-})
= \int \frac{\sqrt{R(z_r)} \;dz}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}
+ c_{r\,1} u_1 + c_{r\,2} u_2 + \dotsb + c_{r\,p} u_p,
\]
worin die Grössen $c$ durch den Ausdruck (19) definirt sind, und
differentiirt diese Gleichung, so erhält man
\[
\tag{26}
  \frac{dH(z, z_r^{+}, z_r^{-})}{dz}
= \frac{\sqrt{R(z_r)} dz}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}
+ c_{r\,1} \frac{du_1}{dz} + c_{r\,2} \frac{du_2}{dz} + \dotsb
+ c_{r\,p} \frac{du_p}{dz},
\]
woraus sich wiederum, wenn
\[
  r = i,\ k+1,\ k+2,\ \dotsc n
\]
gesetzt, die einzelnen Gleichungen resp.\ mit
\[
  t_0^{(i)},\ t_1^{(i)} \dotsc t_{n-k}^{(i)}
\]
multiplicirt und sämmtlich addirt werden, nach Gleichung (14) die
Beziehung ergiebt
\[
\tag{27}
  \frac{d}{dz} \log \left( \frac{P^{(i)} - Q^{(i)} \sqrt{R(z)}}
				{P^{(i)} + Q^{(i)} \sqrt{R(z)}}
		    \right)
= \sum_{r=i, k+1, \dotsc n}
  t_{r-k}^{(i)} \frac{\sqrt{R(z_r)}}{(z-z_r) \sqrt{R(z)}}
+ \frac{t_0^{(i)}}{C_i}
  \sum_{\varrho=1}^p M_{i\,\varrho} \frac{du_\varrho}{dz},
\]
wenn statt des Index $i-k$ der Index 0 gesetzt wird, oder mit
Benutzung von (16), wenn die rationale Function
\[
\tag{28}
  \dfrac{ 2R(z)
  \left[
      Q^{(i)} \dfrac{P^{(i)}}{dz}
    - P^{(i)} \dfrac{Q^{(i)}}{dz}
  \right]
  - P^{(i)} Q^{(i)} \dfrac{dR(z)}{dz}}
	   {P^{(i)^2} - Q^{(i)^2 R(z)}}
= \varphi_i(z)
\]
%-----File: 147.png------------------------------
gesetzt, und die Gleichung (27) mit der Irrationalität $\sqrt{R(z)}$
multiplicirt wird,
\[
\tag{29}
\begin{split}
  C_i \varphi_i(z) = C_i
\mspace{-20 mu}
 \sum_{r=i, k+1, \dotsc n}
\mspace{-20 mu}
  t_{r-k}^{(i)} \frac{\sqrt{R(z_r)}}{z-z_r}
+ t_0^{(i)} \sum_{\varrho=1}^p M_{i\,\varrho} d_{\varrho\,0}
+ t_0^{(i)} z \sum_{\varrho=1}^p M_{i\,\varrho} d_{\varrho\,1}
+ \dotsb
\\
  \dotsb
+ t_0^{(i)}z^{p-1} \sum_{\varrho=1}^p M_{i\,\varrho} d_{\varrho\,p-1}.
\end{split}
\]

Setzt man endlich hierin
\[
  i = 1,\ 2,\ \dotsc k
\]
und addirt die so entstehenden Gleichungen, so folgt
\[
\tag{30}
\begin{array}{l}
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^k \frac{C_i}{t_0^{(i)}} \left[ \varphi_i(z) -
\mspace{-20 mu}
  \sum_{r=i, k+1, \dotsc n}
\mspace{-20 mu}
  t_{r-k}^{(i)} \frac{\sqrt{R(z_r)}}{z-z_r} \right] =
\\
 +&	   (M_{1\,1} +M_{2\,1} +\dotsb +M_{k\,1}) d_{1\,0}
 +\dotsb + (M_{1\,p} +M_{2\,p} +\dotsb +M_{k\,p}) d_{p\,0}
\\
 +& \bigl[	(M_{1\,1} +M_{2\,1} +\dotsb +M_{k\,1}) d_{1\,1}
 +\dotsb + (M_{1\,p} +M_{2\,p} +\dotsb +M_{k\,p}) d_{p\,1} \bigr]\,z
\\  +& \hdotsfor[3]{2}	\\
 +& \bigl[	(M_{1\,1} +M_{2\,1} +\dotsb + M_{k\,1}) d_{1\,p-1}
 +\dotsb + (M_{1\,p} +M_{2\,p} +\dotsb + M_{k\,p}) d_{p\,p-1}
 \bigr]\,z^{p-1}.
\end{aligned}
\end{array}
\]

Bemerkt man nun, dass auf der linken Seite der Gleichung~(30)
eine in allen endlichen Werthen von $z$ endliche Function steht, die
somit, da sie eine rationale ist, eine ganze und zwar höchstens vom
${p-1}^{\text{ten}}$ Grade sein muss, so wird man durch Gleichsetzen der
Coefficienten gleich hoher Potenzen von $z$ unmittelbar die in den
Gleichungen
(24) zu den Grössen
\[
  k^{(2p-1)},\ k^{(2p-2)},\ \dotsc k^{(p)}
\]
hinzuaddirten Ausdrücke in den Constanten des Problems gegeben
erhalten.

Man sieht unmittelbar, dass diese Rechnung auf den von
vornherein ersichtlichen Weg hinweist, die gefundenen logarithmischen
Ausdrücke differentiirt mit der Function unter dem gegebenen
Integrale zu vereinigen und nun das neue Integral als ein auf
algebraische Functionen reducirbares zu behandeln; wir haben diesen Weg
hier eingeschlagen, um die Bedingungen der Reduction in den Grössen
$M$, also auch in den Grössen $c$, \dh\ nach (19) in den
Stetigkeitssprüngen der Hauptintegrale dritter Gattung an den
$b$-Querschnitten
ausdrücken zu können.

Es mag noch bemerkt werden, dass, wenn man die Grössen $c$
einzeln berechnen will, die folgende leicht zu entwickelnde Beziehung
das Mittel dazu liefert; setzen wir nämlich
\[
  \int \frac{\sqrt{R(\zeta)}\;dz}{(z-\zeta) \sqrt{R(z)}}
= \varPi(z, \zeta^{+}, \zeta^{-})
\]
und den nach $\zeta^{-}$ genommenen Differentialquotienten dieses in
$\zeta^{+}$ und $\zeta^{-}$
logarithmisch unendlich werdenden Hauptintegrales, welcher offenbar
%-----File: 148.png------------------------------
in denselben beiden Punkten von der ersten Ordnung algebraisch
unendlich wird,
\[
  \frac{\partial\varPi(z,\zeta^+,\zeta^-)}{d\zeta^-}
= Z(z,\zeta^+,\zeta^-),
\]
endlich
\[
  c_\sigma
=-\int_{\alpha_{2\sigma-1}}^{\alpha_{2\sigma}} d\varPi(z,\zeta^+,\zeta^-)
= \tfrac{1}{2}\varPi_\sigma(\zeta^+,\zeta^-),
\]
worin
\[
  \varPi_\sigma(\zeta^+,\zeta^-),
\]
den Stetigkeitssprung des $\varPi$-Integrales an dem Querschnitte
$b_\sigma$ bezeichnet,
so ergiebt sich mit Hülfe der oben eingeführten Bezeichnungen
unmittelbar aus dem Satze von der Vertauschung der
Gränzen und Unstetigkeitspunkte die Gleichung
\begin{gather*}
  \int_{z_r^-}^{z_r^+} dZ(z,\zeta^+,\zeta^-)
\\
= -\left( \frac{d\varPi(z,z_r^+,z_r^-)}{dz} \right)_{\zeta^-}
- \tfrac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^p
  \left\{ \varPi_\sigma(z_r^+,z_r^-)
	  \left( \frac{du_\sigma}{dz} \right)_{\zeta^-}
	+ \frac{d\varPi_\sigma(\zeta^+,\zeta^-)}{d\zeta^-}
	  \int_{z_r^-}^{z_r^+}du_\sigma  \right\}
\end{gather*}
oder wenn die Stetigkeitssprünge des Integrales zweiter Gattung $Z$
an den $b$-Querschnitten mit
\[
  Z_\sigma(\zeta^+,\zeta^-)
\]
bezeichnet werden,
\begin{gather*}
\tag{31}
  \int_{z_r^-}^{z_r^+} dZ(z,\zeta^+,\zeta^-)
\\
=-\left( \frac{d\varPi(z,z_r^+,z_r^-)}{dz} \right)_{\zeta^-}
- \tfrac{1}{2} \sum_{\sigma=1}^p
  \left\{ \varPi_\sigma(z_r^+,z_r^-)
	  \left( \frac{du}{dz} \right)_{\zeta^-}
	+ Z_\sigma(\zeta^+,\zeta^-)
	  \int_{z_r^-}^{z_r^+} du_\sigma \right\};
\end{gather*}
setzt man hierin für $\zeta$ $p$ verschiedene Werthe ein, so erhält man
die
gesuchten Periodicitätsmoduln des Integrales dritter Gattung durch
Integrale zweiter Gattung, zwischen den Unstetigkeitspunkten jenes
Hauptintegrales genommen, durch algebraische Functionen und
Periodicitätsmoduln von Integralen zweiter Gattung ausgedrückt,
Relationen, welche jener bekannten Beziehung für elliptische Integrale
analog sind. So würde man die oben eingeführten Grössen $c$ direct
berechnen können. Von der Gleichung (31) kommt man auch direct
zur Gleichung (27), wenn man $r = i$, $k + 1$, $k + 2,\ \dotsc n$ setzt,
%-----File: 149.png------------------------------
alle Gleichungen addirt und das \so{Abel}'sche Theorem für die
hyperelliptischen Integrale erster und zweiter Gattung anwendet.

Fassen wir nunmehr all' die erhaltenen Resultate zusammen, so
wird man zur Beantwortung der Frage, ob ein vorgelegtes
hyperelliptisches Integral von der Form
\[
\int\frac{F(z)\;dz}{\sqrt{R(z)}}
\]
auf algebraisch-logarithmische Functionen reducirbar ist,
folgendermassen zu verfahren haben:

Man bilde die Gleichung
\[
\tag{32}
  T_1\left[\frac{F(t) }{\sqrt{R(t)}}\right]_{(t-z_1)^{-1}}
\mspace{-40 mu}
+ T_2\left[\frac{F(t) }{\sqrt{R(t)}}\right]_{(t-z_2)^{-1}}
\mspace{-50 mu}
+ \dotsb
+ T_n\left[\frac{F(t) }{\sqrt{R(t)}}\right]_{(t-z_n)^{-1}}
\mspace{-60 mu}
= 0
\]
und suche dieselbe durch Systeme von ganzen Zahlen
$T_1$, $T_2, \dotsc T_n$
zu befriedigen; mögen sich nun $n-k$ solcher Systeme finden lassen
\[
\begin{array}{llll}
  T_{1\,1}   & T_{1\,2}   & \dotsc & T_{1\,n}	\quad , \\
  T_{2\,1}   & T_{2\,2}   & \dotsc & T_{2\,n}	\quad , \\
\hdotsfor[3]{4}, \\
  T_{n-k\,1} & T_{n-k\,2} & \dotsc & T_{n-k\,n}   , \\
\end{array}
\]
welche von einander unabhängig sind, und mögen sich aus diesen
$n-k$-Gleichungen (32) die Relationen ergeben
\[
\begin{array}{l}
  D\left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_{k+1})^{-1}}
\mspace{-50 mu}
= \lambda_{1\,1}\left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_1)^{-1}}
\mspace{-50 mu}
+ \dotsb
+ \lambda_{1\,k}
  \left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_k)^{-1}}
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  D\left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_n)^{-1}}
\mspace{-50 mu}
= \lambda_{n-k\,1}
  \left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_1)^{-1}}
\mspace{-50 mu}
+ \dotsb
+ \lambda_{n-k\,k}
  \left[ \dfrac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_k)^{-1}},
\end{array}
\]
so suche man den grössten gemeinsamen Theiler zwischen den Zahlen
\[
  D \ \lambda_{1\,i} \ \lambda_{2\,i} \dotsc   \lambda_{n-k\,i} ,
\]
worin $i$ eine der Zahlen $1$, $2, \dotsc k$ bedeuten soll; sei derselbe
$\delta_i$,
und werde
\[
  \frac{D}{\delta_i}		    = t_0^{(i)}, \quad
  \frac{\lambda_{1  \,i}}{\delta_i} = t_1^{(i)}, \quad
  \frac{\lambda_{2  \,i}}{\delta_i} = t_2^{(i)}, \dotsc
  \frac{\lambda_{n-k\,i}}{\delta_i} = t_{n-k}^{(i)}
\]
gesetzt, so ist unmittelbar zu sehen, dass
\[
\tag{u}
  t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)} > p
\]
sein muss, wenn eine Gleichung von der Form
\[
  P^{(i)^2} - Q^{(i)^2} R(z) = 0;
\]
von Verzweigungspunkten abgesehen, nur die Lösungen
\[
  z_i,\ z_{k+1},\ \dotsc z_n
\]
%-----File: 150.png------------------------------
und zwar
\[
t_0^{(i)},\ t_1^{(i)},\ \dotsc t_{n-k}^{(i)},
\]
fach haben soll; denn bezeichnet man die auf die Verzweigungspunkte
bezüglichen $s$ linearen Factoren durch $N$, so wird $P^{(i)}$ durch $N$
theilbar sein müssen, und es würde, wenn
\[
P^{(i)} = N · p^{(i)},\quad R = N · r_1,\quad Q^{(i)}= q^{(i)}
\]
gesetzt wird,
\[
p^{(i)^2}N - q^{(i)^2}R_1 = (z-z_i)^{t_0^{(i)}}(z-z_{k+i})^{t_1^{(i)}}
\dotsm (z-z_n)^{t_{n-k}^{(i)}}
\]
zu erfüllen sein, woraus, da die linke Seite wegen des unpaaren
Grades von $R(z)$ jedenfalls ein Polynom ist, dessen Grad die Zahl
$p$ übersteigt, folgt, dass die Ungleichheit (u) befriedigt werden muss.

Geschieht nun der obigen Ungleichheit Genüge, so setze man,
wenn
\[
t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)} \text{ durch } m_i
\]
bezeichnet wird,
\[
\begin{split}
  (z-z_i)^{t_0^{(i)}} (z-z_{k+i})^{t_1^{(i)}} \dotsm
  (z-z_n)^{t_{n-k}^{(i)}} \\
= a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dotsb + a_{m_i-1}z^{m_i-1} + z^{m_i},
\end{split}
\]
ferner, wenn
\[
  \beta_1,\ \beta_2,\ \dotsc \beta_\varkappa, \quad
  \gamma_1,\ \gamma_2,\ \dotsc \gamma_\lambda
\]
die Verzweigungspunkte
\[
\alpha_1,\ \alpha_2,\ \dotsc \alpha_{2p+1}
\]
von $\sqrt{R(z)}$ in irgend welcher Reihenfolge bedeuten, so dass also
\[
\varkappa + \lambda = 2p + 1
\]
ist,
\begin{align*}
N&= c(z-\beta_1) (z-\beta_2) \dotsm (z-\beta_\varkappa)
  = c_0 + c_1z + c_2z^2 + \dotsb + c_\varkappa z^\varkappa \\
R_1&= d(z-\gamma_1) (z-\gamma_2) \dotsm (z-\gamma_\lambda)
    = d_0 + d_1z + d_2z^2 + \dotsb + d_\lambda z^\lambda ,
\end{align*}
und die zu bestimmenden Polynome
\begin{align*}
p^{(i)} &= \varrho_0 + \varrho_1z + \varrho_2z^2 + \dotsb
+ \varrho_\mu z^\mu \\
q^{(i)} &= \sigma_0 + \sigma_1z + \sigma_2z^2 + \dotsb
+ \sigma_\nu z^\nu,
\end{align*}
worin, was im allgemeinen Falle stets erlaubt ist,
\[
2\mu + \varkappa = m_i, \quad 2\nu + \lambda = m_i -1
\]
gesetzt werden darf, dann werden die gegebenen $z$-Grössen der Gleichung
\[
p^{(i)^2}N - q^{(i)^2}R_1 = 0
\]
genügen müssen, also die folgende Identität
%-----File: 151.png------------------------------
\begin{align*}
  (\varrho_0 +\varrho_1z +\varrho_2z^2 +\dotsb +\varrho_\mu z^\mu )^2
 &( c_0 + c_1z + c_2z^2 + \dotsb +c_\varkappa z^\varkappa ) \\
- (\sigma_0 +\sigma_1z +\sigma_2z^2 +\dotsb +\sigma_\nu z^\nu )^2
 &( d_0 + d_1z + d_2z^2 + \dotsb + d_\lambda z^\lambda ) = \\
  C( a_0 + a_1z + a_2z^2 + &\dotsb + a_{m_i-1}z^{m_i-1} + z^{m_i} )
\end{align*}
stattfinden, wenn die oben gestellten Bedingungen erfüllt sein sollen.
Man sieht aber leicht, dass, wenn man auf beiden Seiten dieser
letzten Gleichung die Coefficienten von $z^\tau$ einander gleichsetzt,
sich
die Beziehung ergiebt
\[
\begin{array}{clcl}
    & c_0( \varrho_0\varrho_{\tau\phantom{-1}}
	 + \varrho_1\varrho_{\tau-1} + \varrho_2 \varrho_{\tau-2}
	 + \dotsb)
& - & d_0( \sigma_0 \sigma_{\tau\phantom{-1}}
	 + \sigma_1 \sigma_{\tau-1} + \sigma_2 \sigma_{\tau-2}
	 + \dotsb)
\\
  + & c_1( \varrho_0\varrho_{\tau-1} + \varrho_1\varrho_{\tau-2}
	 + \varrho_2\varrho_{\tau-3} + \dotsb)
& - & d_1( \sigma_0 \sigma_{\tau-1} + \sigma_1\sigma_{\tau-2}
	 + \sigma_2\sigma_{\tau-3} + \dotsb)
\\
  + & c_2( \varrho_0\varrho_{\tau-2} + \varrho_1\varrho_{\tau-3}
	 + \varrho_2\varrho_{\tau-4} + \dotsb)
& - & d_2( \sigma_0\sigma_{\tau-2} + \sigma_1\sigma_{\tau-3}
	 +\sigma_2\sigma_{\tau-4} + \dotsb)
\\
  + & \hdotsfor[3]{1} & - & \hdotsfor[3]{1}
\\
  + & c_{\tau-2} (\varrho_0\varrho_2 + \tfrac{1}{2}\varrho_1\varrho_1)
  & - & d_{\tau-2} (\sigma_0\sigma_2 + \tfrac{1}{2}\sigma_1\sigma_1)
\\
  + & c_{\tau-1}\varrho_0\varrho_1
& - & d_{\tau-1}\sigma_0\sigma_1 \\
  + & c_\tau\tfrac{1}{2} \varrho_0\varrho_0
& - & d_\tau\tfrac{1}{2}  \sigma_0\sigma_0
\hfill = \tfrac{1}{2}Ca_\tau ,
\end{array}
\]
in welcher
\[
\tau = 0, 1, 2, \dotsc m_i
\]
zu nehmen ist, und es wird nun darauf ankommen, die Coefficienten
\[
 \varrho_0,\ \varrho_1, \dotsc \varrho_\mu,\
  \sigma_0,\ \sigma_1, \dotsc \sigma_\nu
\]
so zu bestimmen, dass diesen Bedingungsgleichungen Genüge geschieht;
gelingt dies, so dürfen wir die oben für die Grössen
\[
z_i,\ z_{k+1},\ z_{k+2},\ \dotsc z_n
\]
gestellte Forderung als erfüllt ansehen\DPtypo{}{.}

Die obige Gleichung in den $\varrho$- und $\sigma$-Grössen ist jedoch
in diesen
vom zweiten Grade, und wir wollen, um die Bestimmung jener Grössen
zu erleichtern, noch ein anderes unmittelbar ersichtliches Verfahren
angeben, welches die gesuchten Grössen aus linearen Gleichungen
herzuleiten gestattet.

Man unterwerfe in einer ganzen Function $p^{(i)}$ vom
\[
  { \frac{t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)} + s}{2}
  }^\text{ten}
\]
Grade, und in einer ganzen Function $q^{(i)}$ vom
\[
\frac{t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)} +
s}{2}-p-1^\text{ten}
\]
Grade, worin $s$ so gewählt sein muss, dass diese Gradzahlen ganz
und positiv sind (Null eingeschlossen), die sämmtlichen darin
enthaltenen Constanten, deren Zahl
\[
t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)}- p + 1
\]
ist, der Bedingung, dass die Function
%-----File: 152.png------------------------------
\[
p^{(i)}\sqrt{N} - q^{(i)}\sqrt{R_1}
\]
für $z = z_i$ selbst nebst ihren $t_0^{(i)}-1$ ersten Ableitungen,
für $z = z_{k+1}$
nebst ihren $t_1^{(i)}-1$ ersten Ableitungen, \usw, endlich für $z =
z_n$
nebst ihren $t_{n-k}^{(i)}-1$ ersten Ableitungen für den einen oder den
andern
Werth der zugehörigen Irrationalitäten verschwindet, somit
\[
t_0^{(i)} + t_1^{(i)}+ \dotsb + t_{n-k}^{(i)}
\]
Bedingungen; erfüllen nun diese Constanten die ihre Anzahl
übersteigenden Bedingungsgleichungen, so wird
\[
  \bigl(p^{(i)}\sqrt{N} - q^{(i)}\sqrt{R_1}\bigr)
  \bigl(p^{(i)}\sqrt{N} + q^{(i)}\sqrt{R_1}\bigr) = p^{(i)^2}N -
  q^{(i)^2}R_1
\]
jedenfalls durch
\[
  (z-z_i)^{t_0^{(i)}} (z-z_{k+1})^{t_1^{(i)}} \dotsm
  (z-z_n)^{t_{n-k}^{(i)}}
\]
theilbar sein, und somit
\[
  P^{(i)^2} - Q^{(i)^2}R(z),
\]
weil es vom Grade
\[
  t_0^{(i)} + t_1^{(i)}+ \dotsb + t_{n-k}^{(i)} + s
\]
ist, von den in $N$ enthaltenen Verzweigungswerthen abgesehen, nur
die bezeichneten Lösungen in der angegebenen Vielfachheit besitzen.

Man kann unter der Annahme, dass die $z$-Grössen, welche
Lösungen der Gleichung
\[
  p^{(i)^2}N - q^{(i)^2}R_1 = 0
\]
sein sollen, sämmtlich verschieden, also
\[
  t_0^{(i)} = t_1^{(i)} = t_2^{(i)} = \dotsb = 1
\]
sind, die Bedingungsgleichungen leicht weiter reduciren. Setzt man
nämlich
\begin{align*}
  \sum t_\alpha^{(i)}	  &=  m_i,  \quad
  \frac{m_i-s}{2}	  = \mu_i, \quad
  \frac{m_i+s}{2} - p - 1 = \nu_i
\\
  &p^{(i)} = r_0 + r_1z + r_2z^2 + \dotsb + r_{\mu_i}z^{\mu_i} \\
  &q^{(i)} = s_0 + s_1z + s_2z^2 + \dotsb + s_{\nu_i}z^{\nu_i} ,
\end{align*}
und nennt jene $m_i$ in Frage kommenden $z$ Werthe
\[
  \zeta_1,\ \zeta_2,\ \dotsc \zeta_{m_i},
\]
so werden, wenn die Grössen
\[
  \varepsilon_1,\ \varepsilon_2,\ \dotsc \varepsilon_{m_i}
\]
die positive oder negative Einheit bedeuten, nach den eben gemachten
Auseinandersetzungen die Gleichungen bestehen müssen
%-----File: 153.png------------------------------
\[
\begin{array}{*{4}{c@{\:+\:}}c@{\;=\;}l}
  r_0 & r_1\zeta_1     & r_2\zeta_1^2	  & \dotsb
& r_{\mu_i}\zeta_1^{\mu_i}
& \varepsilon_1 q^{(i)}(\zeta_1)
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_1)}{N(\zeta_1)}}
\\
  r_0 & r_1\zeta_2     & r_2\zeta_2^2	  & \dotsb
& r_{\mu_i}\zeta_2^{\mu_i}
& \varepsilon_2     q^{(i)}(\zeta_2)
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_2)}{N(\zeta_2)}}
\\
\hdotsfor[3]{6}
\\
  r_0 & r_1\zeta_{m_i} & r_2\zeta_{m_i}^2 & \dotsb
& r_{\mu_i}\zeta_{m_i}^{\mu_i}
& \varepsilon_{m_i} q^{(i)} \left(\zeta_{m_i} \right)
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_{m_i})}{N(\zeta_{m_i})}}.
\end{array}
\]

Wird nun
\[
(\zeta-\zeta_1)(\zeta-\zeta_2) \dotsm (\zeta-\zeta_{m_i}) = f(\zeta)
\]
gesetzt, so ist bekanntlich
\[
\sum_{\alpha=1}^{m_i} \frac{\zeta_\alpha^h}{f'(\zeta_\alpha)} = 0,
\]
wenn
\[
h \leqq m_i - 2
\]
ist, und wenn man daher die oben aufgestellten $m_i$ Gleichungen der
Reihe nach mit
\[
\frac{\zeta_1^k}{f'(\zeta_1)}, \;\frac{\zeta_2^k}{f'(\zeta_2)}, \dotsc
\frac{\zeta_{m_i}^k}{f'(\zeta_{m_i})}
\]
multiplicirt und addirt, worin
\[
k+\mu_i \leqq m_i-2  \text{ oder } k \leqq \frac{m_i+s}{2}-2
\]
genommen wird, so ergeben sich die nachfolgenden Beziehungen:
\[
\begin{array}{rcl}
  \varepsilon_1 \dfrac{1}{f'(\zeta_1)}
  q^{(i)}(\zeta_1) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_1)}{N(\zeta_1)}} & +
& \varepsilon_2 \dfrac{1}{f'(\zeta_2)}
  q^{(i)}(\zeta_2) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_2)}{N(\zeta_2)}} + \dotsb
\\
   & +
& \varepsilon_{m_i}\dfrac{1}{f'(\zeta_{m_i})} q^{(i)}(\zeta_{m_i})
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_{m_i})}{N(\zeta_{m_i})}} = 0
\\[10pt]
  \varepsilon_1 \dfrac{\zeta_1}{f'(\zeta_1)} q^{(i)}(\zeta_1)
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_1)}{N(\zeta_1)}} & + &
  \varepsilon_2 \dfrac{\zeta_2}{f('\zeta_2)} q^{(i)}(\zeta_2)
  \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_2)}{N(\zeta_2)}} + \dotsb
\\
  & +
& \varepsilon_{m_i} \dfrac{\zeta_{m_i}}{f'(\zeta_{m_i})}
  q^{(i)}(\zeta_{m_i}) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_{m_i})}{N(\zeta_{m_i})}}
  = 0
\\
\hdotsfor[3]{3}
\\
  \varepsilon_1 \dfrac{\zeta_1^{\frac{m_i+s}{2}-2}}{f'(\zeta_1)}
  q^{(i)}(\zeta_1) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_1)}{N(\zeta_1)}} & +
& \varepsilon_2 \dfrac{\zeta_2^{\frac{m_i+s}{2}-2}}{f'(\zeta_2)}
  q^{(i)}(\zeta_2) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_2)}{N(\zeta_2)}} + \dotsb
\\
  & +
& \varepsilon_{m_i}
  \dfrac{\zeta_{m_i}^{\frac{m_i+s}{2}-2}}{f'(\zeta_{m_i})}
  q^{(i)}(\zeta_{m_i}) \sqrt{\dfrac{R_1(\zeta_{m_i})}{N(\zeta_{m_i})}}
  = 0,
\end{array}
\]
welche für die
%-----File: 154.png------------------------------
\[
  \frac{m_i + s}{2} - p - 1
\]
Coefficientenquotienten der $q^{(i)}$-Function $\dfrac{m_i + s}{2} - 1$
 lineare Bestimmungsgleichungen darstellen, nach deren Elimination noch
 $p$ durch
die Grössen
\[
  \zeta_1,\ \zeta_2,\ \dotsc \zeta_{m_i}
\]
identisch zu erfüllende Gleichungen übrig bleiben.

Man kann endlich noch in anderer Weise prüfen, ob die Werthe
$z_i$, $z_{k+1}$, $\dotsc, z_n$ die alleinigen Lösungen von der
angegebenen
Vielfachheit von einer Gleichung der aufgestellten Form sein können,
wenn von Verzweigungswerthen abgesehen wird, und zwar kann man
sich dabei eines für elliptische Integrale bekannten Verfahrens bedienen.

Es soll zuerst gezeigt werden, dass man jedenfalls eine Gleichung
von der Form
\[
  p'^2 N - q'^2 R_1 = 0
\]
bilden kann, welche durch
\[
  u = (z-z_i)^{t_0^{(i)}} (z-z_{k+1})^{t_1^{(i)}} \dotsm
      (z-z_n)^{t_{n-k}^{(i)}}
\]
theilbar ist, und für welche der Grad des Quotienten $\leqq p$
ist. Bildet
man nämlich eine ganze Function $S$ des
$t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)} -1^{\text{ten}}$
Grades, welche die Bedingung erfüllt, dass mit Berücksichtigung der
möglichen Werthe der Irrationalitäten
\[
  \frac{S\sqrt{N} - \sqrt{R_1}}{u}
\]
für jedes endliche $z$ endlich ist, wozu offenbar die Zahl der Constanten
hinreicht, so wird
\[
  S^2 N - R_1
\]
durch $u$ theilbar sein, und ebenso wird, wenn
\[
  q' = L, \quad p' = SL - Ku
\]
gesetzt wird, worin $K$ und $L$ noch näher bestimmt werden sollen,
auch
\[
  p' \sqrt{N} - q' \sqrt{R_1} \text{ also auch } p'^2 N - q'^2 R_1,
\]
wie durch unmittelbare Ausrechnung ersichtlich ist, durch $u$ theilbar
sein. Werde nun zur näheren Fixirung der Grössen $K$ und $L$ der
rationale ächte Bruch $\dfrac{S}{u}$ in einen Kettenbruch verwandelt,
und in der
Reihe der dem Grade nach steigenden Zähler und Nenner der
Näherungswerthe des Kettenbruches für $L$ der Nenner $L_n$ desjenigen
Näherungswerthes gewählt, für welchen der Grad desselben kleiner
ist als der Grad der Function
\[
  \sqrt{u \sqrt{ \frac{N}{R_1} }},
\]
%-----File: 155.png------------------------------
während der Grad des Nenners des darauf folgenden Näherungswerthes
schon grösser sein soll als eben diese Zahl, die der Annahme nach
nicht ganz sein kann, und sei endlich $K$ der Zähler $K_n$ eben dieses
Näherungswerthes, so ist sofort zu sehen, dass der Grad der Function
\[
\begin{split}
  \frac{p' \sqrt{N} - q'\sqrt{R_1}}{\sqrt{u}}
= \frac{(S L_n - K_n u)\sqrt{N} - L_n \sqrt{R_1}}{\sqrt{u}}
\\
= \sqrt{R} \raisebox{0.3em}{$\Biggl($} \dfrac{S-\sqrt{\dfrac{R_1}{N}}}{u}
		- \frac{K_n}{L_n}
	  \raisebox{0.3em}{$\Biggr)$}
  L_n \sqrt{u \sqrt{ \frac{N}{R_1} }},
\end{split}
\]
wenn unter dem Grade einer Function der Exponent der Anfangspotenz
in der Entwicklung derselben nach fallenden Potenzen der
Variabeln verstanden wird, kleiner als der Grad der Function $\sqrt[4]{R}$
ist, da nach einem bekannten Satze
\[
  \frac{S}{u} - \frac{K_n}{L_n}
= \frac{(-1)^n}{L_n (L_{n+1} + L_n x_{n+1})}
\]
ist, worin $x_{n+1}$ eine ächt gebrochene rationale Function bedeutet,
und
der Grad von
\[
  \frac{\sqrt{\dfrac{R_1}{N}}}{u} L_n \sqrt{u \sqrt{ \frac{N}{R_1} }}
= L_n  · \frac{1}{\sqrt{u \sqrt{ \dfrac{N}{R_1} }}}
\]
jedenfalls negativ ist. Ferner folgt aber auch, dass der Grad der
Function
\[
  \frac{p'\sqrt{N} + q'\sqrt{R_1}}{\sqrt{u}},
\]
da er wegen des unpaaren Grades von $R$ derselbe sein muss, ebenfalls
kleiner als der von $\sqrt[4]{R}$ ist, und es wird somit der Grad der
rationalen Function
\[
  \frac{p'^2 N - q'^2 R_1}{u},
\]
welche eine ganze ist, kleiner als der Grad von $\sqrt{R}$ also höchstens
$p$
sein. Es wird aber leicht eingesehen werden, dass dieser Grad Null
sein muss, wenn vorausgesetzt wird, dass es eine Function von der
Form giebt
\[
  p^{(i)^2} N - q^{(i)^2} R_1,
\]
welche bis auf eine multiplicatorische Constante der Function $u$ gleich
ist. Denn da die Ausdrücke
\[
  \frac{p'\sqrt{N} - q'\sqrt{R_1}}
       {p'\sqrt{N} + q'\sqrt{R_1}}
\text{ und }
  \frac{p^{(i)} \sqrt{N} - q^{(i)} \sqrt{R_1}}
       {p^{(i)} \sqrt{N} + q^{(i)} \sqrt{R_1}}
\]
mit entsprechenden Zeichen der Irrationalitäten genommen für alle
Lösungen von $u = 0$ in derselben Weise Null und unendlich werden,
so wird ihr Quotient
%-----File: 156.png------------------------------
\[
  \frac{p'\sqrt{N} - q'\sqrt{R_1}}
       {p'\sqrt{N} + q'\sqrt{R_1}}
 ·
  \frac{p^{(i)} \sqrt{N} + q^{(i)} \sqrt{R_1}}
       {p^{(i)} \sqrt{N} - q^{(i)} \sqrt{R_1}}
=
  \frac{\pi + k \sqrt{R}}
       {\pi - k \sqrt{R}}
\]
nur noch für alle die Lösungen des Polynoms
\[
  \frac{p'^2 N - q'^2 R_1}{u}
\]
Null und unendlich sein können, und daher
\[
  \pi^2 - k^2 R
\]
von einem Grade sein müssen, der nicht grösser als $p$ ist, wenn die
Verzweigungspunkte abgesondert sind, was offenbar unmöglich ist.
Es folgt daraus, dass das oben gefundene Polynom
\[
\tag{$\alpha$}
  p'^2 N - q'^2 R_1
\]
von einer Constanten abgesehen mit $u$ zusammenfällt, und dass man
somit, wenn nach der oben angegebenen Methode die Grössen $p'$ und
$q'$ durch $K_n$ und $L_n$ ausgedrückt gebildet werden, das Polynom
$(\alpha)$ vom
\[
  t_0^{(i)} + t_1^{(i)} + \dotsb + t_{n-k}^{(i)}
\]
ten Grade sein muss, wenn der ursprünglich gestellten Bedingung
überhaupt soll Genüge geleistet werden.

Lassen sich nun für alle oben aufgestellten $z$-Verbindungen
Gleichungen von der Form
\[
  P^{(1)^2} - Q^{(1)^2} R(z) = 0, \quad
  P^{(2)^2} - Q^{(2)^2} R(z) = 0, \dotsc
  P^{(k)^2} - Q^{(k)^2} R(z) = 0,
\]
finden, welche ausser den resp.\ Werthen
\[
\begin{array}{lll}
  z_1, &z_{k+1},\ \dotsc z_n,  \\
  z_2, &z_{k+1},\ \dotsc z_n,  \\
  \hdotsfor[3]{2}		   \\
  z_k, &z_{k+1},\ \dotsc z_n
\end{array}
\]
mit der entsprechenden Vielfachheit
\[
\begin{array}{lll}
  t_0^{(1)}, &t_1^{(1)},\ \dotsc t_{n-k}^{(1)}	\\
  t_0^{(2)}, &t_1^{(2)},\ \dotsc t_{n-k}^{(2)}	\\
  \hdotsfor[3]{2}				      \\
  t_0^{(k)}, &t_1^{(k)},\ \dotsc t_{n-k}^{(k)}
\end{array}
\]
nur noch Verzweigungswerthe zu Lösungen haben, so bilde man die
Summe
\begin{gather*}
\tag{33}
  \frac{1}{t_0^{(1)}}
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_1)^{-1}}
\mspace{-40 mu}\
  \log \left( \frac{ P^{(1)} - Q^{(1)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(1)} + Q^{(1)} \sqrt{R(z)} } \right)
%
+ \frac{1}{t_0^{(2)}}
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_2)^{-1}}
\mspace{-35 mu}
  \log \left( \frac{ P^{(2)} - Q^{(2)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(2)} + Q^{(2)} \sqrt{R(z)} } \right)\kern-12pt
\\
+ \dotsb
+ \frac{1}{t_0^{(k)}}
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_k)^{-1}}
\mspace{-35 mu}
  \log \left( \frac{ P^{(k)} - Q^{(k)} \sqrt{R(z)} }
		   { P^{(k)} + Q^{(k)} \sqrt{R(z)} } \right)
= L(z),
\end{gather*}
dann wird $L(z)$ das Aggregat der im reducirbaren hyperelliptischen
%-----File: 157.png------------------------------
Integrale vorkommenden logarithmischen Glieder darstellen. Setzt
man sodann
\begin{gather*}
  \frac{dL(z)}{dz} = \sum_{i=1}^k
  \left\{ \frac{1}{t_0^{(i)}}
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \right]_{(t-z_i)^{-1}}\kern-8pt
\frac{ 2R(z)
	 \left[ Q^{(i)} \frac{dP^{(i)}(z)}{dz}
	      - P^{(i)} \frac{dQ^{(i)}(z)}{dz} \right]
       - P^{(i)} Q^{(i)} \frac{dR(z)}{dz}}
       {P^{(i)^2} - Q^{(i)^2} R(z)}
 · \frac{1}{\sqrt{R(t)}} \right\}
\\
= \frac{\varphi(z)}{\sqrt{R(t)}},
\end{gather*}
so müssen ferner mit Zugrundelegung der früher eingeführten
Bezeichnungen noch die Bedingungen befriedigt sein
\[
  \sum_{\alpha=1}^n
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
	 \frac{F_r(t)dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40 mu} - \mspace{20 mu} \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
\int_{\infty}
	 \frac{F_r(t)dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20 mu}= 0
\]
für die Werthe $r = 0,\ 1,\ 2,\dotsc p-1$, und
\[
  \sum_{\alpha=1}^n
  \left[ \frac{F(t) - \varphi(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
	 \frac{F_r(t)dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40 mu} - \mspace{20 mu} \left[ \frac{F(t) -
\varphi(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{\infty}
	 \frac{F_r(t)dt}{\sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
\mspace{-20 mu}= 0
\]
für die Werthe $r = p$, $p+1$, $\dotsc 2p-1$; sind alle diese Bedingungen
erfüllt, so ist der Werth des algebraischen Theiles jenes
hyperelliptischen
Integrales
\[
  \left\{
  \sum_{\alpha=1}^n
  \left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}} \int_{z_\alpha}
	 \frac{dt}{(t-z) \sqrt{R(t)}}
  \right]_{(t-z_\alpha)^{-1}}
\mspace{-40 mu} - \mspace{20 mu}\left[ \frac{F(t)}{\sqrt{R(t)}}
\int_{\infty}
	 \frac{dt}{(t-z) \sqrt{R(t)}}
  \right]_{t^{-1}}
  \right\} \sqrt{R(z)},
\]
welcher mit $L(z)$ vereinigt die algebraisch-logarithmische Darstellung
des gegebenen Integrales liefert.
\eoc
%-----File: 158.png------------------------------


\Chapter{Neunte Vorlesung.}
{Die Multiplication und Division der hyperelliptischen Integrale.}

\addtotoc{Zwei verschiedene Formen des Multiplicationsproblems}

Das in der sechsten Vorlesung behandelte \so{Abel}'sche Theorem
führt unmittelbar zur Aufstellung des Multiplications- und
Divisionstheorems der hyperelliptischen Integrale.

Sei $n$ eine ganze positive Zahl, so lässt sich der Ausdruck
\[
  n\int^{x_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ n\int^{x_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ n\int^{x_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}},
\]
worin $f(x)$ eine mit beliebigen Coefficienten versehene ganze Function
${p-1}^{\text{ten}}$ Grades, $R(x)$ ein Polynom ${2p+1}^{\text{ten}}$
Grades ist, nach dem
Additionstheorem in eine Summe von $p$ anderen gleichartigen
Integralen verwandeln, so dass
\begin{align*}
\tag{1}
  n  &\ds\int^{x_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ n  \ds\int^{x_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ n  \ds\int^{x_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
=  &\ds\int^{\xi_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+  \ds\int^{\xi_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+  \ds\int^{\xi_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{align*}
wird, worin die Grössen
\[
  \xi_1,\ \xi_2,\ \dotsc \xi_p
\]
Lösungen einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades
\[
\tag{2}
  \xi^p + P_1 \xi^{p-1} + \dotsb + P_{p-1} \xi + P_p = 0
\]
sind, deren Coefficienten rational aus den Grössen
\[
\tag{a}
  x_1,\ x_2,\ \dotsc x_p,
  \sqrt{R(x_1)},\ \sqrt{R(x_2)},\ \dotsc \sqrt{R(x_p)}
\]
zusammengesetzte und in Bezug auf die Werthepaare
\[
  x_\alpha,\ \sqrt{R(x_\alpha)}
\]
symmetrische Functionen vorstellen, während die zu den $\xi$-Grössen
gehörigen Irrationalitäten, wie bekannt, rational aus den resp.\ $\xi$
und
den Grössen (a) gebildet sind und in die Form gesetzt werden mögen
\[
\tag{3}
  \sqrt{R(\xi_\alpha)}
= F\Bigl( \xi_\alpha, x_1, x_2, \dotsc x_p,
	  \sqrt{R(x_1)}, \sqrt{R(x_2)}, \dotsc \sqrt{R(x_p)} \,\Bigr).
\]

In Betreff der Gleichung (2) lässt sich im Allgemeinen nur ähnliches
aussagen, wie das in der siebenten Vorlesung über die Form der
allgemeinen algebraischen Transformationsgleichung hervorgehobene.
%-----File: 159.png------------------------------

Wenn $p$ grade oder $n$ ungrade ist, setze man
\[
  p(n + 1) = 2m,
\]
und indem man dann den Ausdruck
\[
  p(x) - q(x)\sqrt{R(x)},
\]
in welchem $p(x)$ vom $m^{\text{ten}}$, $q(x)$ vom ${m-p-1}^{\text{ten}}$
Grade ist, nur der
Bedingung zu unterwerfen hat, dass derselbe mit seinen $n-1$ ersten
Ableitungen für die Werthe
\[
  x_1,\ x_2,\ \dotsc x_p
\]
verschwindet, sieht man unmittelbar, dass sich zur Bestimmung der
Coefficienten von $p(x)$ und $q(x)$ ein System linearer Gleichungen
ergeben wird, in welchem die Coefficienten von $p(x)$ mit rationalen
Functionen je einer der Variabeln $x_1,\ x_2,\ \dotsc x_p$, die
Coefficienten
von $q(x)$ dagegen mit einem Producte ebensolcher Functionen in die
resp. Irrationalitäten
\[
  \sqrt{R(x_1)},\ \sqrt{R(x_2)},\ \dotsc \sqrt{R(x_p)}
\]
multiplicirt sind; ist dagegen $p(n+1)$ eine ungrade Zahl, so wird
man bekanntlich, wenn $\alpha$ eine Lösung der Gleichung $R(x) = 0$ ist,
nur in derselben Weise für den Ausdruck
\[
  (x-\alpha)P(x)-Q(x)\sqrt{R(x)}
\]
zu verfahren brauchen und zu denselben Eigenschaften der Coefficienten
der einzelnen Functionen gelangen.

Wir können jedoch dieses Theorem von der \emph{Multiplication der
hyperelliptischen Integrale} noch anders auffassen.

Stellt man sich nämlich die Aufgabe, den Ausdruck
\[
  n\int^{x_1}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
in eine Summe von $p$ gleichartigen Integralen der Form
\[
  \int^{\xi_1}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} +
  \int^{\xi_2}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
  \int^{\xi_p}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
zu verwandeln, so wird man, wenn
\begin{align*}
 &n + \varrho + p = 2m \quad\text{(wo $n+\varrho>p$ zu wählen)} \\
  &(x-\alpha_1) (x-\alpha_2) \dotsm (x-\alpha_\varrho) = R_1(x)  \\
  &(x-\alpha_{\varrho+1}) (x-\alpha_{\varrho+2}) \dotsm (x-\alpha_{2p+1})
  = R_2(x)
\end{align*}
gesetzt wird, nur den Ausdruck
\[
\tag{b}
  \sqrt{R_1(x)}P(x)-\sqrt{R_2(x)}Q(x),
\]
in welchem $P(x)$ vom ${m-\varrho}^{\text{ten}}$, $Q(x)$ vom
${m-p-1}^{\text{ten}}$ Grade ist,
derart zu bestimmen haben, dass derselbe mit seinen $n-1$ ersten
Ableitungen für
\[
  x=x_1  \text{ und }  \sqrt{R(x)} = \sqrt{R(x_1)}
\]
%-----File: 160.png------------------------------
verschwindet, und es ist unmittelbar ersichtlich, dass, weil der Werth
von $\sqrt{R(x_1)}$ gegeben ist, auch die Werthe von $\sqrt{R_1(x_1)}$
und $\sqrt{R_2(x_1)}$
in den aus (b) durch successives Differentiiren hervorgehenden in
eben diesen Wurzelgrössen linearen homogenen Gleichungen als gegeben
zu betrachten sind, so dass, wenn
\[
\begin{array}{lll}
  P(x) = a_{m-\varrho  } & x^{m-\varrho  }
& + a_{m-\varrho-1} x^{m-\varrho-1} + \dotsb + a_0
\\
  Q(x) = b_{m-p-1} & x^{m-p-1}
& + b_{m-p-2} x^{m-p-2} + \dotsb + b_0
\end{array}
\]
gesetzt wird, die Bestimmungsgleichungen für die Coefficienten dieser
Functionen sämmtlich die Form haben
\[
\begin{split}
  \bigl( a_{m-\varrho  } f_{m-\varrho  }(x_1)
       + a_{m-\varrho-1} f_{m-\varrho-1}(x_1) + \dotsb
  \bigr) & \sqrt{R_1(x_1)}
\\
+ \bigl( b_{m-p-1} F_{m-p-1}(x_1)
       + b_{m-p-2} F_{m-p-2}(x_1) + \dotsb
  \bigr) & \sqrt{R_2(x_1)} = 0
\end{split}
\]
wobei in den einzelnen Gleichungen die Functionen $f$ und $F$ rationale
Functionen von $x_1$ bedeuten.

Daraus folgt aber unmittelbar, dass die Grössen $a$ Producten
von rationalen Functionen von $x_1$ in die Irrationalität
$\sqrt{R_1(x_1)}$ proportional
sind, während sich die Grössen $b$ wie die Producte ebensolcher
Functionen in $\sqrt{R_2(x_1)}$ verhalten, und wir schliessen somit
aus der Identität
\[
  R_1(x_1) P(x_1)^2 - R_2(x_1) Q(x_1)^2
= (x-x_1)^n (x-\xi_1) (x-\xi_2) \dotsm (x-\xi_p),
\]
dass \emph{die Coefficienten der Gleichung}
\[
  (x-\xi_1) (x-\xi_2) \dotsm (x-\xi_p) = 0
\]
\emph{oder die rationalen symmetrischen Functionen der Gränzen der
Integrale der rechten Seite der Gleichung}
\[
\tag{4}
  n\int^{x_1}  \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \int^{\xi_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{\xi_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{\xi_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
\emph{rationale Functionen von $x_1$ sind, während die zugehörigen
Irrationalitäten}, wie unmittelbar zu sehen, \emph{sich als Producte
von $\sqrt{R(x_1)}$
in Functionen darstellen, welche rational aus $x_1$ und den zugehörigen
$\xi$-Werthen zusammengesetzt sind.}

\addtotoc{Division der hyperelliptischen Integrale}
Ich gehe jetzt zur Behandlung des umgekehrten Problems, \emph{des
Divisionsproblems der hyperelliptischen Integrale} über.

Aus der Gleichung (1) folgt
\[
\tag{5}
  \int^{x_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{x_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \frac{1}{n} \int^{\xi_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \frac{1}{n} \int^{\xi_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}},
\]
worin wir uns jetzt die Grössen
\[
  \xi_1, \xi_2, \dotsc	\xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
\]
gegeben denken, und es wird die Aufgabe gestellt, die Grössen
\[
  x_1, x_2, \dotsc  x_p,
  \sqrt{R(x_1)}, \sqrt{R(x_2)}, \dotsc \sqrt{R(x_p)}
\]
%-----File: 161.png------------------------------
zu ermitteln, oder auch aus dem durch die Gleichung (2) bestimmten
Gleichungssystem
\[
\tag{6}
\begin{array}{c}
  \xi_1^p + P_1 \xi_1^{p-1} + \dotsb + P_p = 0	 \\[1 em]
  \xi_2^p + P_1 \xi_2^{p-1} + \dotsb + P_p = 0	 \\
\hdotsfor[3]{1}
\\  \xi_p^p + P_1 \xi_p^{p-1} + \dotsb + P_p = 0
\end{array}
\]
die Werthe von $x_1,\ x_2,\ \dotsc x_p$ als Functionen der $\xi$ und der
dazugehörigen Irrationalitäten auszudrücken.

Bezeichnen wir die $2p$ Periodicitätsmoduln des Integrales
\[
  \int \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
an den früher definirten Querschnitten $a_k$ und $b_k$ mit
\[
  J_{a_k} \text{ und } J_{b_k},
\]
so ist leicht zu sehen, dass, wenn man zur linken Seite der Gleichung
(5) eine Summe von Integralen der Form
\[
  \frac{m_1}{n} J_{a_1}
+ \frac{m_2}{n} J_{a_2} + \dotsb
+ \frac{m_p}{n} J_{a_p}
+ \frac{m_{p+1}}{n} J_{b_1}
+ \frac{m_{p+2}}{n} J_{b_2} + \dotsb
+ \frac{m_{2p }}{n} J_{b_p}
\]
hinzuaddirt, in welchen
\[
  m_1, m_2, \dotsc m_p, m_{p+1}, m_{p+2}, \dotsc m_{2p}
\]
beliebige positive ganze Zahlen von $0$ bis $n-1$ bedeuten sollen,
und man sich ferner $p$ Integrale mit den oberen Gränzen
$\eta_1, \eta_2, \dotsc \eta_p$
aufgestellt denkt, die der Gleichung Genüge leisten
\[
\tag{7}
\begin{split}
  m_1 J_{a_1} + m_2 J_{a_2} + \dotsb + m_p J_{a_p}
+ m_{p+1} J_{b_1} + m_{p+2} J_{b_2} + \dotsb + m_{2p} J_{b_p}
\\
= n\int^{\eta_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ n\int^{\eta_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ n\int^{\eta_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}},
\end{split}
\]
sich jedenfalls die so entstehende linke Seite der Gleichung (5) wieder
in die Summe von $p$ gleichartigen Integralen wird zusammenfassen
lassen, welche wir mit
\[
  \int^{x'_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{x'_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{x'_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
bezeichnen wollen, und wenn wir diese Summe wieder mit $n$
multipliciren und nach dem \so{Abel}'schen Theorem die Gleichung bilden
\[
  n\int^{x'_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ n\int^{x'_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \int^{\xi'_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{\xi'_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}},
\]
so folgt unmittelbar, dass, weil
%-----File: 162.png------------------------------
\begin{align*}
 &  n\int^{x'_1} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
  + n\int^{x'_2} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
  + n\int^{x'_p} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
=&  n\int^{x_1} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
  + n\int^{x_2} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
  + n\int^{x_p} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
+&  n\int^{\eta_1} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
  + n\int^{\eta_2} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
  + n\int^{\eta_p} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
=&  n\int^{x_1} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
  + n\int^{x_p} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
  \begin{aligned}[t]
    &+ m_1     J_{a_1} + \dotsb + m_p	 J_{a_p}   \\
    &+ m_{p+1} J_{b_1} + \dotsb + m_{2p} J_{b_p}
  \end{aligned}
\end{align*}
ist, auch
\begin{align*}
  \int^{\xi'_1} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} &+ \dotsb
+ \int^{\xi'_p} \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \int^{\xi_1 } \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}  + \dotsb
+ \int^{\xi_p } \frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
&+ m_1	   J_{a_1} + \dotsb + m_p    J_{a_p}
 + m_{p+1} J_{b_1} + \dotsb + m_{2p} J_{b_p}
\end{align*}
sein wird, \dh\ es unterscheiden sich die einen Integrale von den
andern nur um ganze Vielfache der Periodicitätsmoduln, oder es
werden die Integrationswege dieser Integrale verschieden sein, während
die oberen Gränzen dieselben bleiben.

Wir erhalten somit das Resultat, dass die Werthe
$x'_1$, $x'_2,\ \dotsc x'_p$
ebenfalls dem obigen Gleichungssystem (6) genügen, in welchem die
Werthe $\xi_1$, $\xi_2,\ \dotsc \xi_p$ dieselben bleiben. Da nun die
Grössen $m_1$, $
m_2,\ \dotsc m_{2p}$ alle Werthe von $0$ bis $n-1$ annehmen sollen, so
werden wir
\[
  n^{2p} = \sigma
\]
Combinationen von durch $n$ getheilten Perioden erhalten und somit
auch $n^{2p}$ Werthesysteme der Grössen $x$, welche sämmtlich dem
Gleichungssysteme (6) genügen, und die wir durch
\[
\tag{c}
\begin{array}{lll}
  x_1^{(0)}	   & x_2^{(0)}	      & \dotsc x_p^{(0)}   \\
  x_1^{(1)}	   & x_2^{(1)}	      & \dotsc x_p^{(1)}   \\
  \hdotsfor[3]{3}   \\
  x_1^{(\sigma-1)} & x_2^{(\sigma-1)} & \dotsc x_p^{(\sigma-1)}
\end{array}
\]
bezeichnen wollen, worin die früheren
\[
  x_1, x_2, \dotsc x_p \text{ durch }
  x_1^{(0)} x_2^{(0)} \dotsc x_p^{(0)}
\]
dargestellt sein sollen.

Aber man kann auch das Gleichungssystem (6), welches ausser
den Grössen $x_1$, $x_2,\ \dotsc x_p$ noch die zu diesen Grössen
gehörigen
Irrationalitäten
\[
\tag{d}
  \sqrt{R(x_1)}, \sqrt{R(x_2)}, \dotsc \sqrt{R(x_p)}
\]
%-----File: 163.png------------------------------
enthält, so umformen, dass es von eben diesen Irrationalitäten frei
ist, dass aber dafür die zu den Werthen $\xi_1$, $\xi_2,\ \dotsc \xi_p$
gehörigen
Irrationalitäten
\[
\tag{e}
  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)},
\]
eintreten; denn da nach Gleichung (3), wenn in dieselbe der Reihe
nach
\[
  \alpha = 1, 2, \dotsc p
\]
gesetzt wird, sich $p$ Gleichungen ergeben, aus denen sich die Grössen
(d) offenbar als rationale Functionen der andern darin vorkommenden
Grössen berechnen lassen, so werden wir ein System von Gleichungen
von der Form erhalten,
\[
\tag{8}
\begin{array}{c}
  F_1\bigl( x_1, \dotsc x_p, \xi_1, \dotsc \xi_p,
	    \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) = 0
\\[1 em]
  F_2\bigl( x_1, \dotsc x_p, \xi_1, \dotsc \xi_p,
	    \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) = 0
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  F_p\bigl( x_1, \dotsc x_p, \xi_1, \dotsc \xi_p,
	    \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) = 0
\end{array}
\]
das ebenfalls mit Beibehaltung der Werthe
\[
  \xi_1, \dotsc \xi_p, \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
\]
durch das Werthesystem (c) befriedigt wird; ebenso leicht ist
einzusehen, dass das Gleichungssystem (8) andere gemeinsame
Lösungscombinationen als die eben bezeichneten $\sigma$ nicht besitzen
kann, da
das $n$-fache Multiplum der zugehörigen Integrale auf die Summe
derselben $p$ Integrale mit den Gränzen $\xi_1$, $\xi_2,\dotsc \xi_p$
führen müsste.

Bezeichnen wir jetzt durch
\[
  \psi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc
	     x_p^{(\alpha)} \bigr)
\]
irgend eine ganze symmetrische Function der Grössen
\[
  x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)},
\]
in welchen $\alpha$ eine der Zahlen $0, 1, 2, \dotsc \sigma-1$ bedeuten
soll, und
denen das Werthesystem
\[
  m_1^{(\alpha)}, m_2^{(\alpha)}, \dotsc m_p^{(\alpha)},
  m_{p+1}^{(\alpha)}, \dotsc m_{2p}^{(\alpha)}
\]
entsprechen mag, werden ferner $2p$ Lösungen der Gleichung
\[
  \vartheta^n = 1
\]
mit
\[
  \vartheta_1, \vartheta_2, \dotsc \vartheta_{2p}
\]
bezeichnet, und der Ausdruck
\[
  \vartheta_1^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_2^{m_2^{(\alpha)}} \dotsm
  \vartheta_{2p}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)}
	 \bigr)
\]
gebildet, so soll die charakteristische Eigenschaft der Summe
\[
  \sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_1^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_2^{m_2^{(\alpha)}} \dotsm
  \vartheta_{2p}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)}
	 \bigr)
= \psi\bigl( x^{(0)}, x^{(1)}, \dotsc x^{(\sigma-1)} \bigr)
\]
%-----File: 164.png------------------------------
gefunden werden, worin
\[
  \psi\bigl( x^{(0)}, x^{(1)}, \dotsc x^{(\sigma-1)} \bigr)
\]
eine von allen $x$ des Systemes (c) abhängige ganze Function bedeutet.

Vor Allem ist leicht einzusehen, dass die $\psi$-Function als rationale
Function der Grössen
\[
  x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)}
\]
dargestellt werden kann. Aus der Beziehung
\[
\begin{split}
 &\int^{x_1^{(\alpha)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{x_2^{(\alpha)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{x_p^{(\alpha)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
=&\int^{x_1^{(0)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{x_2^{(0)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{x_p^{(0)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
+&\frac{m_{ 1 }^{(\alpha)}}{n} J_{a_1} + \dotsb
+ \frac{m_{ p }^{(\alpha)}}{n} J_{a_p}
+ \frac{m_{p+1}^{(\alpha)}}{n} J_{b_1} + \dotsb
+ \frac{m_{2p }^{(\alpha)}}{n} J_{b_p}
\\
=&\int^{   x_1^{(0)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{   x_p^{(0)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{\eta_1^{(\alpha)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{\eta_p^{(\alpha)}} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{split}
\]
folgt nämlich nach dem \so{Abel}'schen Theorem, dass
\[
  x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)}
\]
die Lösungen einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades sind, deren
Coefficienten
rational aus
\begin{align*}
& x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)}
  \sqrt{R\bigl( x_1^{(0)} \bigr)},
  \sqrt{R\bigl( x_2^{(0)} \bigr)}, \dotsc
  \sqrt{R\bigl( x_p^{(0)} \bigr)},
\\
& \eta_1^{(\alpha)}, \eta_2^{(\alpha)}, \dotsc \eta_p^{(\alpha)}
  \sqrt{R\bigl( \eta_1^{(\alpha)} \bigr)},
  \sqrt{R\bigl( \eta_2^{(\alpha)} \bigr)}, \dotsc
  \sqrt{R\bigl( \eta_p^{(\alpha)} \bigr)},
\end{align*}
zusammengesetzt sind, oder auch, wie unmittelbar ans der oben
gemachten Auseinandersetzung zu erkennen, von den $\eta$-Grössen und
den zu diesen gehörigen Irrationalitäten abgesehen, rationale Functionen
der Grössen
\[
\tag{f}
  x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)},
  \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R\left( \xi_1 \right)},
  \sqrt{R\left( \xi_2 \right)}, \dotsc
  \sqrt{R\left( \xi_p \right)},
\]
sind; daher wird die symmetrische Function
\[
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)}
	 \bigr)
\]
der in dieser enthaltenen Grössen sich rational durch eben diese
Grössen (f) ausdrücken lassen, und dasselbe gilt von der Function
\[
  \psi\bigl( x^{(0)}, x^{(1)}, \dotsc x^{(\sigma-1)} \bigr)
\]
die als rationale Function der Grössen (f) durch
\[
  \psi\bigl( x^{(0)}, x^{(1)}, \dotsc x^{(\sigma-1)} \bigr)
= \varPsi\bigl( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)}	\bigr)
\]
bezeichnet werden möge.
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Es tritt jetzt die Frage auf, was aus der Function $\varPsi$ wird,
wenn an Stelle der Grössen $x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)}$
eine andere Werthecombination
\[
x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)}
\]
gesetzt wird; man sieht leicht, dass
\[
\tag{9}
\begin{aligned}[t]
  \varPsi \bigl( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} \bigr)
&= \psi \bigl( x^{(r)}, x^{(r+1)}, \dotsc x^{(r+\sigma-1)} \bigr)
\\
=\sum_{\alpha=0}^{\sigma - 1}
  \vartheta_1^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_2^{m_2^{(\alpha)}} \dotsm
  \vartheta_{2p}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  & \varphi\bigl( x_1^{(\alpha+r)}, x_2^{(\alpha+r)}, \dotsc
		 x_p^{(\alpha+r)} \bigr)
\\
= \vartheta_1^{-m_1^{(r)}} & \vartheta_2^{-m_2^{(r)}} \dotsm
  \vartheta_{2p}^{-m_{2p}^{(r)}} ×
\\
  \sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_1^{m_1^{(\alpha)}+m_1^{(r)}}
  \vartheta_2^{m_2^{(\alpha)}+m_2^{(r)}} \dotsm &
  \vartheta_{2p}^{m_{2p}^{(\alpha)}+m_{2p}^{(r)}}
  \varphi \bigl( x_1^{(\alpha+r)}, x_2^{(\alpha+r)}, \dotsc
		 x_p^{(\alpha+r)} \bigr)
\end{aligned}
\]
ist, und da $x^{(\alpha+r)}$, wie aus der Definition hervorgeht, zum
Index
$m_1^{(\alpha)} + m_1^{(r)}$ gehört, und ein Ueberschreiten der Zahl $n$
durch diesen
Index von den entsprechenden nach $n$ congruenten kleineren Indices
abgesehen nur ganze Periodicitätsmoduln hinzufügt und daher die
Integralgränzen nicht ändert, so folgt
\[
\tag{10}
  \varPsi \bigl( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} \bigr) =
\vartheta_1^{-m_1^{(r)}} \vartheta_2^{-m_2^{(r)}} \dotsm
\vartheta_{2p}^{-m_{2p}^{(r)}}
\varPsi \bigl( x_1^{(0)}, x_2^{(0)} \dotsc x_p^{(0)} \bigr) ,
\]
und daher, weil
\[
  \vartheta_1, \vartheta_2, \dotsc \vartheta_{2p}
\]
$n^{\text{te}}$ Einheitswurzeln sind,
\[
  \varPsi^n \bigl( x_1^{(r)}, x_2^{(r)} \dotsc x_p^{(r)} \bigr)
= \varPsi^n \bigl( x_1^{(0)}, x_2^{(0)} \dotsc x_p^{(0)} \bigr).
\]

Hieraus ergiebt sich aber, dass
\[
  \varPsi^n \bigl( x_1^{(0)}, x_2^{(0)} \dotsc x_p^{(0)} \bigr) =
  \frac{1}{\sigma} \sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \varPsi^n \bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)} \dotsc x_p^{(\alpha)}
  \bigr)
\]
eine rationale ganze symmetrische Function der dem Gleichungssystem
(8) gemeinsamen Werthecombinationen ist und sich somit
rational durch die Coefficienten dieser Gleichungen \dh\ rational und
ganz durch
\[
  \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p, \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc
  \sqrt{R(\xi_p)}
\]
ausdrücken lässt, und wir wollen diese Beziehung in die Form bringen
\[
  \varPsi \bigl( x_1^{(0)}, x_2^{(0)} \dotsc x_p^{(0)} \bigr)
= \sqrt[n]{ \omega \Bigl( \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p,
			  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)},
			  \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) },
\]
worin $\omega$ eine ganze Function der in ihr enthaltenen Grössen
bedeutet, oder
%-----File: 166.png------------------------------
\begin{align*}
\tag{11}
  &\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_1^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_2^{m_2^{(\alpha)}} \dotsm
  \vartheta_{2p}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)}
	 \bigr)
\\
&= \sqrt[n]{\omega\Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr)}.
\end{align*}

Bildet man nun aus den $n$ Lösungen
\[
  \vartheta_1, \vartheta_2, \dotsc \vartheta_n
\]
der Gleichung
\[
  \vartheta^n = 1
\]
alle möglichen Verbindungen mit Wiederholungen zur
${2p}^{\text{ten}}$ Klasse,
deren Anzahl $n^{2p} = \sigma$ ist, und die durch
\[
\begin{array}{rrl}
  \vartheta_{1\,1}	&\vartheta_{2\,1}      &\dotsc \vartheta_{2p\,n}
  \\
  \vartheta_{1\,2}	&\vartheta_{2\,2}      &\dotsc \vartheta_{2p\,2}
  \\
  \hdotsfor[3]{3}   \\
  \vartheta_{1\,\sigma} &\vartheta_{2\,\sigma} &\dotsc
  \vartheta_{2p\,\sigma}
\end{array}
\]
bezeichnet werden mögen, und setzt diese der Reihe nach statt der
Combination
\[
  \vartheta_1, \vartheta_2, \dotsc \vartheta_{2p}
\]
in die Gleichung (11) ein, so wird sich, wenn die entsprechenden
Werthe von $\omega$ mit
\[
  \omega_1, \omega_2, \dotsc \omega_\sigma
\]
bezeichnet werden, das in den $\varphi$-Functionen lineare
Gleichungssystem
ergeben
\[
\tag{12}
\begin{array}{l}
  \ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_{1 \,1}^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_{2 \,1}^{m_2^{(\alpha)}} \dotsc
  \vartheta_{2p\,1}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)} \dotsc
		x_p^{(\alpha)} \bigr)
\\
= \sqrt[n]{\omega_1\bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
			  \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
			  \,\bigr)}
\\[1em]
  \ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_{1 \,2}^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_{2 \,2}^{m_2^{(\alpha)}} \dotsc
  \vartheta_{2p\,2}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)} \dotsc
		x_p^{(\alpha)} \bigr)
\\
= \sqrt[n]{\omega_2\bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
			  \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
			  \,\bigr)}

\\   \hdotsfor[3]{1}
\\
  \ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_{1 \,\sigma}^{m_1^{(\alpha)}}
  \vartheta_{2 \,\sigma}^{m_2^{(\alpha)}} \dotsc
  \vartheta_{2p\,\sigma}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi\bigl( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)} \dotsc
		x_p^{(\alpha)} \bigr)
\\
= \sqrt[n]{\omega_\sigma\bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
			  \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
			  \,\bigr)},
\end{array}
\]
woraus jede der $\varphi$-Functionen als lineare Function der rechten
Seiten
dieser Gleichungen, also
%-----File: 167.png------------------------------
\[
\tag{13}
\begin{aligned}[t]
  & \qquad\varphi( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)} )
\\
&= A_1 \sqrt[n]{ \omega_1
		  \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p, \sqrt{R(\xi_1)},
			 \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }
\\
&+ A_2 \sqrt[n]{ \omega_2
		  \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p, \sqrt{R(\xi_1)},
			 \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }
\\
+ \dotsb &+ A_\sigma \sqrt[n]{ \omega_\sigma
		  \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p, \sqrt{R(\xi_1)},
			 \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }
\end{aligned}
\]
folgt.

Da aber die $\varphi$-Function irgend eine ganze symmetrische Function
der in ihr enthaltenen Grössen bedeuten sollte, so ergiebt sich, dass
\begin{quote}
\emph{die Grössen
\[
  x_1, x_2, \dotsc x_p,
\]
welche der Gleichung}
\[
  \int^{x_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{x_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \frac{1}{n} \int^{\xi_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \frac{1}{n} \int^{\xi_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
\end{quote}
\begin{quote}
\emph{genügen, die Lösungen einer Gleichung $p^{\mathit{ten}}$ Grades
sind,
deren Coefficienten sich als lineare Functionen von $n^{\mathit{ten}}$
Wurzeln aus Functionen darstellen lassen, welche rational aus}
\[
  \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)},
\]
\emph{zusammengesetzt sind.}
\end{quote}
Es ist aber leicht zu sehen, dass sich die $n^{\text{ten}}$ Wurzelgrössen
\[
  \sqrt[n]{\omega_1}, \sqrt[n]{\omega_2}, \dotsc \sqrt[n]{\omega_\sigma
  }
\]
sämmtlich als rationale Functionen von $2p$ von ihnen ausdrücken
lassen. Denn führt man die $n^{\text{te}}$ Einheitswurzel
\[
  e^{\tfrac{2\pi i}{n}} = \varTheta
\]
ein, und setzt
\[
\tag{14}
\begin{array}{rl}
  \varPsi_1( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
=&\ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1} \varTheta^{m_1^{(\alpha)}}
    \varphi( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)} )
\\[1 em]
=&\sqrt[n]{ \omega_{\nu_1}
	    \bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
		   \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) }
\\[1 em]
  \varPsi_2( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
=&\ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1} \varTheta^{m_2^{(\alpha)}}
    \varphi( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)} )
\\[1 em]
=&\sqrt[n]{ \omega_{\nu_2}
	    \bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
		   \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) }
\\
\hdotsfor[3]{2}
\\
  \varPsi_{2p}( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
=&\ds\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1} \varTheta^{m_{2p}^{(\alpha)}}
    \varphi( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)} )
\\[1 em]
=&\sqrt[n]{ \omega_{\nu_{2p}}
	    \bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
		   \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\bigr) },
\end{array}
\]
%-----File: 168.png------------------------------
so folgen, wenn statt der Grössen
\[
  x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} \text{ die Werthe }
  x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)}
\]
substituirt werden, aus der Beziehung (10) die nachfolgenden Relationen:
\[
\tag{15}
\begin{array}{c}
  \varPsi_1 ( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} )
= \varTheta^{-m_1^{(r)}}
  \varPsi_1 ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
\\[1 em]
  \varPsi_2 ( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} )
= \varTheta^{-m_2^{(r)}}
  \varPsi_2 ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
  \varPsi_{2p} ( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} )
= \varTheta^{-m_{2p}^{(r)}}
  \varPsi_{2p} ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} ).
\end{array}
\]

Greifen wir nun irgend eine der Grössen
\begin{align*}
  \varPsi^{(\varrho)} ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)} )
=&\sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \vartheta_{1 \,\varrho}^{m_1^{   (\alpha)}}
  \vartheta_{2 \,\varrho}^{m_2^{   (\alpha)}} \dotsm
  \vartheta_{2p\,\varrho}^{m_{2p}^{(\alpha)}}
  \varphi ( x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc x_p^{(\alpha)} )
\\
=&\sqrt[n]{ \omega_\varrho
  \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
	 \sqrt{R(\xi_1)} \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }
\end{align*}
heraus und setzen
\[
 \vartheta_{1 \,\varrho} = \varTheta^{t_1}, \quad
 \vartheta_{2 \,\varrho} = \varTheta^{t_2}, \dotsc
 \vartheta_{2p\,\varrho} = \varTheta^{t_{2p}},
\]
so wird sich ebenfalls aus der Beziehung (10) die Gleichung ergeben
\begin{gather*}
\tag{16}
  \varPsi^{(\varrho)} ( x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)} )
\\
= \varTheta^{-( t_1 m_1^{(r)} + t_2 m_2^{(r)} + \dotsb
	   + t_{2p} m_{2p}^{(r)} )}
  \varPsi^{(\varrho)} ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_1^{(0)} ) ,
\end{gather*}
und somit aus (15) und (16) die Relation folgen
\[
\tag{17}
\begin{split}
  \frac{ \varPsi^{(\varrho)}  (x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)}) }
       { \varPsi_1^{t_1}      (x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)})\,
	 \varPsi_2^{t_2}      (x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)})
	 \dotsc
	 \varPsi_{2p}^{t_{2p}}(x_1^{(r)}, x_2^{(r)}, \dotsc x_p^{(r)})}
\\
= \frac{ \varPsi^{(\varrho)}  (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)}) }
       { \varPsi_1^{t_1}      (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)})\,
	 \varPsi_2^{t_2}      (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)})
	 \dotsc
	 \varPsi_{2p}^{t_{2p}}(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dotsc x_p^{(0)})
       }.
\end{split}
\]

Beachtet man endlich, dass hiernach die rechte Seite der letzteren
Gleichung, welche in die Form
\[
  \frac{1}{\sigma} \sum_{\alpha=0}^{\sigma-1}
  \frac{\varPsi^{(\varrho)}  (x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc
  x_p^{(\alpha)})}
       {\varPsi_1^{t_1}      (x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc
       x_p^{(\alpha)})\,
	\varPsi_2^{t_2}      (x_1^{(\alpha)}, x_2^{(\alpha)}, \dotsc
	x_p^{(\alpha)}) \dotsc
	\varPsi_{2p}^{t_{2p}}(x_1^{	(\alpha)}, x_2^{(\alpha)},
	\dotsc x_p^{(\alpha)})}
\]
gesetzt werden kann, wieder eine rationale symmetrische Function
der gemeinsamen Wurzelcombinationen des Gleichungssystems (8) ist,
sich also rational durch die Grössen
\[
  \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)}
\]
ausdrücken lässt, so folgt, wenn dieser Ausdruck durch
%-----File: 169.png------------------------------
\[
  \varOmega^{(\varrho)} \Bigl( \xi_1, \xi_2, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \sqrt{R(\xi_2)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr)
\]
bezeichnet und für die $\varPsi$-Functionen wieder die $n^{\text{ten}}$
Wurzeln aus
den $\omega$-Grössen gesetzt werden, die Beziehung
\begin{gather*}
  \sqrt[n]{ \omega_{\varrho} \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
	    \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }
= \varOmega^{(\varrho)} \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
  \sqrt{R(\xi_1)}, \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr)
\\
\begin{align*}
&× \left[ \sqrt[n]{\omega_{\nu_1} \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
\sqrt{R(\xi_1)},
			  \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }\right]^{t_1}
\\
&× \left[ \sqrt[n]{\omega_{\nu_2} \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
\sqrt{R(\xi_1)},
			  \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr) }\right]^{t_2}
			  \dotsm
\\
&× \left[ \sqrt[n]{\omega_{\nu_{2p}} \Bigl( \xi_1, \dotsc \xi_p,
\sqrt{R(\xi_1)},
			  \dotsc \sqrt{R(\xi_p)} \,\Bigr)
			  }\right]^{t_{2p}}
\end{align*}
\end{gather*}
und es ist somit gezeigt, dass sich sämmtliche $n^{\text{ten}}$ Wurzeln,
welche
in den Coefficienten der Theilungsgleichung vorkommen, rational
durch $2p$ dieser $n^{\text{ten}}$ Wurzeln ausdrücken lassen, und daher
jeder dieser
letzteren $n^{\text{ten}}$ Wurzeln in den Gleichungen (12) alle Werthe
beigelegt
werden können; es ergeben sich aus allen Combinationen die verlangten
$n^{2p}$ Wurzelwerthe.

\addtotoc{Theilung der Perioden der hyperelliptischen Integrale}
In die Auflösung dieser Theilungsgleichungen traten, wie aus
der obigen Auseinandersetzung ersichtlich, die Grössen
$\eta_1, \eta_2, \dotsc \eta_p$
und die zu ihnen gehörigen Irrationalitäten ein, welche durch die
Gleichung definirt waren
\begin{gather*}
\tag{18}
  m_1 J_{a_1} + m_2 J_{a_2} + \dotsb + m_p J_{a_p}
+ m_{p+1} J_{b_1} + m_{p+2} J_{b_2} + \dotsb + m_{2p} J_{b_p}
\\
= n\int^{\eta_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ n\int^{\eta_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ n\int^{\eta_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}},
\end{gather*}
und mit den besonderen Eigenschaften dieser Grössen wollen wir uns
nunmehr beschäftigen.

Sei
\[
  n = q^\varkappa r^\varrho \dotsm s^\sigma ,
\]
worin $q, r, \dotsc s$ verschiedene Primzahlen bedeuten, so wird man die
Gleichungen
\[
\begin{array}{c}
  \dfrac{m_1}{n}
= \dfrac{m_1^{( 1    )}}{q^\varkappa}
+ \dfrac{m_1^{( 2    )}}{r^\varrho} + \cdots
+ \dfrac{m_1^{(\delta)}}{s^\sigma}
\\[1 em]
  \dfrac{m_2}{n}
= \dfrac{m_2^{( 1    )}}{q^\varkappa}
+ \dfrac{m_2^{( 2    )}}{r^\varrho} + \cdots
+ \dfrac{m_2^{(\delta)}}{s^\sigma}
\\
\hdotsfor[3]{1}   \\
  \dfrac{m_{2p}}{n}
= \dfrac{m_{2p}^{( 1	)}}{q^\varkappa}
+ \dfrac{m_{2p}^{( 2	)}}{r^\varrho} + \cdots
+ \dfrac{m_{2p}^{(\delta)}}{s^\sigma}
\end{array}
\]
bekanntlich durch ganze Zahlen so befriedigen können, dass die
Brüche sämmtlich ächte sind, und wenn man dann im Stande ist,
die einzelnen durch die Gleichungen
%-----File: 170.png------------------------------
\[
\tag{19}
\begin{array}{c}
m_{1}^{(1)}J_{a_{1}} +
m_{2}^{(1)}J_{a_{2}} + \dotsb +
m_{2p}^{(1)}J_{b_{p}}
=
q^{\varkappa} \ds\int^{\eta_{1}^{(1)}} \mspace{-10
mu}\dfrac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
q^{\varkappa} \ds\int^{\eta_{p}^{(1)}} \mspace{-10
mu}\dfrac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\[1 em]
m_{1}^{(2)}J_{a_{1}} +
m_{2}^{(2)}J_{a_{2}} + \dotsb +
m_{2p}^{(2)}J_{b_{p}}
=
r^{\varrho} \ds\int^{\eta_{1}^{(2)}} \mspace{-10
mu}\dfrac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
r^{\varrho} \ds\int^{\eta_{p}^{(2)}} \mspace{-10
mu}\dfrac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
\hdotsfor[3]{1}
\\
m_{1}^{(\delta)}J_{a_{1}} +
m_{2}^{(\delta)}J_{a_{2}} + \dotsb +
m_{2p}^{(\delta)}J_{b_{p}}
=
s^{\sigma} \ds\int^{\eta_{1}^{(\delta)}} \mspace{-10
mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
s^{\sigma} \ds\int^{\eta_{p}^{(\delta)}} \mspace{-10
mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{array}
\]
definirten Divisionsprobleme der ganzen Vielfachen der Periodicitätsmoduln
zu lösen, so wird die Addition aller Gleichungen
\begin{gather*}
\begin{align*}
&\frac{m_{1}}{n}J_{a_{1}} +
\frac{m_{2}}{n}J_{a_{2}} + \dotsb +
\frac{m_{p}}{n}J_{a_{p}} +
\frac{m_{p+1}}{n}J_{b_{2}} + \dotsb +
\frac{m_{2p}}{n}J_{b_{p}}
\\
&=
\int^{\eta_{1}^{(1)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} +
\dotsb +
\int^{\eta_{p}^{(1)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} +
\int^{\eta_{1}^{(2)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} +
\dotsb +
\int^{\eta_{p}^{(2)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{align*}\\
+ \dotsb + \int^{\eta_{1}^{(\delta)}} \mspace{-10
mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \dotsb + \int^{\eta_{p}^{(\delta)}} \mspace{-10
mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{gather*}
liefern; wenn dann nach dem \so{Abel}'schen Theorem die $\delta p$
Integrale
der rechten Seite zu $p$ Integralen vereinigt werden, so dass
\begin{gather*}
\int^{\eta_{1}^{(1)}}	   \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \dotsb +
\int^{\eta_{p}^{(1)}}	   \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \dotsb +
\int^{\eta_{1}^{(\delta)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \dotsb +
\int^{\eta_{p}^{(\delta)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\\
= \int^{\eta_{1}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \int^{\eta_{2}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{\eta_{p}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{gather*}
wird, worin $\eta_{1}, \eta_{2} \dotsc \eta_{p}$ Lösungen einer Gleichung
$p^{\text{ten}}$ Grades bedeuten,
deren Coefficienten rational und symmetrisch aus
\[
\eta_1^{(1)},	   \sqrt{R(\eta_1^{(1)})};\;
\eta_2^{(1)},	   \sqrt{R(\eta_2^{(1)})}; \dotsc
\eta_1^{(\delta)}, \sqrt{R(\eta_1^{(\delta)})}; \dotsc
\eta_p^{(\delta)}, \sqrt{R(\eta_p^{(\delta)})}
\]
zusammengesetzt sind, so wird das in der Gleichung (18) gestellte
Problem gelöst sein.

Wir haben uns daher nur mit einer der Gleichungen (19) \dh\
mit dem Divisionsproblem der Perioden für eine Primzahlpotenz zu
beschäftigen; aber es genügt, das Problem für eine einfache Primzahl
zu behandeln. Denn sei dasselbe für eine einfache Primzahl
gelöst, welche der Gleichung angehört
\[
\tag{20}
m_{1}^{(1)}J_{a_{1}} + \dotsb +
m_{2p}^{(1)}J_{b_{p}}
=
q\int^{\zeta_{1}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
q\int^{\zeta_{p}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
so wird, wenn
\[
\tag{21}
\int^{\zeta_{1}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb +
\int^{\zeta_{p}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
=
q\int^{\zeta_{1}^{(1)}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}} +
\dotsb +
q\int^{\zeta_{p}^{(1)}}\mspace{-10 mu}\frac{f(x)\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
%-----File: 171.png------------------------------
gesetzt wird,
\[
\tag{22}
m_1 J_{a_1} + \dotsb +
m_{2p} J_{b_p}
=
q^2 \int^{\zeta_1^{(1)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
+ \dotsb +
q^2 \int^{\zeta_p^{(1)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
hervorgehen; aber die Auflösung des durch die Gleichung (21)
definirten Problems ist nach den früheren Auseinandersetzungen durch
$q^{\text{te}}$ Wurzeln herstellbar, wenn wiederum das Problem der
Gleichung
(20) als gelöst betrachtet wird; schliesst man so weiter, so ergiebt
sich, dass das in Gleichung (18) gestellte Problem nur für den Fall,
dass $n$ eine einfache Primzahl ist, zu behandeln sein wird.

Führt man der Einfachheit der Bezeichnung wegen für die $2p$
Periodicitätsmoduln die Grössen
\[
  J_1, J_2, \dotsc J_{2p}
\]
ein und setzt
\[
\tag{23}
\begin{array}{ll}
  i_1 = J_1				  \\
  i_2 = \mu_1 J_1 + J_2			  \\
  i_3 = \mu_1 J_1 + \mu_2 J_2 + J_3	  \\
  \hdotsfor[3]{1}			  \\
  i_{2p} = \mu_1 J_1 + \mu_2 J_2 + \dotsb &+ \mu_{2p-1} J_{2p-1} +
  J_{2p},
\end{array}
\]
worin die Grössen
\[
  \mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{2p}
\]
Zahlen ans der Reihe $0,\ 1,\ 2,\ \dotsc n-1$ bedeuten sollen, so erkennt
man sogleich, dass sich für jede Werthecombination der Grössen
\[
  m_1,\ m_2,\ \dotsc m_{2p}
\]
eine Beziehung von der Form aufstellen lässt
\[
\tag{24}
  m_1 J_1 + \dotsb m_{2p} J_{2p}
= m i_r + n( k_1 J_1 + \dotsb + k_{2p} J_{2p} );
\]
denn wird die letzte nicht verschwindende $m$-Grösse mit $m_k$
bezeichnet,
so setze man $r = k$, stelle die Relationen auf
\[
  m = m_k,\
  m\mu_{k-1} \equiv m_{k-1} \;\text{(mod $n$)},\
  m\mu_{k-2} \equiv m_{k-2} \;\text{(mod $n$)}, \dotsc
  m\mu_{  1} \equiv m_{  1} \;\text{(mod $n$)}
\]
und bestimme, was, weil $n$ eine Primzahl, stets möglich ist, hieraus
die Grössen $\mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{k-1}$.

Dadurch ist aber gezeigt, dass der Ausdruck
\[
\frac{m_1}{n} J_1 +
\frac{m_2}{n} J_2 + \dotsb +
\frac{m_{2p}}{n} J_{2p}
\]
sich von dem Ausdrucke
\[
m\left(
\frac{\mu_1}{n} J_1 +
\frac{\mu_2}{n} J_2 + \dotsb +
\frac{\mu_{k-1}}{n} J_{k-1} +
\frac{1}{n} J_k      \right)
\]
nur um ganze Vielfache der Periodicitätsmoduln unterscheiden wird,
und somit statt der Gleichung (18) die Beziehung
\begin{gather*}
\tag{25}
m\left(
\frac{\mu_1}{n} J_1 +
\frac{\mu_2}{n} J_2 + \dotsb +
\frac{\mu_{k-1}}{n} J_{k-1} +
\frac{1}{n} J_k      \right)
\\
= \int^{\eta_1} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\;+\; \int^{\eta_2} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} \;+ \dotsb
+\; \int^{\eta_p} \frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\end{gather*}
%-----File: 172.png------------------------------
zu Grunde gelegt werden kann, in welcher $k$ jeden Werth von 1 bis
$2p$ bedeuten darf, die Grössen $\mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{k-1}$
alle Zahlen
$0,\ 1,\ 2,\ \dotsc n-1$ vorstellen und $m$ aus der Werthereihe
$1,\ 2,\ \dotsc n-1$
zu nehmen ist.

Seien jetzt in Gleichung (25) $k$ sowohl wie die Werthe
$\mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{k-1}$
beliebig, aber fest gewählt, und werde, wenn $\varrho$ eine primitive
Wurzel
der Primzahl $n$ bedeutet,
\[
  m = \varrho^t
\]
gesetzt, so bilde man ähnlich, wie oben im allgemeinen Divisionsproblem
geschehen, wenn $\vartheta$ eine ${n-1}^{\text{te}}$ Einheitswurzel
bedeutet,
ferner durch
\[
  \eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)}
\]
die Integralgränzen in Gleichung (25) bezeichnet werden, welche bei
der bestimmt getroffenen Wahl von $k$ und
$\mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{k-1}$ zu dem
Werthe $t$ gehören, endlich
\[
  \varphi( \eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)} )
\]
eine ganze symmetrische Function der Grössen
$\eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)}$
vorstellt, die Summe
\[
\tag{g}
  \sum_{t=0}^{n-2} \vartheta^t
  \varphi( \eta_1^{(t)}, \eta_2^{(t)}, \dotsc \eta_p^{(t)} ).
\]

Es ist unmittelbar einzusehen, dass, weil
\[
	    \int^{\eta_1^{(t)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)
	    \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+	    \int^{\eta_p^{(t)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)
\;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \varrho^t \int^{\eta_1^{(0)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)
\;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \varrho^t \int^{\eta_p^{(0)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x)
\;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
ist, die Grössen
\[
  \eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)},
\]
die Lösungen einer algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten
rational aus
\[
  \eta_1^{(0)},\ \eta_2^{(0)},\ \dotsc \eta_p^{(0)},
  \sqrt{R(\eta_1^{(0)})},
  \sqrt{R(\eta_2^{(0)})}, \dotsc
  \sqrt{R(\eta_p^{(0)})},
\]
zusammengesetzt sind, und dass somit auch
\[
  \varphi( \eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)} )
\]
als ganze symmetrische Function der in ihr enthaltenen Grössen ebenso
ausdrückbar ist; beachtet man aber, dass, wenn
\[
  \mu_1 J_1 + \dotsb + \mu_{k-1} J_{k-1} + J_k
= \int^{H_1} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} + \dotsb
+ \int^{H_p} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
gesetzt wird,
\[
 n\int^{\eta_1^{(0)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} +
 \dotsb
+n\int^{\eta_p^{(0)}} \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
= \int^{H_1}	      \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}} +
\dotsb
+ \int^{H_p}	      \mspace{-10 mu}\frac{f(x) \;dx}{\sqrt{R(x)}}
\]
wird, und daher, wie oben hervorgehoben, die Irrationalitäten
%-----File: 173.png------------------------------
\[
  \sqrt{R(\eta_1^{(0)})},
  \sqrt{R(\eta_2^{(0)})}, \dotsc
  \sqrt{R(\eta_p^{(0)})}
\]
aus den betrachteten Ausdrücken in rationaler Weise herausgeschafft
werden können, so folgt, dass
\[
  \varphi( \eta_1^{(t)},\ \eta_2^{(t)},\ \dotsc \eta_p^{(t)} )
\]
und somit auch die Summe (g) sich als rationale Function der Grössen
\[
  \eta_1^{(0)},\ \eta_2^{(0)},\ \dotsc \eta_p^{(0)}
\]
wird darstellen lassen, wesshalb wir
\[
\tag{26}
  \sum_{t=0}^{n-2} \vartheta^t
  \varphi( \eta_1^{(t)}, \eta_2^{(t)}, \dotsc \eta_p^{(t)} )
=    \psi( \eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc \eta_p^{(0)} )
\]
setzen wollen.

Nun können wir aber ebenso wie im allgemeinen Divisionsproblem
die charakteristische Eigenschaft dieser $\psi$-Function ermitteln;
setzt man nämlich an Stelle der Grössen
$\eta_1^{(0)},\ \eta_2^{(0)},\ \dotsc \eta_p^{(0)}$ die Werthe
\[
  \eta_1^{(\tau)},\ \eta_2^{(\tau)},\ \dotsc \eta_p^{(\tau)},
\]
so wird
\begin{gather*}
  \psi( \eta_1^{(\tau)}, \eta_2^{(\tau)}, \dotsc \eta_p^{(\tau)} )
= \sum_{t=0}^{n-2} \vartheta^t
  \varphi( \eta_1^{(t+\tau)}, \eta_2^{(t+\tau)}, \dotsc
	   \eta_p^{(t+\tau)} )
\\
= \vartheta^{-\tau} \sum_{t=0}^{n-2} \vartheta^{t+\tau}
  \varphi( \eta_1^{(t+\tau)}, \eta_2^{(t+\tau)}, \dotsc
	   \eta_p^{(t+\tau)} )
= \vartheta^{-\tau} \psi( \eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc
			  \eta_p^{(0)} ),
\end{gather*}
und somit, weil $\vartheta$ eine ${n-1}^{\text{te}}$ Einheitswurzel ist,
\[
\tag{27}
  \psi( \eta_1^{(\tau)}, \eta_2^{(\tau)}, \dotsc
	\eta_p^{(\tau)}					)^{n-1}
= \psi( \eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc \eta_p^{(0)} )^{n-1}.
\]

Die in dieser Relation vorkommenden $\eta$-Werthe unterscheiden
sich nur durch die verschiedenen Werthe der Grösse $m$ in der
Gleichung (25), während die Werthe $k$ und
$\mu_1,\ \mu_2,\ \dotsc \mu_{k-1}$ dieselben
bleiben; lässt man die letzteren Grössen alle möglichen verschiedenen
Werthe annehmen, deren Anzahl, wie unmittelbar aus dem
Gleichungssystem (23) zu erkennen,
\[
  h = 1 + n + n^2 + \dotsb + n^{2p-1} = \frac{n^{2p} - 1}{n-1}
\]
Verbindungen liefern wird, so wird man im Ganzen für alle
Verbindungen der $m$ und $\mu\; h$ verschiedene Werthe der Function
\[
  \varPsi_a = \psi( \eta_1,\ \eta_2,\ \dotsc \eta_p )^{n-1}
\]
erhalten. Bildet man nun eine algebraische Gleichung mit den
Lösungen
\[
  \varPsi_1,\ \varPsi_2,\ \dotsc \varPsi_h,
\]
so werden die Coefficienten ganze rationale symmetrische Functionen
aller $\eta$-Werthe sein, \dh\ symmetrische Functionen der gemeinsamen
Werthecombinationen des Gleichungssystems (8), wenn für die Grössen
%-----File: 174.png------------------------------
$\xi$ die Verzweigungswerthe gesetzt werden, also durch die Coefficienten
jenes Gleichungssystems für diesen Fall ausdrückbar sein.

Wird nun diese im Allgemeinen nicht algebraisch auflösbare
Gleichung als aufgelöst betrachtet, und eine ihrer Lösungen durch
\[
  Z
\]
bezeichnet, so dass
\[
  \sum_{t=0}^{n-2} \vartheta^t
  \varphi( \eta_1^{(t)}, \eta_2^{(t)}, \dotsc \eta_p^{(t)} )
= \sqrt[n-1]{Z}
\]
wird, so folgt unmittelbar, wenn man für $\vartheta$ sämmtliche
${n-1}^{\text{te}}$
Einheitswurzeln setzt, die zugehörigen Werthe von $Z$ mit
\[
  Z_1,\ Z_2,\ \dotsc Z_{n-1}
\]
bezeichnet und alle Gleichungen addirt, die Gleichung
\[
\tag{28}
  (n-1) \varphi( \eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc \eta_p^{(0)} )
= \sqrt[n-1]{Z_1} + \sqrt[n-1]{Z_2} + \dotsb + \sqrt[n-1]{Z_{n-1}},
\]
und man kann somit, wenn man jene Gleichung $h^{\text{ten}}$ Grades als
aufgelöst betrachtet, die Coefficienten der verschiedenen Gleichungen
$p^{\text{ten}}$ Grades bilden, deren Lösungen die Werthe
\[
  \eta_1,\ \eta_2,\ \dotsc \eta_p \hfill \text{ sind.}
\]

Es mag endlich noch bemerkt werden, dass nach der Beziehung
\[
  \psi(
  \eta_1^{(\tau)},\
  \eta_2^{(\tau)},\ \dotsc
  \eta_p^{(\tau)} )
= \vartheta^{-\tau}
  \psi(
  \eta_1^{(0)},\
  \eta_2^{(0)},\ \dotsc
  \eta_p^{(0)} )
\]
für diejenige Function
\[
  \psi^{(k)}( \eta_1,\ \eta_2,\ \dotsc \eta_p ),
\]
welche, wenn
\[
  \vartheta = e^{ \tfrac{2i\pi}{n-1} }
\]
gesetzt wird, der ${n-1}^{\text{ten}}$ Einheitswurzel $\vartheta^k$
entspricht, die analoge
Relation
\[
  \psi^{(k)}( \eta_1^{(\tau)},\ \eta_2^{(\tau)}, \dotsc
	      \eta_p^{(\tau)} )
= \vartheta^{-k\tau}
  \psi^{(k)}( \eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc \eta_p^{(0)} )
\]
besteht, und somit
\[
  \frac{  \psi^{(k)}(\eta_1^{(\tau)}, \eta_2^{(\tau)}, \dotsc
		     \eta_p^{(\tau)})			      }
       { \bigl[\psi	 (\eta_1^{(\tau)}, \eta_2^{(\tau)}, \dotsc
		     \eta_p^{(\tau)})\bigr]^k			   }
= \frac{  \psi^{(k)}(\eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc
		     \eta_p^{(0)})			}
       { \bigl[\psi	 (\eta_1^{(0)}, \eta_2^{(0)}, \dotsc
		     \eta_p^{(0)})\bigr]^k		     }
\]
ist, woraus wieder genau, wie oben im allgemeinen Divisionsproblem,
hervorgeht, dass
\[
  \sqrt[n-1]{Z_k} = \left[ \sqrt[n-1]{Z_1} \right]^k F,
\]
worin $F$ rational aus den Coefficienten der Gleichung (8) in unserm
speciellen Falle zusammengesetzt ist, und somit werden in der
Gleichung (28) der allein in derselben vorkommenden Irrationalität
$\sqrt[n-1]{Z_1}$
alle $n-1$ verschiedenen Werthe beizulegen sein.
\bigskip
\eoc

\cleardoublepage

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription.}{Note2}

\Section{Anmerkungen der Korrekturleser}

Folgende Änderungen wurden \ua\ in der Gutenberg-Fassung vorgenommen:
\begin{itemize}
\item 4. Vorlesung, Gleichung (4) wurde auf mehrere Zeilen verteilt,
einmal fehlte der Zähler $F(t)$ im Original
\item 5. Vorlesung, unterste Gleichung auf Originalseite 69 (Fall I
$\alpha\ge\beta$): Letzter Term muss $M_{2\alpha+1}$ heißen
\item 5. Vorlesung, Originalseite 81 Mitte: erster Term muss
$(2\beta+1)P'_{2\beta+1}M_{2\beta+1}$ heißen
\item 6. Vorlesung, Originalseite 88, Ausdruck vor Gleichung~(23):
Nenner des letzten Terms lautete im Original $(z_\alpha-c_)(z'-c_1)$
\item 7. Vorlesung, Originalseite 114, zweite Teilgleichung von Gl.~(30):
Letzter Term lautete im Original $y_1^{\kappa-1}$
\item 8. Vorlesung, Originalseite 116, Gl.~(34):
Vorletzter Term lautete im Original $(y-y_2)$
\item 9. Vorlesung, Originalseite 167, Ausdruck Wurzelgrössen vor
Gl.~(14):
Letzter Term lautete im Original $\sqrt[n]\omega$
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\Lizenz

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Vorlesungen ueber die Theorie der
Hyperelliptischen Integrale, by Leo Koenigsberger

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPERELLIPTISCHEN INTEGRALE ***

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\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Vorlesungen ueber die Theorie der %
% Hyperelliptischen Integrale, by Leo Koenigsberger                       %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPERELLIPTISCHEN INTEGRALE ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33369-t.tex or 33369-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/3/3/6/33369/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
@ControlwordReplace = (
  ['\\dh', 'd. h.'],
  ['\\zB', 'z. B.'],
  ['\\usw', 'u. s. w.'],
  ['\\ua', 'u. a.']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\Chapter', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 1, 1, '', ''],
  ['\\addtotoc', 1, 0, '', ''],
  ['\\pdfbookmark', 0, 0, '', '', 1, 0, '', '', 1, 0, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  7 AUG 2010 09:30
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**33369-t.tex
(./33369-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count96
\dspbrk@lvl=\count97
\tag@help=\toks17
\row@=\count98
\column@=\count99
\maxfields@=\count100
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen107
\alignsep@=\dimen108
\tagshift@=\dimen109
\tagwidth@=\dimen110
\totwidth@=\dimen111
\lineht@=\dimen112
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/fixmath.sty
Package: fixmath 2000/04/11 v0.9 (WaS)
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Gamma on input line 27.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Delta on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Theta on input line 29.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Lambda on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Xi on input line 31.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Pi on input line 32.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Sigma on input line 33.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Upsilon on input line 34.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Phi on input line 35.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Psi on input line 36.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Omega on input line 37.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \alpha on input line 38.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \beta on input line 39.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \gamma on input line 40.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \delta on input line 41.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \epsilon on input line 42.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \zeta on input line 43.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \eta on input line 44.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \theta on input line 45.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \iota on input line 46.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \kappa on input line 47.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \lambda on input line 48.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mu on input line 49.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \nu on input line 50.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \xi on input line 51.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \pi on input line 52.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \rho on input line 53.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \sigma on input line 54.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \tau on input line 55.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \upsilon on input line 56.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \phi on input line 57.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \chi on input line 58.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \psi on input line 59.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \omega on input line 60.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varepsilon on input line 61.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \vartheta on input line 62.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varpi on input line 63.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varphi on input line 64.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varrho on input line 65.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varsigma on input line 66.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks21
\footnotemargin=\dimen113
\c@pp@next@reset=\count101
\c@@fnserial=\count102
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count103
\calc@Bcount=\count104
\calc@Adimen=\dimen114
\calc@Bdimen=\dimen115
\calc@Askip=\skip46
\calc@Bskip=\skip47
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count105
\calc@Cskip=\skip48
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks22
\SOUL@lasttoken=\toks23
\SOUL@cmds=\toks24
\SOUL@buffer=\toks25
\SOUL@token=\toks26
\SOUL@spaceskip=\skip49
\SOUL@ttwidth=\dimen116
\SOUL@uldp=\dimen117
\SOUL@ulht=\dimen118
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip50
\f@ncyO@elh=\skip51
\f@ncyO@erh=\skip52
\f@ncyO@olh=\skip53
\f@ncyO@orh=\skip54
\f@ncyO@elf=\skip55
\f@ncyO@erf=\skip56
\f@ncyO@olf=\skip57
\f@ncyO@orf=\skip58
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks27
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count106
))
\Gin@req@height=\dimen119
\Gin@req@width=\dimen120
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
\captionmargin=\dimen121
\captionmarginx=\dimen122
\captionwidth=\dimen123
\captionindent=\dimen124
\captionparindent=\dimen125
\captionhangindent=\dimen126
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen127
\WF@size=\dimen128
\c@WF@wrappedlines=\count107
\WF@box=\box28
\WF@everypar=\toks28
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count108
\Gm@cntv=\count109
\c@Gm@tempcnt=\count110
\Gm@bindingoffset=\dimen129
\Gm@wd@mp=\dimen130
\Gm@odd@mp=\dimen131
\Gm@even@mp=\dimen132
\Gm@dimlist=\toks29
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen133
\Hy@linkcounter=\count111
\Hy@pagecounter=\count112
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count113
\Field@Width=\dimen134
\Fld@charsize=\dimen135
\Choice@toks=\toks30
\Field@toks=\toks31
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count114
\c@Item=\count115
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count116
)
\TmpLen=\skip59
\c@SubsecNo=\count117
\c@ChapNo=\count118
\c@SectNo=\count119
(./33369-t.aux)
\openout1 = `33369-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 399.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 399.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count120
\scratchdimen=\dimen136
\scratchbox=\box29
\nofMPsegments=\count121
\nofMParguments=\count122
\everyMPshowfont=\toks32
\MPscratchCnt=\count123
\MPscratchDim=\dimen137
\MPnumerator=\count124
\everyMPtoPDFconversion=\toks33
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
)
\CenteringLeftskip=\skip60
\RaggedLeftLeftskip=\skip61
\RaggedRightLeftskip=\skip62
\CenteringRightskip=\skip63
\RaggedLeftRightskip=\skip64
\RaggedRightRightskip=\skip65
\CenteringParfillskip=\skip66
\RaggedLeftParfillskip=\skip67
\RaggedRightParfillskip=\skip68
\JustifyingParfillskip=\skip69
\CenteringParindent=\skip70
\RaggedLeftParindent=\skip71
\RaggedRightParindent=\skip72
\JustifyingParindent=\skip73
)
Package caption Info: hyperref package v6.74m (or newer) detected on input line
 399.
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 9.03374pt, 451.6875pt, 9.03375pt
v-parts: 4.15848pt, 640.03378pt, 6.23773pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  469.75499pt
\paperheight 650.43pt
\textwidth  451.6875pt
\textheight 578.15999pt
\oddsidemargin  -63.23625pt
\evensidemargin -63.23624pt
\topmargin  -68.11151pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 399.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count125
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 399.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 399.
(./33369-t.out) (./33369-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33369-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 410.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
Overfull \hbox (29.27403pt too wide) in paragraph at lines 430--430
[]\T1/cmtt/m/n/10.95 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPE
RELLIPTISCHEN INTEGRALE ***[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 432.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 432.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] (./33369-t.toc [3

] [4])
\tf@toc=\write4
\openout4 = `33369-t.toc'.

[5] [1


] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] <images/fig01.pdf, id=288, 534.99875pt x
 426.59375pt>
File: images/fig01.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig01.pdf> [11

 <./images/fig01.pdf>] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21

] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] <images
/fig02.pdf, id=425, 401.5pt x 299.1175pt>
File: images/fig02.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig02.pdf> [36 <./images/fig02.pdf>] [37] <images/fig03.pdf, id=444
, 404.51125pt x 405.515pt>
File: images/fig03.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig03.pdf>
Underfull \hbox (badness 2486) in paragraph at lines 3012--3025
[]\T1/cmr/m/n/12 Was vor Al-lem die an den
 []

[38 <./images/fig03.pdf>] [39] [40] [41] [42

] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 4187.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [58

]
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm6!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
[59]
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
[60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67]
Missing character: There is no ^^V in font eufm8!
[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] <images/fig04.pdf, id=65
9, 398.48875pt x 175.65625pt>
File: images/fig04.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig04.pdf> <images/fig05.pdf, id=661, 405.515pt x 317.185pt>
File: images/fig05.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig05.pdf> [79 <./images/fig04.pdf>] <images/fig06.pdf, id=674, 401
.5pt x 323.2075pt>
File: images/fig06.pdf Graphic file (type pdf)
<use images/fig06.pdf> [80 <./images/fig05.pdf> <./images/fig06.pdf>] [81] [82]
[83] [84] [85] [86] [87

] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]
[103] [104

] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117]
[118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128]
Overfull \hbox (0.34052pt too wide) in paragraph at lines 8952--8952
[] 
 []


Overfull \hbox (0.34052pt too wide) in alignment at lines 8952--8952
[] [] 
 []

[129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136]
Overfull \hbox (1.61697pt too wide) in paragraph at lines 9468--9474
\T1/cmr/m/n/12 als all-ge-mein-ste zwi-schen hy-pe-rel-lip-ti-schen In-te-gra-l
en der-sel-ben Ord-nung und algebraisch-
 []

[137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146

] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159]
[160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [
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] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186]
[187] [188] [189] [190] [191] [192]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 1326
4.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 13264
.
[193

]
Overfull \hbox (17.95729pt too wide) in paragraph at lines 13289--13289
[]\T1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER HYPERE
LLIPTISCHEN INTEGRALE ***[] 
 []

[194

] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] (./33369-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
 fixmath.sty    2000/04/11 v0.9 (WaS)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
fancyhdr.sty    
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
supp-pdf.tex
ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33369-t.out
 33369-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/fig01.pdf
images/fig02.pdf
images/fig03.pdf
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
images/fig04.pdf
images/fig05.pdf
images/fig06.pdf
  omscmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 6577 strings out of 94074
 85768 string characters out of 1165154
 159614 words of memory out of 1500000
 9105 multiletter control sequences out of 10000+50000
 31631 words of font info for 79 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 34i,26n,44p,287b,491s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf
-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-te
xlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texl
ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blue
sky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti8.pfb></u
sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/bluesky/ams/eufm7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/pu
blic/cmex/fmex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm10.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm7.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi
c/cm-super/sfbx0600.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0800.
pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texm
f/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1095.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.p
fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pf
b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
m-super/sfti0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb
></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt1095.pfb></usr/share/texmf/f
onts/type1/public/cm-super/sfxc1440.pfb>
Output written on 33369-t.pdf (209 pages, 1210818 bytes).
PDF statistics:
 1675 PDF objects out of 1728 (max. 8388607)
 605 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 187 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

